2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习十九：二次函数中面积最大值问题综合训练（含答案）

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2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习十九：二次函数中面积最大值问题综合训练
1．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，点在点的左侧．点的坐标为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线的解析式；
(3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值．
2．有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃的一边为x米，面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求矩形花圃的最大面积．
3．已知抛物线G：与直线l：交于两点．
(1)求b，c的值以及抛物线的顶点坐标；
(2)若C为直线l下方抛物线上一点，当面积最大时，求C点的坐标；
(3)平移抛物线G得到新抛物线M，新抛物线M的顶点始终在原抛物线G上，直线l与抛物线M相交于P、Q两点，当点B恰好为线段的中点时，请写出抛物线G到抛物线M的平移方式．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点．点坐标为，点坐标为，点为抛物线上一点，点的横坐标为，点与点不重合．过点作轴，交直线于点，延长至点，使，过点作，垂足为点，交直线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在直线下方时，当的面积最大时，求的值，并求面积的最大值；
(3)当抛物线在内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标的差是时，求的值；
5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在抛物线上，点是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，当点P位于直线上方时，求面积最大时点的坐标；
(3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．抛物线（，，是常数，）与轴交于，两点，与轴交于点，三个交点的坐标分别为，，．
(1)求抛物线对应的函数解析式及顶点的坐标；
(2)如图，若为线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴于点，连接，，求四边形的最大面积和此时点的坐标．
(3)若是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作，交轴于点．当点P的坐标为 时，四边形是平行四边形．
7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于三点，且，P是抛物线上的一个动点．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点P在直线下方，点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标．
(3)直线上是否存在一点Q，使得以点A，B，P，Q组成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)直接写出、、的坐标及抛物线的对称轴；
(2)如图1，连接，抛物线的对称轴上是否存在点，使？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由：
(3)如图2，点是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接，直线交于点，和的面积差为，当的值最大时求点的坐标和直线的解析式．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点D在直线下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交于点E，设点D的横坐标为t，的长为l，请求出l的最大值；
(3)当点D在直线下方的抛物线上时，连接，交于点F，求的最大值．
10．如图，抛物线与轴相交于点，且经过两点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为轴下方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标以及面积最大值；
(3)抛物线顶点为，对称轴与轴的交点为，点为轴上一动点，请问是否存在点以为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．
11．如图、抛物线交轴于点，，交轴于点，连接．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)是直线下方抛物线上的一点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标．
(3)是直线上方抛物线上的一点，连接，是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线经过点且与轴交于，与轴交于点，直线与抛物线交于点与点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是第一象限抛物线上一个动点，连接，，设点横坐标为，的面积为．是否存在点使有最大值？若存在，请求出的最大值和点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)记抛物线与轴的交点横坐标为，求代数式的值．
