2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习十五：圆中切线的证明综合训练（含答案）

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2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习十五：圆中切线的证明综合训练
1．如图，是的直径，是的切线，切点为，连接，过点作交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为6，求的长．
2．如图，，分别与相切于点，，且，平分．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
3．如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径长．
4．如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画，与边相切于点，，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
5．如图，是的外接圆，点在的延长线上，且，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，则_________°．
6．如图，是的切线，为切点，连接交于点，且，上有一点且，连接，．求证：
(1)为等边三角形；
(2)是的切线．
7．如图，是的直径，是的弦，是劣弧上一点，且平分，过点作的垂线，垂足为延长线上的点，延长交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，的半径为，求阴影部分的面积．
8．如图，中，，为的中点，与相切于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
9．如图，在中，直径，是线段延长线上的一点，切于点，是上一点，且，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)当时（如图2），求的长；
(3)若四边形是菱形（如图3），求阴影部分面积．
10．如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点．
(1)求证：是的切线；
(2)为边上的中线，若，求的值．
11．如图①，为等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D，连接并延长，交于点H，交的延长线于点．
(1)求证：为的切线．
(2)如图②，记（1）中的切点为E，连接，．求证：．
(3)若的半径为3，，求的长．
12．在中，，D为的中点，点O在上，与相切于点E，若．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
13．如图，内接正方形与交于点是的劣弧上的任意一点，连接，，延长至，使．
(1)的度数为___________；
(2)求证：直线是的切线；
(3)当，时，求线段的长度．
14．如图，是的直径，是的弦，点M是外一点，过点C作的切线，交的延长线于点N，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)点D是的中点，连接，若，，求的长．
15．停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．图2是某直角停车楔和轮胎的示意图，，当车辆停于水平地面时，此时停车楔紧贴轮胎，停车楔边与地面重合，是的直径，的平分线，交于点，连接，过点A作交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若的半径为，，求图2中阴影部分的面积为多少．
参考答案
1．【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，，
，
，
是的切线，
，
，
，
又因为是半径，
是的切线；
（2）解：连接交于点，
的半径为6，
，
，
，
，
垂直平分，
，
设，
，
，
解得，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
．
2．【详解】（1）证明：连接，过点作于点，
∵，分别与相切于点，，
∴，
∵平分，，
∴，
∵是半径，
∴是半径，
∴与相切；
（2）解：∵，，，，
∴
，
∵平分
∴，
，
，
，
，
∵，
∴．
3．【详解】（1）证明：如图，连接，
∵为的直径，与相切于点B，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵是的半径，且，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴的半径长为．
4．【详解】（1）证明：连接，

又是的切线，点是切点，
，即，
在和中，，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：设的半径为，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得（负值舍去），
∴的半径为．
5．【详解】（1）证明：，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：根据（1）可得，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
6．【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴，
∴，
∵，即点为的中点，
∴，
∵点、在上，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（2）证明：∵为等边三角形，，
∴，
∵点、在上，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
7．【详解】（1）证明：如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
又点在圆上，
是的切线；
（2）解：是直径，是圆的切线，
，
，平分，
∴，
∴，，
，
，
，
∴，
，
．
8．【详解】（1）证明：如图，连接，，作于点．
∵，为的中点，
∴平分．
∵与相切于点，
∴是的半径，，
∵，平分，
∴．
∴也是的半径，
∴是的切线；
（2）解：在中，，，
∴．
设，则．
∵，为的中点，
∴，即．
在中，；
在中，，
∴，
展开化简得，解得，
∴．
9．【详解】（1）证明：如图，连接、，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∵切于点，是上一点，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接、，
由（1）知：，
∵，
∴四边形为矩形，
又∵，直径，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接、，设，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，，
∴，
∴
．
即阴影部分的面积为．
10．【详解】（1）证明：连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的切线，A是切点，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴
设的半径为r，
则，，
∴，
∴，
解得 ，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
，
∵为边上的中线，
，
∴，
即的值是．
11．【详解】（1）证明：如图，过点O作于点E，则，
与相切于点D，
∴，
∴，
为等腰三角形，
∴，
又O是底边的中点，
∴，
∴，
，即是的半径．
为的切线．
（2）证明：如图，连接，
与相切于点E，
∴，
∴，
为的直径，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图．，为的切线，切点分别为D，E，
∴，，
的半径为3，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
12．【详解】（1）证明：连接，过点作于点
∵，D为的中点，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵与相切于点E，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
设，
由题意得，，
在中，由勾股定理得，，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∴，
解得．
13．【详解】（1）解：，∵内接正方形
∴，
∴．
故答案为：；
（2）证明：在正方形中，，
．
，
，
，
．
是的半径，
是的切线．
（3）解：如图，延长至，使，连接，则．
四边形是正方形，
．
四边形是圆内接四边形，
．
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
设，则．
为的直径，
，
在Rt中，，
即，解得，
，
等腰中，，
是的劣弧上的任意一点，
，
．
14．【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
即，
∵在上，
∴是的切线；
（2）解：设，
∵是的切线，
∴，
在中，
∵
∴，
解得，
∴，
设，在中，
∵，
∴，
，
∵为的中点，
∴，
∴．
15．【详解】（1）证明：连接，如图，
，
，
的平分线AC，
，
，
，
，
，
，
为圆O的半径，
是的切线；
（2）证明：连接，
，
，
，
，
与相切于点C，
，
，
；
（3）解：连接，过点O作于点H，如图，
的半径为，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
阴影部分的面积
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