19.2二次根式的乘法与除法 培优训练（含答案）2025—2026学年人教版八年级数学下册

19.2二次根式的乘法与除法培优训练人教版2025—2026学年八年级数学下册
一、选择题
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．估计的值在（ ）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．等式成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
6．的整数部分是x，小数部分是y，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．化简的结果为__________．
10．若为正整数，且满足，则_____．
11．已知的整数部分是，小数部分是，是的算术平方根，则的值是_________．
12．已知，，则的值为__________．
三、解答题
13．计算：
(1)； (2)； (3)．
14．我们知道：无理数是无限不循环的小数．下面是探究无理数的大小过程：
因为，，所以；
因为，，所以；
因为，，所以；
因为，，所以；
……
如此进行下去，可以得到的更加精确的近似值．
（1）请仿照上面的思考过程，请直接写出无理数的大致范围？（精确到0.01）
（2）填空：①比较大小：______（填“>、<或=”）
②若、均为正整数，，，则的最小值是______．
（3）现有一块长，宽为的长方形木板，要想在这块木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，张师傅准备采用如图的方式进行，请你帮助分析一下，他的方法可行吗？
15．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形．
（1）①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定是可爱三角形，是否正确．并填空 　 　（填“正确”或“不正确”）；
②若三角形的三边长分别是4、2、，则该三角形 　 　（是或不是）可爱三角形；
（2）①若等腰三角形是可爱三角形，并且有一边长为，则周长为 　 　；
②若Rt△ABC是可爱三角形，且一条直角边长为，则斜边长为 　 　．
16．材料1：因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．比如：π，等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．
材料2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5 2得来的．
材料3：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如，是因为．
根据上述材料，回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值．
（3）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，求x+4y的倒数．
17．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都1，在所给网格中按下列要求画出图形．
(1)已知点A在格点（即小正方形的顶点）上，画一条线段AB，长度为，且点B在格点上；
(2)以上题中所画线段AB为一边，另外两条边长分别是3，画一个△ABC，使点C在格点上（只需画出符合条件的一个三角形）；
(3)求所画的△ABC的AB边上高线的长．
18．晓明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是晓明的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：＝_____．
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，按此规律第n个式子可以表示为：_____．
(3)应用运算规律：
①化简：＝____；
②若（a，b均为正整数），则a+b＝_____．
参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．A
4．D
5．C
6．A
7．B
8．A
二、填空题
9．
10．5
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
（3）解：原式．
14．【详解】解：（1）∵，，
∴；
∵，，
∴；
∵，，
∴，
（2）①∵，
∴
∴
故答案为：＞.
②∵，，
∴；
∵且为正整数
∴a的最小值为3
∵，，
∴
∵且为正整数
∴b的最小值为1
∴的最小值为4；
（3）∵两个正方形的面积分别为、
∴两个正方形的边长分别为、
∵，
∴
∴这个方法可行
15．【详解】（1）①设等边三角形的边长为，
等边三角形一定是可爱三角形，
故答案为：正确；
②
该三角形是可爱三角形
（2）①等腰三角形是可爱三角形，有一边长为
当为腰时，设底边为，根据题意可得：
或
周长为
当为底边时，设腰长为，根据题意得：
或
解得
周长为
②ABC一条直角边长为，设斜边长为，
则另一条直角边为，
Rt△ABC是可爱三角形，
或
解得：或
故答案为：或
16．【详解】解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分是-4，
故答案为：4，；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴a=6，b=7，
∴a+b=13；
（3）∵1＜＜2，
∴1+3＜3+＜2+3，
∴4＜3+＜5，
∴x=4，
y=3+-4=，
x+4y=4+4(-1）=4，
∴x+4y的倒数是．
17．【详解】（1）解：如图，线段AB 即为所求作的线段，
（2）如图，画出△ABC
∴△ABC就是所求作的三角形
（3）解：如图，过作于
18．【详解】（1）解：．
（2）解: ,
（3）解: ①
＝2021×
＝2021×
＝2021．
②∵(a，b均为正整数)，
∴a+1＝11，b＝a+2．
∴a＝10，b＝12．
∴a+b＝22．