2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习二十：二次函数中角度相关问题综合训练（含答案）

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2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习二十：二次函数中角度相关问题综合训练
1．如图1，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点．
(1)如图2，连接，为直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；
(2)如图3，连接，，抛物线上是否存在一点，使得？若存在，直接写出其中一个点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，二次函数的图象与轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与轴交于点，二次函数图象的顶点为．
(1)若，求顶点的坐标及线段的长；
(2)连接，，，若，求点的坐标．
3．如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，顶点是点．
(1)求抛物线对应的函数表达式
(2)点是抛物线上的点，当时，请直接写出满足条件的点坐标；
(3)将抛物线向左平移1个单位，向下平移3个单位得到一条新抛物线，它的顶点为．直线过点，且与抛物线交于点、．轴于点、轴于点，求证：．
4．已知：如图，二次函数与x轴交于点A，B，点A在点B左侧，交y轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第一象限的抛物线上有一点D，连接，若，求点D坐标．
5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）交x轴于点A，B，交y轴于点，点A坐标为，点D为抛物线的顶点，点E为抛物线上一动点，且点E的横坐标为t．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，若E在的上方，当时，求点E的坐标；
(3)如图2，设的面积为S，点E在抛物线对称轴的右侧，
①求S与t之间的函数表达式；
②以点E为对称中心，构造正方形，且在y轴上（点M在点N的下方），直接写出抛物线与正方形的边只有2个公共点时S的取值范围．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)为抛物线上的一点（不与点重合），设点的横坐标为，连接．
①若点在第一象限，且，求点的坐标．
②若点在的下方，求点到的最大距离，并写出点的坐标．
7．如图，已知抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点．点P为第一象限抛物线上的点，连接、、、．
(1)直接写出结果： _____； _____；_____；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)如图1，当时，求点P的坐标；
(4)如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，．点E，F分别为的边，上的动点，且，求的最小值．
8．在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求b，c的值及直线的解析式；
(2)如图1，是抛物线上一点，连接，若，求点的坐标；
(3)是抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点分别作轴，轴的平行线，，交直线于点交抛物线的对称轴于点，设．
①求关于的函数解析式；
②若使成立的点恰有4个，请直接写出的取值范围．
9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线．
(1)求二次函数关系式；
(2)连接、，在直线的下方抛物线上是否存在点P，使；若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；
(3)在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线，使，点M是线段上的一动点，过点M作轴，垂足为点N，连接，求的最小值．
10．如图1，抛物线与直线交于两点，．
(1)求抛物线与直线的函数表达式；
(2)将直线沿着轴向上平移个单位，与轴、轴分别交于点，．直线对应的函数表达式记作．若有且仅有唯一的的值，使得，求的值；
(3)在（2）的条件下，线段上是否存在点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，使？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
11．如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点是抛物线在第一象限上的一点，满足，请求出点的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点，使得的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，平分，，．
(1)点的坐标为______；(请直接写出结果)
(2)求抛物线的表达式，及抛物线的对称轴；
(3)若点为抛物线上第一象限内一动点，当时，求点的坐标．
13．如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①顶点的坐标为______；②当时，二次函数的最大值为______，最小值为______．③直线的解析式为______．
(3)如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(4)如图3，连接、，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．抛物线交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C．
(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点P作直线，交y轴于点Q．若平分线段，求点P的坐标；
