2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习十四：几何中的旋转问题综合训练（含答案）

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2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习十四：几何中的旋转问题综合训练
一、选择题
1．如图，在中，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
2．如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（ ）
A．32 B．24 C． D．16
3．如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　)

A． B． C．3 D．
4．在中，，，点在边上，．若，，则的长为（ ）
A．9 B． C．10 D．
5．如图，是等边内一点，，，．将线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点．
(1)则______；
(2)若，，求和的长．
7．在正方形中，点E是边上的一个动点，点F是的中点，点G在边上且，，的延长线交于点M．
(1)如图1，当点E与点B重合时，求的度数；
(2)如图2，当点E与点B不重合时，（1）中的度数是否发生变化？若有改变；请求出的度数，若不变，请说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，作于点N，连接，，取的中点P，连接，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
8．中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为．
(1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°；
(2)如图②，当点在上时，若，求的度数；
(3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值．
9．如图1，在中，，点分别是边、的中点，连接．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，．
(1)探究的值；
(2)如图3，当时，延长交于点，求的长；
(3)在旋转过程中，求面积的最大值．
10．学习了《数学实验手册》七（上）钟面上的数学后，小明制作了一个如图所示的模拟钟面，点为模拟钟面的圆心，钟面上有一条水平线，指针每秒钟转动，指针每秒钟转动．设转动的时间为秒（），（），请试着解决下列问题：
(1)若指针同时从开始顺时针旋转．
①当秒时，________；
②当指针从旋转到的过程中，________时，指针与互相垂直；
(2)若指针从开始顺时针转动，同时指针从开始逆时针转动．在与第二次重合前，求t为何值时；
11．已知，中，，，，点D为射线上一点，，过点D作，交射线于点E．将绕点A顺时针旋转得到，其中旋转角（）．
(1)求的值．
(2)当，且时，当的面积为8，求的面积．
(3)若点N为直线上一点，且在旋转过程中，的最小值为3．求k的值，并求当B、F、G三点共线时的面积．
12．如图，已知，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒，射线从开始，绕点顺时针旋转，旋转的速度为每秒，和同时开始旋转，当射线第一次与射线重合时，射线和同时停止旋转，设旋转的时间为秒．
(1)射线和重合时，求的值．
(2)射线与重合时，求的值．
(3)求为何值时，．
13．已知：如图1，四边形中，，，．
(1)如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是_______．
(2)若，，在（1）的基础上，求四边形的面积．
(3)如图3，四边形中，，，，，，则四边形的面积为_______．
14．综合与探究
问题情境：将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点．

猜想证明：
（1）猜想与的数量关系，并证明；
（2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接，求证：四边形是平行四边形；
问题解决：
（3）在矩形绕点顺时针旋转的过程中，设直线与直线相交于点，若 ，，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的值．
15．综合与实践
如图，正方形和正方形有公共顶点，将正方形绕点按顺时针方向旋转，记旋转角，其中，连接，．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)请你画出除图1外，满足的其它图形，并写出的度数；
(3)旋转过程中，________时，最大，________时，最小；
(4)旋转过程中，判断与的大小关系，并写出对应的的范围．
参考答案
一、选择题
1．D
2．D
3．A
4．B
5．D
二、填空题
6．【详解】（1）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
（2）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，，
∴在中，．
7．【详解】（1）解：∵点F是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∵正方形中，，，
，
∴，
∵，
∴．
（2）解：不变，
理由：如图，连接，取中点O，连接，，，
在正方形中，，，，
又∵点F是的中点，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵O，F分别是，的中点，
∴，
∴．
（3）解：，
理由：如图，取中点Q，连接，，，
由题意得，是等腰直角三角形，
∵Q为中点，
∴，
设，则，，
∵P，Q分别是，的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
8．【详解】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角，
则，
故答案为：；
（2）解：根据旋转的性质可得，，，
∴，
∵，
∴，
由题意可得，，即，
解得，
∴；
（3）解：连接，如图：
由旋转的性质可得，，，
由勾股定理可得，，
∵点为的中点，
∴，
∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动，
从而得到的最大值为，的最小值为．
9．【详解】（1）解：∵，E是边，的中点，
∴，，
∴，
将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当时，延长交于点，
∴，
由（1）得：，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
由等面积法可得：，
∵，，，
∴；
（3）解：过作于点，
中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值，
∴当点在的高所在的直线时，的面积取得最大值，如图：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴面积的最大值为：
．
10．【详解】（1）解：①当时，，，
，
即：，
②如图1，由题意可知，，，
，
，
，即，
解得：．
故答案为：36；5．
（2）由题意可知，，，
第一种情况：
第一次重合前，如图2，可得，，
即，解得；
第二种情况：
第一次重合后，且与的右侧时，如图3，可得，，
即，解得；
第三种情况：
第一次重合后，第二次重合前，且与的左侧时，如图4，可得，，
即，解得；
综上，在与第二次重合前，时，的值为或或16．
11．【详解】（1）解：在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵绕点A旋转至，
∴，，，
∴ ，，
∴，
∴；
（2）解：过C作延长线于I；过C作，交延长线于H，
由（1）可知，
∴，
∴，，
∵旋转至，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3）解：∵当F、G两点分别在直线两侧，且F、N、G共线时，的值最小，此时，
∴，
∵，
∴，
∴， ，
①当B、F、G共线，F居中时，
过C作垂直于M ，

在中，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
②当B、F、G共线，G居中时，

同①，，
综上所述， ，当B、F、G三点共线时的面积为或．
12．【详解】（1）解：（秒）；
（2）解：（秒）；
（3）解：由题意可知，，，，
，
，
①如图，射线与重合前，
，
，
解得：；
②如图，射线与重合后，
，
，
解得：，此时射线和重合，
综上可知，当时，的值为或．
13．【详解】（1）解：∵将绕点顺时针方向旋转得到，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
即的形状是等边三角形，故答案为：等边三角形；
（2）如图，过点作于点，
∵，，，
∴，，，
∵四边形中，，，
∴，
∴，
∴点、、共线，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴四边形的面积为；
（3）连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，过点作交于点，
∵将绕点顺时针方向旋转得到，
∴，，，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：．
14．【详解】解：（1）如图，连接，

∵四边形与四边形都是矩形，
∴，
∴，
即，
根据旋转的性质可得：，
∵，，
∴，
∴．
（2）如图：连接，

根据旋转的性质可得：，
∵四边形是矩形，
∴，，，
即，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
（3）如图，当点，在的同一侧时，

根据旋转的性质可得：，，，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
即；
如图：当点，在的异侧时，

根据旋转的性质可得：，，，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
即；
综上，的值为或．
15．【详解】（1）证明：如图，连接，
当时，则重合，重合，
∵四边形与四边形都是正方形，
∴，
∴重合，
∵垂直平分，
∴；
（2）解：由（1）知，当点F在垂直平分线上时，则，
∴当点F在延长线上时，满足，
如图：
则，即三点共线，点在延长线上，
∴；
（3）解：根据题意可得点F在以点A为圆心，正方形对角线的长为半径的圆上运动，
如图，当三点共线时，由最大值，
此时，；
同理，如图，当三点共线时，有最小值，
此时，；
（4）解：如图，由（1）（2）知，或时，，，连接，
∵，
∴，
∴，
当点在下方时，即时，
∴，
∴，
如图：在中，，
∴，
∴，
同理得：；
当点在上方时，即时，
同理得：，
∴，
综上：当或时，，当时，，当时，．
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