2026年湖南省长沙市高三第一次模拟考试数学试题（人教版）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2026年湖南省长沙市高三第一次模拟考试数学试题（人教版）（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 619.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-21 00:00:00 | ||
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文档简介
2026年湖南省长沙市高三第一次模拟考试
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设，则“”是“”成立的
A．充要不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充要也不必要条件
2．非空集合A、B满足，，，则（ ）
A． B．R C．A D．B
3．已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域为，则“是奇函数”是“是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．或
6．如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正实数满足，则的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．有一组数据，则（ ）
A．该组数据的极差为6
B．该组数据的中位数为5
C．该组数据的平均数为4
D．将数据1均改为3后，方差会变大
10．在中，，则（ ）
A．
B．
C．
D．的面积为
11．已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于两点，其中，，则（ ）
A．直线的斜率为 B．点M到y轴的距离为7
C．的面积为 D．直线的倾斜角为30°或150°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若集合，则 .
13．已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为 .
14．作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数.若，，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．记的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若的角平分线交边于点，，，求的周长.
16．已知各项均不为零的数列，且满足.
(1)若是公比为的等比数列，求数列的前项和；
(2)若是公差为2的等差数列，记数列前项和为，证明：.
17．社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第1局甲、乙比，甲先手（每局中先走第一颗棋），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手．假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为，每局比赛没有平局且结果相互独立.
(1)若.
（i）求前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率；
（ii）求第2局和第4局参与的同学完全相同的概率；
(2)若前4局中甲参与的平均次数不小于，求的取值范围.
18．已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
19．已知函数，其中.
(1)当时，求在区间上的最大值；
(2)若在上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围；
(3)设为在内的极小值点，求证：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
2026年湖南省长沙市高三第一次模拟考试
数学试题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B A C B C D AC BCD
题号 11
答案 AC
12．得，则，则
故答案为：
13．椭圆的左焦点，圆化为，
圆心为，半径为1，因为点在圆上，所以;
的最小值为；
因为,当且仅当三点共线时，取到等号，而，
所以的最小值为.
故答案为：
14．法1：由题意得，
令，则，
所以当时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即.
当时，，当且仅当时，取得最小值2.
当时，，当且仅当时，取得最小值2.
当时，，当且仅当，时，取得最小值2.
综上所述，的最小值为2.
法2：表示点，横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和.
作于，，
令，则，
令，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，
故的最小值为2．
故答案为：．
15．（1）由及正弦定理，得，
，，
，，，，或.
，，，即.
（2）如图：
，
，①，
又在中，由余弦定理可得，即②，
将①代入②得，或（舍）, .
的周长为.
16．（1）由数列各项均不为零，且，所以，
因为是公比为的等比数列，所以，
因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，
所以；
（2）证明：因为，且是公差为2的等差数列，所以，
即，
当，且时，，
所以，因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以.
17．（1）（i）要使三人都参与两局，则每人恰好轮空一次，这要求第1局的胜者在第2局必须输掉，
若第1局甲胜乙，则第2局丙必须胜甲，概率为；若第1局乙胜甲，则第2局丙必须胜乙，概率为，
所以前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率为；
（ii）若第1局甲胜乙，则第2局参与的同学是甲和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同，则有两种情形：
①第2局甲胜丙，第3局甲胜乙；②第2局丙胜甲，第3局丙胜乙.
第①种情形概率为；第②种情形为.
若第1局乙胜甲，则第2局参与的同学是乙和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同，则有两种情形：
①第2局乙胜丙，第3局乙胜甲；②第2局丙胜乙，第3局丙胜甲.
第①种情形概率为；第②种情形为.
所以第2局和第4局参与的同学完全相同的概率为
；
（2）设甲在前4局的参与次数为随机变量，则，
，
，
，
所以
由得，
令，则，整理得，
解得，所以，又，
所以的取值范围为.
18．（1）设等差数列的首项为，公差为，
由题意得，解得，
所以.
（2）由（1）知，则，
所以，
得.
19．（1）当时，，，
时，，故，单调递增，
故.
（2）由题，，令，则，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减.
①当时，，则在上恒成立，此时单调递减，不存在极值点；
②当时，，
由零点存在性定理知，存在，当时，单调递减，
当时，单调递增，当时，单调递减，此时有唯一极小值点，极大值点；
③当时，，
存在唯一，使得，
所以在上单调递增，在上单调递减，此时在上有唯一极大值点；
④当时，恒成立，在上单调递增，此时无极值点.
综上，实数的取值范围为.
