2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习十五：圆与三角函数综合训练（含答案）

2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习十五：圆与三角函数综合训练
1．如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的圆与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
2．如图，是的直径，是的切线，为切点，的延长线交于点，连接，且，交于，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
3．如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径在边的右侧作半圆O，交于Q点，交于P点；
(1)若，当取最小值时，求的长；
(2)已知：①判断与半圆O的位置关系，并说明理由；
②若，，求的值以及的长；
4．如图，内接于，，过点A作交的平分线于点D，交于点E，交于点F，射线交的延长线于点
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求和的长．
5．如图，在中，，为的中点，以为直径作交于点，过点作，垂足为点．记的面积为，四边形的面积为．
(1)请判断直线与有怎样的位置关系，并证明你的结论；
(2)若，，求的值．
6．如图，为的内接三角形，为的直径，过点作的切线交的延长线于点，点为的中点．连接，点为直径下方半圆的中点，过作，分别与，的延长线交于点、，．
(1)求的值；
(2)求证为的切线；
(3)求的长．
7．如图，过菱形的顶点A，B，C，且切于点C，的延长线交于点M，且与的延长线交于点N．
(1)求证：为的切线；
(2)连接，若，，求的长．
8．如图，在中，为直径，且弦，垂足为点E，点P为延长线上的一点，且与切于点C．连接并延长，交于点F，连接和．
(1)求证：直线为的切线；
(2)探究线段，，之间的数量关系，并加以证明；
(3)若，，求的值及线段的长．
9．如图，是的直径，点在上，分别连接，，的切线与的延长线交于点，是的中点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求四边形的面积．
10．如图，是的直径，过点的直线与过点的切线交于点，与的延长线交于点，且，连接交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
11．如图，是的直径，点在上，分别连接，，的切线与的延长线交于点，是的中点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求四边形的面积．
12．如图，内接于，，过点O作，过点E作，与过点B的的切线交于点D，与延长线交于点F，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
13．如图，已知，以为直径作，交边于点，连接，，连接并延长，交的延长线于点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)若，求的值．
14．如图，过菱形的顶点，，，且切⊙于点，的延长线交于点，且与的延长线交于点．
(1)求证：为的切线；
(2)连接，若，，求的长．
15．如图，在中，，点是边的中点，与相切于点，交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，交于点，并延长交的延长线于点，若，求的值．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
1．【详解】（1）证明：如图，连接，
与相切于点，
．
．
在和中，
，
．
．
是的半径，且，
是的切线．
（2）解：，
．
．
．
．
，
，解得．
的长是．
2．【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
，
是的半径，
是的切线；
（2）证明：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得：．
3．【详解】（1）解：当取最小值时，，
∴,
∴是圆 O的直径，
此时点与点重合，是的中点，
，
．
（2）解：①与半圆相切，
理由如下：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又 ∵是圆的半径，
∴与半圆相切；
②如图，连接，过作于，
由题意得，，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
4．【详解】（1）证明：过点A作于点H，如图1所示：
，
，
是线段的垂直平分线，
根据垂径定理得：经过的圆心O，
是的半径，
，
，
是的切线；
（2）解：过点E作于点M，连接，并延长交于点K，连接，如图所示，则为的直径，
，
，
平分，
，
，
是的切线，为的直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
在中，，
，
，，
，
，
在和中，
，，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
根据圆周角定理得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：
5．【详解】（1）解：所在直线与相切．
证明：，为的中点，
．
．
，
．
．
．
．
，
．
．
点在上，
与相切．
（2）解：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
在中，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
．
6．【详解】（1）解：为的直径，
，
，
，点为的中点，
，
为的切线，
，
，
，
；
（2）解：如图1，连接，
，
，
中，是的中点，
，
，
，即，
，
即，
为的半径，
为的切线；
（3）解：如图2，过点作于，交于，则，
，
设，，
，，
，
，
（负值舍去），
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
是的中点，是的直径，
，
，
，
，
，即，
设，，
，即，
，
，，
由勾股定理得：，，
．
7．【详解】（1）证明：如图，连接，，
∵四边形是菱形，
∴，
∵切于点，
∴，
，
在和中，
，
∴，
，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线．
（2）解：如图，连接，，记与的另一个交点为，连接，
∵为的直径，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∵切于点，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），∴．
8．【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是直径，，
∴，，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
9．【详解】（1）证明：如图，连接，
是的切线，
，
为直径，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线．
（2）解：是的切线，
，
，
由（1）得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
10．【详解】（1）证明；如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，过点C作于H，过点D作于M，
设，则，
由（1）可得，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
在中，，
∴，，
在中，由勾股定理得；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∴．
11．【详解】（1）证明：如图，连接，
是的切线，
，
为直径，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线．
（2）解：是的切线，
，
，
由（1）得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
12．【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
连接，
∵，，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：延长交于点G，设的半径为，
则四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵O是的中点，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
又∵，
在中，，即，
解得：（舍去），，
∴的半径为．
13．【详解】（1）证明：在中，是的直径，
，
，
，
，
即，
，
是的切线；
（2）解：在中，，
∵，
，
，
在中，，
，
中，，
在中， ，
，
连接、，
、是的直径 ，
、互相平分且相等，
四边形是矩形，
，，
，
，
，即，
解得：，
．
（3）解：设，
∴，
∴，
根据（1）可得，
∴，
∴，即，
即，
，
中，，
，
，
，
由（2）可知，，
即，
整理得，
解得，
，
，
．
14．【详解】（1）证明：如图，连接，，
∵四边形是菱形，
∴，
∵切⊙于点，
∴，
，
在和中，
，
，
，
∵为半径，
∴为的切线；
（2）解：如图，连接，，记与的另一个交点为，连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，而，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去）
∴．
15．【详解】（1）证明：如图，连接，过点O作，垂足为H
与相切于点，
，即，
，
，点O是的中点，
，，
，
，即圆心O到直线的距离等于半径，
是的切线；
（2）解：如图，过点D作，交于点M，
，
，，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
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