2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习二十一：二次函数中等腰三角形存在性问题（含答案）

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2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习二十一：二次函数中等腰三角形存在性问题
1．如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，，，，抛物线经过点A和点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在x轴上方的抛物线上，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标．
2．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过、、三点．
(1)求该二次函数的解析式．
(2)点P是抛物线上第一象限内的一个动点，以点P为圆心，为半径作．当与直线相切时，求点的坐标．
(3)在拋物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请直接出点坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与直线和抛物线交于、两点，连接、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求出当的面积为3时，的值；
(3)在轴上有一个点，恰好是等腰三角形，请直接写出点的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，若点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，设．
①直接写出关于的函数解析式；
②当时，直接写出的取值范围．
6．综合与探究，如图，抛物线与y轴交于点，对称轴为直线，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知在x轴上存在一点D，使得的周长最小，则点D的坐标为　 ；
(3)若点P在直线上，直线将的面积分成两部分，求点P坐标．
(4)点Q在直线上，在抛物线上是否存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标，不存在，请说明理由．
7．如图，已知抛物线经过两点，与轴交于点，连接，．是线段上一动点，过点作轴，交抛物线于点，交线段于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当时，求出点和点的坐标；
(3)连接，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标．
8．已知抛物线和直线都经过点，为坐标原点，为抛物线上的动点，直线与轴，轴分别交于点，．
(1)求，的值；
(2)当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标．
9．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线的解析式为．点是轴上的一个动点，过点作直线轴交直线于点，交抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在线段上运动（且不与点重合），当时，请你猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为．
(1)求抛物线的表达式，写出对称轴和顶点坐标；
(2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值；
(3)在对称轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？
(3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图1，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，计算出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
13．已知：二次函数的图象与轴交于两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值；
(3)抛物线的对称轴上有一动点，当是以边为腰的等腰三角形时，求出点坐标．
14．如图，已知二次函数的图象经过点、和原点，为二次函数图象上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点．
(1)求出二次函数的解析式．
(2)当点在直线的上方时，求线段的最大值和点的坐标．
(3)当时，探索是否存在点，使得为等腰三角形，如果存在，请直接写出点的坐标．
15．如图，抛物线与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，点A的坐标为，与y轴交于点，作直线，动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式和直线的解析式；
(2)当点P在线段上运动时，求面积的最大值及取得最大值时点M的坐标；
(3)当点P在线段上运动时，若是等腰三角形时，直接写出m的值为______．
参考答案
1．【详解】（1）解：将点，代入关系式，
∴，
解得，
∴抛物线的关系式为；
（2）解： ∵，，是以为底的等腰三角形，
∴点E的坐标为，
当时，，
整理得，
解得，
∴点E的坐标为或．
2．【详解】（1）解：对于直线，
当时，；时，；
∴，，
∵，
设二次函数解析式为，
代入得，，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为，
∴，
∵，
∴；
①如图1，当时，，
∴，；
②如图2，当时，
过点C作于点H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述：存在，，，．
3．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过、、三点，
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：根据题意得：，
设点P的坐标为，
设直线的解析式为，
把点、代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
如图，过点P作于点D，轴交于点E，
∴点E的坐标为，
∴，
∵与直线相切，
∴，
∵，
∴，
解得：或2，
∴点P的坐标为或；
（3）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设点Q的坐标为，
当时，如图，
此时，
解得：，
∴点Q的坐标为或；
当时，如图，
此时，
解得：，
∴点Q的坐标为或；
当时，如图，
此时，
解得：，
∴点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或或或或．
4．【详解】（1）解：将，代入中，
，
解得：，，
抛物线的解析式为：；
（2）解：对，令，则，
∴；
如图
设直线的解析式为：，将，代入，得
，
解得：，，
直线的解析式为：，
，，点、分别是抛物线和直线上的点，
点坐标为，点坐标为，
，
，，
，
解得：，，
，，符合点是线段上的一个动点，
的值为．
（3）解：设点的坐标为：，
由，可知，
，，，
若是等腰三角形，则
①当时，即，得，解得：，，
∴点的坐标为或；
如图
或
②当时，即，得，解得：，（舍去），
∴点的坐标为；
如图
③当时，即，得，解得：，
∴点的坐标为；
如图
综上，恰好是等腰三角形时，点的坐标为或或或．
5．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交点，
∴，
解得，
抛物线的解析式；
（2）解：存在，理由如下：
∵点，点，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴平分两坐标轴的夹角，
∴解得，，即，
∵点是直线下方抛物线上一动点，∴；
（3）解：①∵该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，，
当时，最高点为点，最低点为点，
，，
∴；
当时，最高点为点，最低点为顶点，
，∴；
当时，最高点为点，最低点为顶点，
，
∴，
综上所述，解析式为；
②根据题意，当时，解得，不符合题意，舍去，
当时，，
当时，解得（不合题意，舍去），，
综上所述，m的取值范围为．
6．【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点，对称轴为直线，
将点A的坐标代入，结合对称轴公式得：，解得：，
抛物线的解析式为；
（2）对称轴为直线，，