（3）由题知，，即，
要证，即证，
令，则，
令 ，得，
再令，，
当时，，则单调递减，
所以，单调递减，
所以，从而，可得单调递减，
所以有，
则有，
因此.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设，则“”是“”成立的
A．充要不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充要也不必要条件
2．非空集合A、B满足，，，则（ ）
A． B．R C．A D．B
3．已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域为，则“是奇函数”是“是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．或
6．如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正实数满足，则的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．有一组数据，则（ ）
A．该组数据的极差为6
B．该组数据的中位数为5
C．该组数据的平均数为4
D．将数据1均改为3后，方差会变大
10．在中，，则（ ）
A．
B．
C．
D．的面积为
11．已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于两点，其中，，则（ ）
A．直线的斜率为 B．点M到y轴的距离为7
C．的面积为 D．直线的倾斜角为30°或150°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若集合，则 .
13．已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为 .
14．作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数.若，，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．记的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若的角平分线交边于点，，，求的周长.
16．已知各项均不为零的数列，且满足.
(1)若是公比为的等比数列，求数列的前项和；
(2)若是公差为2的等差数列，记数列前项和为，证明：.
17．社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第1局甲、乙比，甲先手（每局中先走第一颗棋），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手．假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为，每局比赛没有平局且结果相互独立.
(1)若.
（i）求前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率；
（ii）求第2局和第4局参与的同学完全相同的概率；
(2)若前4局中甲参与的平均次数不小于，求的取值范围.
18．已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
19．已知函数，其中.
(1)当时，求在区间上的最大值；
(2)若在上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围；
(3)设为在内的极小值点，求证：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
2026年湖南省长沙市高三第一次模拟考试
数学试题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B A C B C D AC BCD
题号 11
答案 AC
12．得，则，则
故答案为：
13．椭圆的左焦点，圆化为，
圆心为，半径为1，因为点在圆上，所以;
的最小值为；
因为,当且仅当三点共线时，取到等号，而，
所以的最小值为.
故答案为：
14．法1：由题意得，
令，则，
所以当时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即.
当时，，当且仅当时，取得最小值2.
当时，，当且仅当时，取得最小值2.
当时，，当且仅当，时，取得最小值2.
综上所述，的最小值为2.
法2：表示点，横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和.
作于，，
令，则，
令，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，
故的最小值为2．
故答案为：．
15．（1）由及正弦定理，得，
，，
，，，，或.
，，，即.
（2）如图：
，
，①，
又在中，由余弦定理可得，即②，
将①代入②得，或（舍）, .
的周长为.
16．（1）由数列各项均不为零，且，所以，
因为是公比为的等比数列，所以，
因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，
所以；
（2）证明：因为，且是公差为2的等差数列，所以，
即，
当，且时，，
所以，因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以.
17．（1）（i）要使三人都参与两局，则每人恰好轮空一次，这要求第1局的胜者在第2局必须输掉，
若第1局甲胜乙，则第2局丙必须胜甲，概率为；若第1局乙胜甲，则第2局丙必须胜乙，概率为，
所以前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率为；
（ii）若第1局甲胜乙，则第2局参与的同学是甲和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同，则有两种情形：
①第2局甲胜丙，第3局甲胜乙；②第2局丙胜甲，第3局丙胜乙.
第①种情形概率为；第②种情形为.
若第1局乙胜甲，则第2局参与的同学是乙和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同，则有两种情形：
①第2局乙胜丙，第3局乙胜甲；②第2局丙胜乙，第3局丙胜甲.
第①种情形概率为；第②种情形为.
所以第2局和第4局参与的同学完全相同的概率为
；
（2）设甲在前4局的参与次数为随机变量，则，
，
，
，
所以
由得，
令，则，整理得，
解得，所以，又，
所以的取值范围为.
18．（1）设等差数列的首项为，公差为，
由题意得，解得，
所以.
（2）由（1）知，则，
所以，
得.
19．（1）当时，，，
时，，故，单调递增，
故.
（2）由题，，令，则，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减.
①当时，，则在上恒成立，此时单调递减，不存在极值点；
②当时，，
由零点存在性定理知，存在，当时，单调递减，
当时，单调递增，当时，单调递减，此时有唯一极小值点，极大值点；
③当时，，
存在唯一，使得，
所以在上单调递增，在上单调递减，此时在上有唯一极大值点；
④当时，恒成立，在上单调递增，此时无极值点.
综上，实数的取值范围为.
（3）由题知，，即，
要证，即证，
令，则，
令 ，得，
再令，，
当时，，则单调递减，
所以，单调递减，
所以，从而，可得单调递减，
所以有，
则有，
因此.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
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