2025-2026学年江苏省无锡市江阴市南菁中学九年级（上）月考数学试卷（1月份）(含部分答案)

2025-2026学年江苏省无锡市江阴市南菁中学九年级（上）月考数学试卷（1月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A. x-2y=1 B. x2-2x+1=0 C. x2-2y+4=0 D. x2+3=
2.下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（　　）
A.
B.
C.
D.
3.某小区计划在一块长32m、宽20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.设道路的宽为xm,则下面所列方程正确的是（　　）
A. 32×20-3x2=570 B. （32-x）（20-x）=570
C. （32-2x）（20-x）=570 D. 3x2=570
4.若二次函数y=（x+2）2+m与y=x2+nx+3的图象重合，则m,n的值为（　　）
A. m=1，n=4 B. m=1，n=-4 C. m=-1，n=-4 D. m=-1，n=4
5.分）在△ABC中，若，则∠C的度数是（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
6.在同一坐标系中，一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
7.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表所示：
x -3 -2 3 4
y -12 m 0 m
则当y＜0时，x的取值范围为（　　）
A. -1＜x＜3 B. -2＜x＜4 C. x＜-1或x＞3 D. x＜-2或x＞4
8.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法.如图所示以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点.若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的比值是（　　）
A.
B.
C.
D. 1
9.如图，在网格中建立平面直角坐标系，已知A（0，0），B（-3，1），C（3，4），若点D使得∠BCD=∠DAB，则点D的坐标可能是（　　）
A. （6，3）
B. （-3，4）
C. （4，5）
D. （-1，3）
10.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AC=x,∠BAC=α，O为AB中点，若点D为直线BC下方一点，且△BCD 与△ABC相似，则下列结论：
①若α=45°，BC与OD相交于E，则点E不一定是△ABD的重心；
②若α=60°，则AD的最大值为；
③若α=60°，△ABC∽△CBD，则OD的长为；
④若△ABC∽△BCD，则当x=2时，AC+CD取得最大值.
其中正确的为（　　）
A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.在整数20250520中，数字“0”出现的频率是 .
12.三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图所示）．现测得OA=20cm，OA′=50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是______．
13.已知数据x1，x2…，xn的方差是3，则一组新数据x1+4，x2+4，…，xn+4的方差是 .
14.如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm,BC=15cm,分别以A、C为圆心，以AB的长为半径作圆，从Rt△ABC中剪掉这两个半径相等的扇形，则阴影部分的面积为 cm2.（结果保留π）
15.已知Rt△ABC的两直角边AC、BC分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两根，则此Rt△ABC的内切圆的半径为 .
16.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，BD、CE分别是AC、AB边上的高，连接DE，若DE=2，则BC的长为 .
17.如图①，点A、B是⊙O上两定点，圆上一动点P从定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）.图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是 .
18.如图，定点A到直线l的距离为5cm,∠A=30°，将△ABC绕点A旋转，直线l分别与边AB、AC交于D、E两点，则线段DE长的最小值为 cm.
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
（1）计算：；
（2）解方程：x2+13=14x.
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，且O是BD的中点.求证：四边形ABCD是平行四边形.
21.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若x1，x2满足x1x2+x1+x2=4．求m的值．
22.(本小题8分)
体育节中，学校组织八年级学生举行定点投篮比赛，要求每班选派10名队员参加.下面是一班和二班参赛队员定点投篮比赛成绩的折线统计图（每人投篮10次，每投中一次记1分），请根据图中信息回答下列问题：
（1）将下表中一、二班队员投篮比赛成绩的有关数据补充完整：
平均数/分 中位数/分 众数/分
一班 8.2 8.5 ______
二班 8.0 ______ 8
（2）观察统计图，判断一班、二班10名队员投篮成绩的方差的大小关系：
s一班2______s二班2；
（3）综合（1）、（2）中的数据，选择一个方面对一班、二班10名队员定点投篮比赛成绩进行评价.
例如：从两班成绩的平均数看，一班成绩高于二班，除此之外，你的评价是：
23.(本小题8分)
A箱中装有3张相同的卡片，它们分别写有数字1，2，4；B箱中也装有3张相同的卡片，它们分别写有数字2，4，5.现从A箱、B箱中各随机地取出1张卡片，请你用画树状图或列表的方法求：
（1）两张卡片上的数字恰好相同的概率；
（2）如果取出A箱中卡片上的数字作为十位上的数字，取出B箱中卡片上的数字作为个位上的数字，求两张卡片组成的两位数能被3整除的概率．
24.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O是AC上一点，CO=，⊙O过点C与BC交于点E.
（1）求弦CE的长.
（2）求证：AE是⊙O的切线.
25.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ACB为钝角.
（1）尺规作图：在边AB上确定一点D，使∠ADC=2∠B（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；
（2）在（1）的条件下，若∠B=15°，CD=4，，求△ABC的面积.
26.(本小题12分)
某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售.已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元.用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同.
（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？
（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表，
售价x（元/件） 50≤x≤60 60＜x≤80
销售量（件） 100 400-5x
①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件.若B型纪念品的售价为每件m（m＞30）元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值.
27.(本小题12分)
如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线ADB和矩形OABC构成.矩形OABC的边米，OC=9米，以OC所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D的坐标为.
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM，点M正好在抛物线上，支撑MN⊥x轴，ON=7.5米，点E是OM上方抛物线上一动点，且点E的横坐标为m,过点E作x轴的垂线，交OM于点F.
①求EF的最大值.
②某工人师傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围.
28.(本小题12分)
定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x=m,对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线x=m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x=m的“镜面函数”.例如：图①是函数y=x+1的图象，则它关于直线x=0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成y=|x|+1.
（1）在图③中画出函数y=2x+1关于直线x=1的“镜面函数”的图象；
（2）函数y=-x2+2x+5关于直线x=-1的“镜面函数”与直线y=x+m有三个公共点，求m的值；
（3）已知A（-1，0），B（3，0），C（3，-2），D（-1，-2），函数y=x2-2nx+2（n＞0）关于直线x=0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】0.375
12.【答案】2：5
13.【答案】3
14.【答案】（45-9π）
15.【答案】1
16.【答案】2
17.【答案】
18.【答案】（20-10）
19.【答案】3- x1=13，x2=1
20.【答案】∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO，
∵OB=OD，∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴AB=CD．
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
21.【答案】解：（1）由题意得Δ=（2m-1）2-4m2≥0，
∴m≤．
故实数m的取值范围为m≤；
（2）依题意有x1+x2=-（2m-1），x1x2=m2，
∵x1x2+x1+x2=4，
∴m2-（2m-1）=4，
解得m1=-1，m2=3（舍去）．
故m的值是-1．
22.【答案】10 8 ＞
23.【答案】解：（1）由题意可列表：
A
B 1 2 4
2 （1，2） （2，2） （4，2）
4 （1，4） （2，4） （4，4）
5 （1，5） （2，5） （4，5）
∴一共有9种情况，两张卡片上的数字恰好相同的有2种情况，
∴两张卡片上的数字恰好相同的概率是；
（2）由题意可列表：
A
B 1 2 4
2 12 22 42
4 14 24 44
5 15 25 45
∴一共有9种情况，两张卡片组成的两位数能被3整除的有5种情况，
∴两张卡片组成的两位数能被3整除的概率是．
24.【答案】（1）解：过O作OF⊥BC，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，
∴AC===4，
∵OF∥AB，
∴△OFC∽△ABC，
∴，
∴=，
∴OF=1，
在Rt△OFC中，CF2=OC2-OF2，
∴CF==，
∴CE=2CF=2；
（2）证明：连接OE，
∵CE=2，
∴BE=BC-CE=2，
在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，
∴AE=2，
∵OE=OC=，AO=AC OC=4-=3 ，
∴AE2+OE2=AO2，
∴∠AEO=90°，
∵OE⊥AE，E在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
25.【答案】解：（1）如图，点D为所求作的点；
根据垂直平分平分线的性质，知：CD=DB，
∴∠DCB=∠B，
∴∠ADC=∠DCB+∠B=2∠B；
（2）由（1）知∠ADC=2∠B，CD=DB，
过点C作CE⊥AB于点E，
∵∠B=15°，
∴∠ADC=2∠B=30°，
∵CD=4，
∴CD=DB=4，CE=CD=2，
∴DE=，
∵AC=，
∴AE=，
∴AB=AE+ED+DB=，
∴△ABC的面积=．

