上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研（二）数学学科试卷(含答案)

上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研（二）数学学科试卷
一、选择题：本题共3小题，每小题3分，共9分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列选项条件中，一定能判定的是（　　）
A. B.
C. D.
2.如图，中，、分别是边、上的点，且线段经过的重心，下列说法错误的是（　　）
①若，则； ②若，则
③； ④；
A. ② B. ②③ C. ②③④ D. ②④
3.在中，，为的角平分线，将沿着直线折叠，点落在点处，若，，则的值为（　　）．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共1小题，共3分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
4.如图，点P在的边上，且，过点P的直线与的外接圆交于M、N，且点A为弧的中点．以下说法正确是（　　）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.抛物线的顶点坐标是 ．
6.在梯形中，，对角线相交于点O，如果，则 ．
7.计算 ．
8.若不等式的解集为一切实数，则a的取值范围是 ．
9.直线恒过定点 ．
10.抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为 ．
11.有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是 ．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）．
12.在中，，，点为线段的中点，连接并延长至点使得，则 ．
13.在平行四边形中，，，为中点，将线段顺时针旋转度至，若点恰在直线上，则 ．
14.如图，圆O为的外接圆，与相交于圆心，且，，直线与圆O交于，则 ．
15.将一张矩形纸片（如图），先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题．
①沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点E处，折痕交边于点G；
②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段上的点H处，折痕交边于点F；
③沿过点E的直线折出矩形，折痕交线段于点M，连接．
如果，则 ．
16.如图，在矩形中，，点为边的中点，点关于的对称点为点，连接交边于点，连接、，若，设，请列出一个可解出的值的方程 ．
四、解答题：本题共6小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题20分)
小明正在进行“关于生物遗传概率的探究”：
他从互联网上收集到了这些信息：
1．相对性状：同种生物同一性状的不同表现形式（如卷发、直发、双眼皮、单眼皮）；
2．显隐性：题目中标注“显性”的性状，只要有1个显性基因就会表现（如
表现卷发）；“隐性”性状必须有2个隐性基因才会表现（如表现直发）；
3．基因型：用字母表示基因组成，显性基因用大写（D、A、B），隐性基因用小写（d、a、b）；
显性性状基因型：2种可能（纯合子：如，2个显性基因；杂合子：如，1显1隐）；
隐性性状基因型：只有1种（纯合子：如，2个隐性基因）；
4．遗传规律：亲代会将一对基因（例如：）中的1个（例如：D）传给子代，子代的一对基因来自父亲和母亲；
5．独立遗传：本题三对性状的基因互不影响》
已知性状显隐性（均为常染色体遗传）
①毛发直卷：卷发（D）对直发（d）为显性（表现卷发，表现直发）；
②眼睑形状：双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性（表现双眼皮，表现单眼皮）；
③拇指形态：直拇指（B）对弯拇指（b）为显性（表现直拇指，表现弯拇指）．
小明的数学老师提出了下列问题：
(1) 一对卷发夫妇，丈夫基因型为，妻子基因型为，求二人生育一个直发孩子的概率．
(2) 一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，据此先判断夫妇的基因型，再求二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的概率．
(3) 已知男性基因型为（卷发、直拇指），女性基因型为（直发、直拇指），求二人生育一个卷发、弯拇指孩子的概率．
(4) 一对卷发夫妇，男方父母均为“卷发、单眼皮”（且男方父亲为卷发纯合子，男方母亲为卷发杂合子），女方母亲为“直发、单眼皮”、女方父亲为“卷发、双眼皮（纯合子）”．求这对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率．
18.(本小题16分)
已知二次函数经过点；；
(1) 直接写出二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势．
(2) 设该二次函数图象与x轴交于点A（点A在抛物线的右侧），与y轴交于点B，顶点为C，直接写出的面积和周长．
19.(本小题16分)
如图，四边形为平行四边形，连接、交于，点在线段上，且．
(1) 延长、交于，求证：；
(2) 点在的延长线上，且，求证：．
20.(本小题16分)
已知抛物线，抛物线上有点．
(1) 当抛物线顶点坐标为，且经过时；
①求抛物线解析式；
②点坐标为，为抛物线上第一象限的一个动点，其横坐标为，若是锐角，且，请求出的取值范围．
(2) 已知；
①若，与的横坐标之和为，求直线的斜率；
②若该抛物线经过点、，该抛物线与轴不同于点的交点为点，点在线段上，延长交抛物线于点，点的横坐标为，若，求的取值范围；
③若，，点为抛物线上第一象限的动点，已知、，直线与直线分别交抛物线于另一点，请问：直线是否过定点？若是，请求出定点坐标，若不是，则说明理由．
21.(本小题16分)
如图，点A、B、C、D、O在同一直线上，且满足，以为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点，
(1) 直接写出的度数；
(2) 求的值．
22.(本小题18分)
如图，在梯形中，，，，
(1) 当，，时，求的值
(2) 若等腰梯形的腰长等于上、下底的比例中项，F为边上一点，E为边上一点；
①若，求证：．
②连接，是否存在等腰梯形，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出的值，若不存在，请写出理由．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】ACD
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】/
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】甲
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
解：∵卷发（D）对直发（d）为显性，丈夫基因型为，妻子基因型为，
∴无法得到基因型为的孩子，即二人不可能生育一个直发孩子，
∴；
【小题2】
解：∵双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性，且一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，
∴孩子的基因型为，
∴夫妇的基因型均为，
列表如下：
A a
A
a
共有4种等可能的结果，其中二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的结果有1种，
∴；
【小题3】
解：由题意，列表如下：
共有8种等可能的结果，其中二人生育一个卷发、弯拇指孩子的结果只有1种，
∴；
【小题4】
解：由题意，男方父亲的基因型为，母亲的基因型为，女方父亲的基因型为，母亲的基因型为，
∴男方的基因型为或，概率均为，女方的基因型为，
当男方的基因型为时，孩子的头发不能是直发，
当男方的基因型为时，列表如下：
共有8种等可能的结果，其中生育一个直发、单眼皮孩子的结果只有1种，
∴，
又∵男方的基因型为的概率为，
∴该对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率为．

