2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习十二：菱形的判定与性质综合训练（含答案）

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2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习十二：菱形的判定与性质综合训练
一、选择题
1．如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，矩形中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线分别交于点E，F，连接和，若，以下结论正确的个数是（ ）
①四边形是菱形；②；③；④若点是直线上的一个动点，则的最小值是9．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在矩形中，，，，分别为，，，的中点．若，则四边形的周长为（ ）
A． B． C．6 D．
4．如图，在中，，，和的平分线分别交BC于点E，F，与交于点，若，则的长为（ ）
A．6 B． C． D．
5．如图，在中，，和关于直线对称，连接，与相交于点，过点作，垂足为，与相交于点，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
6．如图，在中，，为中点，为中点，过点作交延长线于点，连接．
(1)证明：四边形为菱形；
(2)与相交于点，若，，求的长．
7．综合与探究
(1)如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，过点O作直线，交于点E，交于点F，连接，，且平分．
①求证：四边形是菱形；
②直接写出的度数．
(2)把（1）中菱形进行分离研究，如图2，G，I分别在，边上，且，连接，H为的中点，连接，并延长交于点J，连接，，，．试探究线段与之间满足的数量及位置关系，并说明理由．
8．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)如果，求的度数．
9．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接和．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
10．如图，在四边形中，，，对角线平分．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
11．如图，在中，，为的中点，点E在上，过A点作的平行线交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，且，求的长．
12．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
13．如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点在边上，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，求．
14．如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若平分，求证：．
15．如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积．
参考答案
一、选择题
1．D
2．C
3．B
4．D
5．C
二、填空题
6．【详解】（1）证明：，
，
点为中点，
，
在和中，
，
，
，
点为中点，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
在中，，点为中点，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：连接交于点，如图所示：
由（1）可知：四边形是菱形，
，
，
，
点为中点，
，
在中，，
由勾股定理得：，
，
点为中点，为的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
设，
，
解得：，
．
7．【详解】（1）①证明：由题意知，，，，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，，，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，，理由如下：
延长到M，使，连接，如图所示：
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，，，
∵H为的中点，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∵
∴，，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，．
8．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵垂直平分线段，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
∴．
9．【详解】（1）证明：∵点为的中点，且，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，且，
∴，，
又∵点为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知：四边形是菱形，
∴菱形的面积为：．
10．【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵对角线平分．
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵在中，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∵中，，
∴，
解得或，
∴或，
∴或，则或，
∴菱形的面积为或．
∴菱形的面积为96．
11．【详解】（1）证明：∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴平行四边形为菱形，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴．
12．【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，是的中点，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）过点作交的延长线于点，则，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴和都是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，
∴根据勾股定理，，
∴，
∵在中，
∴根据勾股定理，，
∴CF的长是．
13．【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
∴；
（2）解：由（1）知，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
，
，
，
．
14．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
又，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）证明：∵平分，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
15．【详解】（1）证明：垂直平分，
，，
四边形是平行四边形
，
，
在与中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为菱形；
（2）解：，
，
，
四边形为菱形，
为的中点，
∵为线段的中点，
是三角形的中位线．
，
，
，，
，，
如图，作，垂足为，则，
，
则．
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