(3)如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段交抛物线于另一点G，连接．若，求直线的解析式．
15．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
(1)点B的坐标为________，点D的坐标为________；（用含有m的代数式表示）
(2)连接CD、BC．
①若CB平分，求二次函数的表达式；
②当时，若为该二次函数图象上不同两点，且，求证：．
参考答案
1．【详解】（1）解：将代入，得到，
，
将代入得，
解得：，，
，，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，
轴，
，
，，
为直线下方，
，
，
，
当时，的值最大，最大为，
则；
（2）解：存在；
①当M点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线于与点M，
，
，
，
，
，
此时使得，
，
，
，
设直线得解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或，
；
②当M点位于下方时，如图，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，连接，
，
当时，，
解得：或，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
则E即为M点，
；
综上所述，使得，M点的坐标为或．
2．【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为，
则抛物线顶点的坐标为，
令，则或，
，，
．
（2）解：由题意，得点，，，的坐标分别为，，，，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
则，，
解得：，，
直线的解析式为，直线的解析式为，
如图，过点作交的延长线于点，垂足为，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
令，解得，
．
，，
∴，
∴，
是的中点，
．
点在直线上，
，
解得：（舍去）或，
．
3．【详解】（1）解：将，两点代入得：
，
解得，
因此，抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：由（1）知抛物线表达式为，
当时，，
则，
作的中垂线交轴于点E，连接，则，
，
，
、，
、，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得，
，
设直线的解析式为，
将代入得：，
解得，
直线的解析式为，
过点A作，交轴于点，交抛物线于点，则，
设直线的解析式为，
将代入得：，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得或，
；
将代入得：，
，
作点关于轴的对称点，连接，
、，
设直线的表达式为，
将和代入得：
，
解得，
直线的表达式为，
联立，
解得或，
，
综上所述，点P的坐标为或；
（3）证明：由（1）知抛物线，
平移后新的抛物线解析式为，
顶点，即，
设过点的直线的解析式为，
联立，
整理得，
设交点、，
由韦达定理得、，
，
轴于点、轴于点，且、，
、，
，
．
4．【详解】（1）解：∵二次函数与y轴交于点，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图所示，过点D作于点E，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
在中，当时，，
解得或，
∴
设，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴．
5．【详解】（1）解：将点A，点C的坐标分别代入得：
，
解得：．
∴该抛物线的解析式是；
（2）解：延长交x轴于F．
令，则，
解得，，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴直线解析式为．
联立抛物线得，
解得：（舍），，
∴点E的坐标为；
（3）解：①过E作轴交直线于H．
∵，，
∴直线的解析式为，
∴，，
，
．
即；
②由题可得，，，
当边经过点，
正方形与抛物线有3个交点，
，
解得：或，
∵，
∴，
当时，正方形与抛物线有2个交点；
当点N与点C重合时，正方形与抛物线有3个交点，
，
解得：（不合题意，舍去）或，
当时正方形与抛物线有2个交点．
当时正方形与抛物线有4个交点
综上所述，正方形与抛物线有2个交点时，或．
∵，
当或，随的增大而增大
∴或．
6．【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，
．
抛物线与轴交于两点，对称轴为直线，
解得
抛物线的函数表达式为.
（2）解：①如图1，设与轴交于点．
抛物线与轴交于两点，对称轴为直线，
点
.
点在第一象限，且，
，
点.
设直线的函数表达式为，
则
解得
直线的函数表达式为.
联立抛物线与直线，得，
解得（舍去），.
将代入，得，
点的坐标为.
②如图2，过点作轴，交于点，连接．
点的横坐标为点．
点，
直线的函数表达式为，且，
点，
，1
．
设点到的距离为，
则.
当时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为.
7．【详解】（1）解：∵抛物线经过点 ，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为，
∵，
∴，，
在中，，
故答案为：，4，；
（2）解：∵抛物线与x轴交于A、两点，
∴时，，
解得，
∴，
∴，
∴，，，
又，
∴是直角三角形；
（3）解：如图1，过点C作轴，交于点D，过点 P作轴，交y轴于点E，
∵，
∴，
由（1）可得，，即，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设点P坐标为，则 ，
∴，
解得（舍去）或，
∴点P坐标为；
（4）解：如图2，作，且使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴Q，F，H共线时，的值最小，
作于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴．