点B横坐标为，C横坐标为1．把代入抛物线解析式得：，
．
如图1，作点关于x轴的对称点为点，连接交x轴于点D，则，
此时取得最小值，则此时的周长最小，
设直线解析式为，将点B的坐标代入得：，
解得：，
直线解析式为，
当时，，
解得：，
点D的坐标为，
故答案为：；
（3）解：由（2）得：，
设直线解析式为，
，解得：，
直线解析式为，
设直线l与交于点P，如图2，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则，
，
，
直线将的面积分成两部分，
或，
或，
，
或，
或，
点P的横坐标为或，
把代入得：，
此时；
把代入得：，
此时，
综上所述，点P的坐标为或；
（4）在抛物线上存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为或或或，理由如下：
设点Q的坐标为，
设交y轴于点K，则，
根据题意得：，
如图3，过点M作于点N，则，此时,
，
，
在和中
，
，
,
，
点，
把点代入得：，
解得：（不合题意，舍去）或0，
此时点Q的坐标为；
如图4，过点Q作轴于点Q，过点M作于点G，过点A作于点E，此时，,
同理，
，
，
点，
把点代入得：，
解得：或（不合题意舍去），
；
如图5，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，
同理，
，
，
点，
把点代入得：，
解得： （不合题意舍去）或，
；
如图6，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，
同理，
，
，
点，
把点代入得：，
解得：或0（不合题意，舍去），
点；
综上所述，在抛物线上存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为或或或
7．【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：在中，当时，，
∴；
设直线的函数表达式为，则，
∴，
∴直线的函数表达式为，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（2）可知，直线的函数表达式为，
设，则，
∵，
∴，
，
，
当时，则，
∴，
解得或（舍去），
∴点P的坐标为；
当时，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
当时，则，
∴，
解得或（舍去）
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
8．【详解】（1）解：将代入，得：，∴；
将代入，得：，∴；
（2）解：由（1）得：抛物线的解析式为，直线的解析式为．
当时，，
解得：，
∴点的坐标为，．
设点P的坐标为，则，．
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，即，
整理，得：，
解得：，
∴点P的坐标为或．
9．【详解】（1）解：∵直线分别与轴、轴交于点，，
，．
∵抛物线经过点，，
则，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：．
证明：由（1）知抛物线的解析式为，
令，则，解得，，
．
．
．
，
．
．
．
，
．
．
，
．
（3）解：存在．
设，则，，
，
，
．
当是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当时，
，即
解得（舍去）或或，
或．
②当时，
，即
解得（舍去）或（舍去）或，
．
③当时，
，即，
解得或（舍去），
．
综上所述，点的坐标为或或或．
10．【详解】（1）解：把点A的坐标代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
令，得，
∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为．
答：抛物线的表达式为，对称轴为，顶点为．
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：，
令，解得：或，
∴；
过P作于点E，过点P作轴交于点H，如图1：
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，
将代入得，
∴，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，的最大为，
∴，
∴此时最大为，点P到直线的距离值最大，
即点P到直线距离的最大值为；
（3）解：存在，
设点M的坐标为，
∵，，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
①当时，如图，设对称轴l与交于点E，
则，，
∵，
∴，
解得，
∴M点的坐标为，
②当时，过点M作于H，
∴，
∴，
∴5，5，
∴或；
③当时，如图，
∵，
∴点M在的垂直平分线上，
∴，
综上所述，在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，M的坐标为或或或．
11．【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵点P的横坐标为m，轴，
∴点，
∴，
∵，
∴当时，线段的长度最大，最大值是，
（3）解：由（1）得：点，
设抛物线的对称轴为直线l，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴可设点，
当时，如图，过点P作于点E，则，
在中，，
∴点；
当时，如图，过点P作于点E，则，
在中，，
∴点；
当时，如图，过点D作于点F，则，
在中，，
∴点；
当时，如图，过点D作于点F，则，
在中，，
∴点；
当时，如图，
此时点Q在的垂直平分线上，
∴点Q的纵坐标为，∴点；
综上所述，点Q的坐标为或或或或．
12．【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点、点，
当时，由得；当时，，
，，
把、代入，得，解得，
该抛物线的解析式为；
（2）解：存在．
理由如下：
，
该抛物线的顶点为，对称轴为直线，
设，
①等腰三角形以为底边，如图1所示：
，
由得，或，
或；
②等腰三角形以为底边，作于点，如图2所示：
，
，
，
，
；
③等腰三角形以为底边，作，交直线于点，如图3所示：
，
，
，
，
，，
，解得，
，
，
综上所述，点的坐标为或或或．
13．【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，解得，
∴，
设直线 解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线 解析式为，
过作轴，交于点，如图，
设，则，
∴，
∴
，
∵，，
∴当时，最大，最大值为；
（3）解：的对称轴为直线，
∴设抛物线的对称轴上有一动点，
∵，，
∴，，，
当是以边为腰的等腰三角形时，或，
当时，，即，解得，此时或；
当时，，即，解得，此时或，
设直线解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴在直线上，即A、D、M三点共线，不符合题意；
综上所述，当是以边为腰的等腰三角形时，点坐标为或或．
14．【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，
将、、代入解析式可得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将、代入解析式可得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵为二次函数图象上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点，
∴，，
∴，
∵，∴当时，的值最大，为，此时，
∴；
（3）解：由（2）可得：，，，
∴，，
∵为等腰三角形，
∴当时，，如图：
解得：或或，
∵，
∴不符合题意，舍去，
当时，，此时点，，两点重合，不符合题意；
当时，，此时点，，符合题意；
当时，，如图：
解得：或，
∵，
∴不符合题意，舍去，
当时，，此时点，，符合题意；
当时，，如图：
解得：或或，
∵，
∴不符合题意，舍去，
当时，，此时点,，符合题意；
当时，，此时点,，符合题意；
综上所述，点的坐标为或或或．
15．【详解】（1）解：将点、代入抛物线，
得，
解得，
抛物线解析式为，
令，则，
解得，
故点，
设直线解析式为，
将代入得，
解得，
直线解析式为；
（2）解：由题意，点，
则，，其中，
，
配方得，
当时，最大值为，
，
当最大时，最大，最大值为，
将代入，得，
故M的坐标为；
（3）解：由（2）知，点，点，点，
，
，
当时，，
解得舍；
当时，，
解得不合题意舍，
当，，
解得舍去，
综上或
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