2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习十三：正方形的判定与性质综合训练（含答案）

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2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习十三：正方形的判定与性质综合训练
一、选择题
1．如图，分别为正方形的边上的点，且，则图中的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．16
4．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
5．如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分；④．其中正确的结论有（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
二、填空题
6．在等腰中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
(1)证明：四边形是正方形；
(2)若，求正方形的面积．
7．如图，在正方形中，G、E、F是正方形边上的点，连接、，与交于点M，，．
(1)求证：；
(2)连接、、、的中点P、Q、R、S，试说明四边形是什么特殊的四边形．
8．如图，正方形的一边在直线l上，直线交直线l于点D，，点F在直线l上，连接，过点F作交直线于点E．

(1)如图1，当点为线段的中点时，判断与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点F在线段上运动时，判断（1）中的数量关系是否依然成立，并说明理由；
(3)若，连接，交正方形一边于点M，直接写出的值．
9．如图，正方形中，G是延长线上的一点，E是线段上的一点，平分，连接，．
(1)如图1，当E在边上时，求证．
(2)如图2，当E在边延长线上时，连接交延长线于点F，连接，请直接写出之间的数量关系
(3)在（2）的条件下，当，时，求的长．
10．如图，中，，、为的外角平分线，过点分别作直线的垂线，为垂足．
(1)______（直接写出结果不写解答过程）；
(2)①求证：四边形是正方形；
②若，求的长．
(3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形中，，一条高是，它的长度为6，，直接写出的长度．
11．如图1，已知正方形的边长为3，点分别在正方形的四条边上，且满足，顺次连接点围成四边形，连接．
(1)求四边形的对角线的长．
(2)将四边形绕点旋转一周，在旋转过程中，分别解答下列问题．
①如图2，当点落在的延长线上时，连接，求的值；
②如图3，已知点是的中点，连接，，当最小时，记此时的长为；当最大时，记此时的长为．直接写出的值．
12．如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点B与原点重合，点分别在y轴和x轴上，顶点的坐标满足．
(1)求证：四边形为正方形；
(2)若点E为线段边上的动点，连接，过E点作，且，连接的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由；
(3)连接，当时，直接写出的长．
13．四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接．
(1)的长为___________，___________度；
(2)如图，当点在线段的延长线上时，
①求证：矩形是正方形；
②若，求正方形的边长；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，请直接写出的度数．
14．如图，在正方形中，，点是上的一点，连结．过点作，交于点，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)若恰为的中点，请求出的长．
15．如图，在矩形中，的平分线交于点于点于点与交于点O．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，已知，求的长．
参考答案
一、选择题
1．D
2．B
3．D
4．A
5．A
二、解答题
6．【详解】（1）解：证明：∵，
，
∵E是的中点，
∴，
又∵，
在和中，
，
，
，
∵D是的中点，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
∵，，D是的中点，
∴在中，，，
∴平行四边形是正方形；
（2）解：，
，
由（1）知，，
在中，，
．
7．【详解】（1）证明：如图，过点作于点，则，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，
，，
，
，
，
，
如图，连接、、、的中点P、Q、R、S，
、、、分别是、、、的中位线，
，，，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是正方形．
8．【详解】（1）解：，理由如下：
如图，取的中点，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点为线段的中点，点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
（2）解：依然成立，理由如下：
如图，在上截取一点，使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（3）解：①如图，当点在上时，过点作于点，作，交延长线于点，
∴四边形是矩形，是等腰直角三角形，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
由上已证：，
设，则，
∵，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，当点在延长线上时，延长至点，使得，过点作于点，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，；
③当点在延长线上时，过点作，交延长线于点，
同理可得：，
∴，
∴此时与正方形的边没有交点，舍去；
综上，的值为或2．
9．【详解】（1）证明：过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵平分，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
设，
则
∵，
∴，
∴，
，
∴或（舍），
∴，
∴，
∴和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
证明：如图所示，过点E作交于T，连接，
由（1）可得，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵正方形中，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
如图所示，过点P作交延长线于N，于H，
∵平分
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴；
如图所示，在射线上取一点M，使得，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
（3）解：设，
∴，，
∴由（2）结论，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．【详解】（1）解：，
，
，
平分，平分，
，，
，
．
故答案为；
（2）证明：作于，如图所示：
，，
，
四边形是矩形，
，外角平分线交于点，
，，
，
四边形是正方形；
解：设，
，
，
由得四边形是正方形，
，
在与中，
，
，
同理，，
在中，，
即，
解得：，
的长为；
（3）解：根据题意作出图形，如图所示：把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，
由得：四边形是正方形，，，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即．
11．【详解】（1）解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，，
∴，，
∴四边形为菱形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
根据勾股定理得：
，
∴．
（2）解：①取的中点O，过点O作于点M，过点H作于点N，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵四边形为正方形，O为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
过点F作于点Q，同理可得四边形为矩形，
∴，
∴，
∴．
②∵点是的中点，，
∴，
∴在旋转过程中，点O在以点E为圆心，为半径的圆上运动，
当与相切时，最小，如图所示：
根据切线的性质可知：，根据正方形的性质可知：，
∴此时点D、H、、在同一直线上，，
∴；
当与相切时，最大，如图所示：
根据切线的性质可知：，根据正方形的性质可知：，
∴此时点D、、三点共线，，
∴；
∵，
∴
．
12．【详解】（1）证明：，，
，，
，，
点，
，
又四边形是矩形，
四边形是正方形．
（2）解：是定值，恒为，理由如下：
如图，在上截取等于，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
∵
∴，
，
，
，
又，
，
又，
，
，
又在正方形中，
．
（3）解：如图，
∵，且，
∴由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，
∴由勾股定理得：．
13．【详解】（1）解：∵四边形为正方形，，
∴，
在 中，
由勾股定理得：，
故答案为：．
（2）解：①过点作于于点，如图1所示：
则四边形为矩形，
，
∴为等腰直角三角形，
，
∴矩形为正方形，
，
，
∵四边形为矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∴矩形是正方形；
②连接，如图2所示：
∵四边形和四边形都是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得：，
在 中，由勾股定理得：，
，
，
即正方形的边长是．
（3）解：当线段与正方形的某条边的夹角是时，
有以下两种情况：①当时，此时点在线段上，
，
过点作于，交的延长线于，如图3所示：
则四边形为矩形，
同（2）①可证四边形为正方形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
②当时，此时点在的延长线上，
过点作于，交的延长线于，如图4所示：
由（2）①可知：四边形为正方形，
同理可证：，
，
，
综上所述：的度数为或．
14．【详解】（1）证明：如图，作于点，于点．
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
，
，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
（2）解：如图，连接，
为的中点， ，
，，
在中，，
∵四边形是正方形，
，
，即，
解得，
∴，
由（1）得，设，则．
∴，
解得(负值舍去)，即，
∴．
15．【详解】（1）证明：∵矩形，
∴．
∵，
∴
∴四边形是矩形．
∵平分，
∴，
∵正方形中，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）证明：∵，而由（1）得
∴，
∵平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，，
∴由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴．
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