13．如图，在正方形中，点E是边上的动点（不与点重合），，点F是射线上的点，且，连接交于点G，连接．
(1)若正方形的边长为4，设，
①求（用含x的代数式表示）；
②求面积的最大值．
(2)若，求证：点G是线段的中点．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点作轴，交抛物线于点，点为抛物线上一动点（点在上方)，过点作轴交于点．当点在什么位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积；
(3)当时，函数的最大值为3，求的值．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点两点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式：
(2)如图1，若点为抛物线对称轴上的动点，当点在对称轴上下移动的过程中，求周长的最小值；
(3)如图2，点为线段上的一动点，过动点作交抛物线第一象限部分于点，连接，记与的面积和为，当取得最大值时，求点的坐标，并求出此时的最大值．
参考答案
1．【详解】（1）解：∵点的坐标为，
∴，
∵，点在轴下方，
∴点的坐标为，
将点代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：令，解得，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为．
将点代入，
得，解得，
∴直线的解析式为．
（3）解：过点作轴，交于点，如下图所示：
由（2）知，
∴，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为3，
∴的最大值为，
∴四边形面积的最大值为．
2．【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
∵，
解得，
∴；
（2）解：，
∴当时，y随x的增大而减小．
又∵，
∴当时，y最大，
∴矩形花圃的最大面积为平方米．
3．【详解】（1）解：把点A的坐标代入得，
∴，
∴直线l的解析式为，
把点B的坐标代入得，
∴，
∴点B的坐标为，
把点A和点B的坐标代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点的坐标为；
（2）解：如图所示，过点C作轴，交直线l于点T，
由（1）可得直线l的解析式为，
设，则，
∴，
∴
，
∵，
∴当，即时，有最大值，
此时，即点C的坐标为；
（3）解：∵抛物线M的顶点始终在抛物线G上
∴可设抛物线M的解析式为
联立得，
∴，
又∵为线段的中点，
∴
∴，
∴
∴抛物线M的解析式为
又∵抛物线G的解析式为
∴将抛物线G先向右平移3个单位长度，再向上平移9个单位长度即可得到抛物线M．
4．【详解】（1）解：∵，为抛物线上的点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵设直线的解析式为：，代入，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点为抛物线上，点的横坐标为，
∴，
∵，
∴，，
∵点在直线上，
∴，
∵点在直线下方，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故当取最大值时，的面积最大，
∵，
∵，
∴当，的最大值为，；
∴综上，时，面积的最大值为；
（3）∵由（2）得，，点与点关于点对称，
∴，即，
∵，
∴对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为
分类讨论：
①如图，当时，
∴抛物线在内部(包括边界)的最高点与最低点分别是点和点，
∵最高点与最低点的纵坐标的差是，
∴，
整理得，，方程无解；
②当直线过抛物线的顶点时，，解得：，（舍），
如图，当时，即直线在抛物线顶点上或下方时，
∴抛物线在内部(包括边界)的最高点与最低点分别是点和抛物线顶点，
∵最高点与最低点的纵坐标的差是，
∴，
整理得，
解得，(舍去)；
③如图，当时，即当直线在抛物线顶点的上方时，抛物线与交于点，
∵轴，
∴轴，
∵，
∴轴，
∴，
∴抛物线在内部(包括边界)的最高点与最低点分别是点和点，
∵最高点与最低点的纵坐标的差是，
∴
整理得，
解得，(舍去)；
④如图，当时，抛物线与交于点，
∵轴，
∴轴，
∵，
∴轴，
∴，
∴抛物线在内部(包括边界)的最高点与最低点分别是点和点，
∵最高点与最低点的纵坐标的差是，
∴，
整理得，
解得，(舍去)；
∴综上所述，符合题意的值为或或．
5．【详解】（1）解：点，点在抛物线上，
，解得，
该抛物线的解析式为；
（2）解：作，如图所示：
设的解析式为，
将代入，得，
的解析式为，
设的解析式为
联立直线与抛物线解析式有
∴，
化简，得，
∴，
解得，
∴直线的解析式为
联立，
解得，
∴．
（3）解：存在或．理由：
对，令，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
将绕点顺时针方向旋转，至，如图2所示：
则，，
，
由题意知直线过点，设直线的解析式为，
将，，代入，
得，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或（舍去），
此时使，
如图2所示，过作轴，过作轴，与交于点，
则四边形为正方形，
作关于的对称点，
由对称性知，点在上，
作直线，
则直线与抛物线的交点满足条件，
，，，
，与点重合，
点在抛物线上，
．
抛物线上存在点，使，点的坐标为或．
6．【详解】（1）解：抛物线与坐标轴的三个交点的坐标分别为，，．
可得：，
解得：，
抛物线的解析式是，
整理可得：，
抛物线的顶点；
（2）解：设直线的解析式为，
将点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
设点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
，，，
，
，
，