26.【答案】A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元；
①当x=65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元．
②m=32．
27.【答案】解：（1）由题意知，抛物线顶点D的坐标为，
设抛物线的表达式为，
将点代入抛物线解析式得，
解得，
∴抛物线对应的函数的表达式为；
（2）①将x=7.5代入中，得y=3，
∴点，∴设直线OM的解析式为y=kx（k≠0），
将点代入得，
∴，
∴直线OM的解析式为，
∴==，∵，
∴当时，EF有最大值，为；
②∵师傅能刷到的最大垂直高度是米，
∴当时，他就不能刷到大门顶部，
令，即，
解得，
又∵EF是关于m的二次函数，且图象开口向下，
∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标m的范围是．
28.【答案】解：（1）如图③，即为函数函数y=-2x+1关于直线x=1的“镜面函数”的图象，
（2）如图，
对于y=x2-2x+2，当x=0时，y=2，
∴函数y=x2-2x+2与y轴的交点坐标为（0，2），
当直线y=-x+m经过点（-1，5）时，m=4；
此时y=x2-2x+2关于直线x=-1的“镜面函数”与直线y=-x+m有三个公共点，
当直线y=-x+m与原抛物线只有一个交点时，则有：-x+m=x2-2x+2，
整理得，x2-x+2-m=0，
此时，Δ=（-1）2-4（2-m）=0，
解得，m=，
y=0时，Δ=（-1）2-4（2-m）＞0，
综上，m的值为4或；
（3）函数y=x2-2nx+2（n＞0）的“镜面函数”解析式为y=x2+2nx+2（n＞0），
当x=-1时，y＜0，
∴1-2n+2＜0，
解得，；
当y=x2-2nx+2（n＞0）的顶点在CD上时，，
解得n=2或n=-2（舍），
此时，函数y=x2-2nx+2（n＞0）关于直线x=0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边有5个交点，不合题意，
∴，
当x=3时，y＜-2，
∴9-6n+2＜-2，
解得，；
综上，n的取值范围为或．

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