河北省保定市2025_2026学年高一数学上学期第一次阶段考试（含解析）

河北省保定市2025-2026学年高一数学上学期第一次月考试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．下列选项不正确的是（ ）
A．当时，的最小值是3 B．已知，则的最大值是
C．当时，的最大值是5 D．设，则的最小值为2
4．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
7．已知集合，，且满足，则实数的取值范围为（ ）.
A．或 B．
C．或 D．
8．已知，且，则的最小值是（ ）
A． B．5 C． D．7
二、多选题
9．设，．若，则实数可能的取值为（ ）
A． B． C． D．
10．设集合，或，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．已知且，则下列不等式恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知集合，则的真子集的个数是 ．
13．已知集合，且，则 .
14．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
15．已知命题，命题.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围.
16．已知集合.
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围.
17．回答下列问题
(1)已知，求的取值范围
(2)若，求的最小值
(3)已知，且，若恒成立，求的取值范围
18．如图，某农户计划用20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地，设该矩形菜地的长为米，宽为米.
(1)当该菜地的长为何值时，该菜地的面积取得最大值？并求出该菜地面积的最大值.
(2)求的最小值.
19．已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题．
(1)请根据基本不等式，证明；
(2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）；
(3)若，求的最小值．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D C C A A D BCD ABC
题号 11
答案 ABC
1．B
由集合的交集和补集运算可得结果.
【详解】由，可得或，则.
故选：B．
2．A
根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可
【详解】由，得，解得，
因为当时，成立，而当时， 不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
3．D
根据基本不等式及对勾函数的性质直接可得.
【详解】对于A：当时，，
当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是3，故A正确；
对于B：当，则，所以，
当且仅当，即时等号成立，所以，即的最大值是，故B正确；
对于C：当时，，
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是5，故C正确；
对于D：令，所以，
由对勾函数的性质可知，在单调递增，所以，故D错误.
故选：D.
4．C
将变形为，变形为，分析结构可知，从而得到结果.
【详解】，
，
表示等奇数，
表示等奇数，
.
故选：C.
5．C
应用作差法，结合不等式性质判断各项的正误.
【详解】A：，则，则，错；
B：，又，
所以的符号无法确定，故和大小不确定，错；
C：，则，对；
D：，则，则，错.
故选：C
6．A
根据题意，由不等式的解集结合韦达定理代入计算，即可得到，然后求解一元二次不等式，即可得到结果.
【详解】因为不等式的解集为或，
所以方程的两根分别为，
由韦达定理可得，解得，
则不等式可化为，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A
7．A
先由得到，再分类讨论，利用根与系数的关系进行求解.
【详解】，，
当时，，即；
当时，利用韦达定理得到，解得；
当时，利用韦达定理得到，无解；
当时， 根据韦达定理得到 ，解得 ；
综上，实数a的取值范围是.
故选：A.
8．D
根据条件得，代入，利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案.
【详解】，，可得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为7.
故选：D.
9．BCD
求出集合，再根据集合包含关系求解．
【详解】由题意，
若，则，
若，则，因为，所以或，即或．
故选：BCD．
10．ABC
根据集合包含的定义即可判断A；根据元素与集合的关系求解判断B；根据交集、并集结果求出参数范围可判断CD.
【详解】对于A，若，则，则，故A正确；
对于B，若，则，解得，故B正确；
对于C，若，则，解得，故C正确；
对于D，若，则，无解，
所以若，则，故D错误.
故选：ABC.
11．ABC
利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】对于A，因为，，
所以，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，因为，
当且仅当时取等号，故B正确；
对于C，，
则，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，因为，
当且仅当，即时取等号，而,
故D错误.
故选：ABC.
12．
根据题意可得，即可根据真子集的个数公式求解.
【详解】,
集合中有个元素，
则的真子集的个数是.
故答案为：.
13．0或
根据集合相等可得出关于实数a、b的方程组，利用集合元素满足互异性可求得实数a的值.
【详解】因为集合，且，分以下两种情况讨论：
当时，解得或，
若，集合A、B中的元素均不满足互异性；
若，则，符合题意；
当时，解得或，
若，集合A、B中的元素均不满足互异性；
若，则，符合题意；
综上所述，或，
故答案为：0或
14．
对讨论，结合判别式即可求解.
【详解】当时，则对一切实数都成立，符合题意，
当时，则，解得，
综上可得，
故答案为；
15．(1)；
(2).
（1）利用全称量词命题为真求出的范围，再由为真求得答案.
（2）由存在量词命题为真求出命题，进而求出，再结合（1）的信息求出结果.
【详解】（1）对于任意，不等式恒成立，而，则，
即命题，则命题，
所以实数的取值范围是.
（2）由，得，解得，
即命题，则命题，由（1）知命题，
由命题和均为真命题，得，
所以实数的取值范围是.
16．(1)
(2)
（1）先化简集合A和集合B，再利用交集定义即可求得；
（2）按集合C是空集和不是空集两种情况分类讨论，依据子集定义列出关于的不等式组，解之即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以，
因为
所以，所以
（2）①当，即时，此时，满足，符合题意；
②当，即时，，
要满足，则，
则解得，
综上所述得.故的取值范围是.
17．(1)
(2)
(3)
（1）利用不等式的性质求解取值范围即可.
（2）对原式合理变形，利用基本不等式求最值即可.
（3）对原式合理变形，将其变为，再利用基本不等式得到最值，进而求解参数范围即可.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，
得到，则.
（2）由题意得，
，
而，由基本不等式得，
当且仅当，此时解得，
则，故，得到的最小值是.
（3）因为，所以，
得到，即，
则，
，
由基本不等式得，
当且仅当时取等，而
此时解得，，
则，
而恒成立，得到.
18．(1)10米，50平方米
(2)
（1）根据题意可得，从而可得该菜地的面积为，利用基本不等式即可求解.
（2）利用，根据“1”的代换利用基本不等式可求最小值.
【详解】（1）由题意得，都为正数，
∴该菜地的面积为，
当且仅当时，等号成立，
∴当该菜地的长为10时，该菜地的面积取得最大值，最大值为50平方米.
（2）∵，都为正数，∴
∴
，
当且仅当，又，
即时，等号成立，
∴的最小值为.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)3
【详解】（1）因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立．
又，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立．
（2），当且仅当时等号成立．
推导如下：
由于，当且仅当时等号成立，
令， 得，
即，故，
所以，当且仅当时等号成立.
（3）因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，