当时，，
点的坐标为；
四边形的最大值为，点的坐标为；
（3）解：如下图所示，过点作，
四边形是平行四边形，
，
点，关于抛物线对称轴直线对称，
点的坐标为，
点的坐标为，
故答案为：．
7．【详解】（1）解：∵，且，
∴，
设二次函数的解析式为，
把代入得：，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵点P在抛物线上，
∴可设，
过P作轴于点E，交直线于点，如图：
∵，
设直线解析式为，
则，
∴，
∴直线解析式为，，
∴，当最大时，四边形的面积最大，
∴
∴
，
∴当时，最大值为8，此时，
∴当P点坐标为时，，
故此时四边形的最大面积，最大面积为；
（3）解：直线上存在一点，使得以点组成的四边形是平行四边形，理由如下：
设，，而，
①若为平行四边形对角线，则的中点重合，
∴，
解得（此时Q与B重合，舍去）或，
∴；
②为对角线，，
方程组无实数解；
③为对角线，，
解得（此时P与A重合，舍去）或，
∴，
综上所述，Q的坐标为或．
8．【详解】（1）解：当时，，
∴，
当时，，
解得或，
∴，；
∴，
∴对称轴为直线；
（2）解：存在点M，使，理由如下：
设，
∵，，
∴的中点，，
∴，
∴，
解得，
∴点的坐标为或；
（3）解：∵和的面积差为S，
∴和的面积差为S，
设点P的坐标为，
∴的面积，的面积，
∴，
当时，S有最大值为，此时，
设直线的解析式为，
∴，即，
∴直线的解析式为．
9．【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，
，
解得，
该抛物线的解析式为：；
（2）解：二次函数中，令，则，
，
设直线的解析式为：．将，代入得到：
，
解得，
直线的解析式为：，
过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为，
，，
，
点在直线下方的抛物线上，
，
当时，取得最大值1．
（3）解：如图1，作，交于，
，
，
把代入得，，
，
，
，，
当时，，
，
．
10．【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且经过两点，
∴，
解得：，
即：；
（2）解：连接，
当时，，即：，
设，且，
∵，
∴，
∴，
，
，
∴，
∵
∴开口向下，
∴当时，最大为：，
时，最大为：；
（3）答：存在，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
即：，解得：，
∴或；
当时，，
即：，解得：，
∴或
综上：或或或．
11．【详解】（1）解：（1）把点代入，
得
解得
抛物线的函数表达式为．
（2）如图1，过点作轴，交于点．
令，得，
解得，
点．
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的函数表达式为．
设点，则点，
，
．
，
当时，的面积取得最大值，最大值为，
此时点.
（3）解：．理由：
，
．
，
．
如图2，设交轴于点，过点作于点．
设，
则．
，
∴是等腰直角三角形，
，
，
，
点．
设直线的函数表达式为．
将点代入，
得
解得
直线的函数表达式为．
联立
解得（舍去），
点的横坐标为．
12．【详解】（1）解：由题意得，
解得，
∴；
（2）解：如答图，作轴于，交于，
由题意知点，则，
设，，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为，
当时，，
∴，
综上所述，存在点使有最大值，的最大值为，点的坐标为．
（3）解：由题意得，
∴，
∴，
，
，
∴．
13．【详解】（1）解：①过点F作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
又正方形的边长为4，
∴，，
在中，，，根据勾股定理得：
；
②∵的底为， 高为，
∴的面积，
∵，
∴二次函数图象开口向下，取最大值，
∴当时，最大值为2；
（2）解：设，则，
∴,
由（1）知：，，
分别以所在直线为对称轴，点为原点建立平面直角坐标系，如图，
则，，，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，
解得，
所以，直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
而，
∴，即点G是线段的中点．
14．【详解】（1）解：，
当时，；
当时，，
∴,0)，
将代入抛物线的解析式，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
由轴可得点的坐标为，
设点的坐标为，
轴，
点的坐标为，
∵轴，轴，
∴，
∴，
，
∵，
∴当时，有最大值，
当时，，
此时，
故点的坐标为时，四边形的面积最大，最大面积为．
（3）解：，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为4，
又当时，函数的最大值为3，
∴根据二次函数的增减性，分两种情况讨论：
①当，即时，，
解得(舍去)；
②当，即时，，
解得（舍去）．
综上所述，的值为或．
15．【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点两点，
设抛物线的表达式为，
将代入上式，得：，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：如图，作点C关于对称轴的对称点，连接，，
抛物线的表达式为，
对称轴为直线，
，
，即，
，
，
由轴对称得，
，
当A，M，共线时等号成立，取最小值，最小值为，
周长的最小值为：；
（3）解：由已知点，，，
设直线的表达式为，
将，代入上式，得，
解得，
直线的表达式为，
同理可得直线的表达式为，
，
设直线的表达式为，
由（1）设，
代入直线的表达式得：，
解得，
设直线的表达式为，
联立，
解得，
，
P，D都在第一象限，
，
当时，取最大值，
此时点P的坐标为．
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