8．【详解】（1）解（1） ∵，在抛物线上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
∴，
设直线的解析式为，将，两点坐标代入得
，解得，
∴直线的解析式为；
（2）如图，过点作，且，连接，交抛物线于点，
则 为等腰直角三角形，，
过点作轴的平行线，过点作，垂足为，过点作，垂足为，延长交轴于点，
∴，，
又，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，将，两点坐标代入得
，
解得，
∴直线的解析式为，
由
解得，或者（舍去），
∴；
（3）①∵，直线为，对称轴为，
∴ ，，
∴当时， ，,
此时；
当时， ，,
此时；
当时， ，,
此时；
综上，；
②当时，
∴当时，有最大值
由图象可知，使成立的点恰有个，的取值范围为．
9．【详解】（1）解：∵二次函数的图像过点，对称轴为直线，
∴，
解得，
∴二次函数关系式为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴，，
∴，
当时，，则
∴，，
∴，
如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，
∴，，
设点关于直线的对称点为，则，
∴，
∴，
∴
∴，
又∵，
∴点与点重合，
∴；
综上所述，存在点，使，点的坐标为；
（3）解：如图，在上取一点，使得
∴，
设，则
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
在上取一点，使得轴，垂足为，
∴，
∴，则；
如图，作关于的对称点，连接交于点，
∴，
∴当在上时取得最小值，最小值为的长，
在中，，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
10．【详解】（1）解：抛物线与直线交于两点，，
故，，
故，
故
解得，
故抛物线的表达式为；
故，，
故，
设直线的表达式为，
将分别代入直线的表达式得：
，
解得，
∴直线的表达式为：．
（2）解：根据题意，将直线沿着轴向上平移个单位，得到，
又直线对应的函数表达式记作．
故，
又有且仅有唯一的的值，使得，
故方程有两个相等的实数根，
故的判别式等于零，
故，
解得．
（3）解：根据题意，得，直线的表达式为：．
设直线与y轴交于点G，交x轴于点H，交x轴于点M，
则，，，
∴，
∴，
∴作线段的垂直平分线交于点E，交y轴于点P，连接，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的表达式为，
将，分别代入直线的表达式得：
，
解得，
∴直线的表达式为：．
在直线上截取，
设，
∴，
整理，得，
解得或，
∴或；
当时，过点F作轴于点N，过点A作轴于点Q，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故符合题意；
当时，不符合将线段绕点顺时针旋转得到线段，故舍去，
综上所述，存在这样的点F，使得，且．
11．【详解】（1）解：把点和点代入二次函数中得，
，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：如图，过点作轴于点，设，
当时，，
∴或，
∴，
∴，
∵点是抛物线在第一象限上的一点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
（3）解：过点作轴于点，交于点F，设，
设直线的解析式为，把，代入得到，
，
解得，
∴直线的解析式为，
则，
∴
∴的面积
∵的面积，
由题意可得，,
即或
解得，
∴
12．【详解】（1）解：已知，，则，．
由勾股定理得
.
如图过点作．
由平分，根据角平分线性质，点到的距离．
∵，，
∴，即，
解得，故点的坐标为．
故答案为：；
（2）解：结合（1），设抛物线的交点式为，
代入得：，解得．
∴抛物线的表达式为．
抛物线的对称轴为直线；
（3）解：如图，过点作轴于点．设点．
在和中，，，
∴．
∴，即，
整理化简得，
解得(舍去)，此时．
因此，点的坐标为．
13．【详解】（1）解：由题意知，解得，
∴解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为；
∴抛物线的顶点坐标为：，二次函数开口向上，函数上离对称轴越远的点函数值越大，
∴当时，在时，函数取到最大值为：；在时，函数取到最小值为，
∵点的坐标为，且抛物线对称轴为直线，
∴，
当，，
∴，
设直线表达式为：，
∴，解得，
∴直线表达式为，
故答案为：，，，；
（3）解：设，
则，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值为，此时；
（4）解：存在，理由如下：
当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接，
∵，
∴当时，，
解得：或，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
如图，点与点重合，
∴．
14．【详解】（1）解：在中，令得，
∴，
令得，
解得或，
∴，；
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
由，设直线的解析式为，
设，
∴
∴，
∴直线的解析式为，
令得，
∴；
∵平分线段，
∴的中点在直线上，
设直线的解析式为，
将代入直线解析式可得，
解得：，
∴直线解析式为，
∴，
解得或（舍去），
当时，，
∴；
（3）解：过点G作轴，过点E，F分别作的垂线，垂足分别为T，S，如图：
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵点D与原点O关于对称，
∴，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
联立得：，
联立 得：，
设，，，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴直线解析式为．
15．【详解】（1）解：在二次函数中，
当时，
∴，
当时，，
∵点在点的左侧，，
∴，
∵，
∴顶点，
∴故答案为：，；
（2）①如图，过点作，交于点E，
则，
平分
由（1）知，，
解得：(舍去)，
∴二次函数的关系式为：；
②当时，二次函数，
∵为该二次函数图象上不同两点，
∴，即，
∴是一元二次方程即的两根，
∴，
∴
∴
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