18.【答案】【小题1】
解：∵二次函数经过点；；，
∴将点；；依次代入二次函数解析式，
可得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：，
对称轴为直线，即对称轴为直线，
∵，
∴二次函数顶点坐标为，
当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
【小题2】
解：∵该二次函数图象与x轴交于点A，
∴对于，令，
解得：，，
∵点A在抛物线的右侧，
∴，
∵该二次函数图象与y轴交于点B，
∴对于，令，
解得：，
∴，
∵顶点为C，
∴，
如图，过点C作轴，过点A作交延长线于点F，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
，
，
∴；
在中，
∵，，，
∴，
在中，
∵，，，
∴，
在中，
∵，，，
∴，
∴的周长为：，
∴的面积为3，的周长为．

19.【答案】【小题1】
证明：如图，
在平行四边形中，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
证明：如图，作的外接圆，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴、、、四点共圆，即点在的外接圆上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

20.【答案】【小题1】
解：①∵抛物线顶点坐标为，
∴可设抛物线的解析式为，
将代入，得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
②如图，设交轴于点，过点作的垂线，交抛物线于点，交轴于点，在抛物线上取点，使得，作直线交轴于点，作于点，
设直线的函数解析式为，
将，代入，得，
，
解得，
∴，
将代入，得，
∴点的坐标为，
由勾股定理可得，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴点的坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在直角中，，
∴，
∴，
解得，
∴，
在直角中，，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
将，代入，得，
，
解得，
∴直线的函数解析式为，
联立直线与抛物线，得，
，
解得或，
∴点的坐标为，
同理，直线的函数解析式为，
联立直线与抛物线，得，
，
解得或，
∴点的坐标为，
∵是锐角，且，
∴点在点和点之间，且不与点重合，
∴；
【小题2】
解：①由题意可知，抛物线的解析式为，
设点的坐标为，点的坐标为，则，
设直线的函数解析式为，
将，代入，得，
，
将，并化简，得，
，
因式分解，得，
∵，，
∴，即，
∴直线的斜率为；
②将点，代入，得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴点的坐标为，
将代入，得，
，
解得或，
∴点的坐标为，
如图，
由题意可知，，
∴，
设直线的函数解析式为，
将点，，代入，得，
，
解得，
∴直线的函数解析式为，
将代入，解得，
∴点的坐标为，
∴，，
，，
∵，
∴，
移项并合并，得，
因式分解，得，
∴，
解得或，
∵，
∴；
③∵，，，
∴抛物线的解析式为，
设点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
将，代入，得，
，
解得，
∴直线的函数解析式为，
联立直线与抛物线，得，
，
解得或，
∴点的坐标为，
同理，点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
将，，代入，得，
，
解得，
∴直线的函数解析式为，
当时，为定值，
∴直线过定点．

21.【答案】【小题1】
解：如图，连接，
∵是半圆O的直径，
∴；
【小题2】
解：如图，连接，
设半圆O的半径为r，
∴，
∵，
∴，
即，
化简得，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

22.【答案】【小题1】
解：如图，过点A作于点G，过点D作于点H，
∵在梯形中，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小题2】
解：①∵等腰梯形腰长是上下底的比例中项，
∴，变形得，
∵，
∴，得，
如图，过点作延长线于点T，过点作于点R，
∵在等腰梯形中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
②存在，理由：
设，，，其中，
∵等腰梯形腰长是上下底的比例中项，
∴，
过点A作于点G，过点D作于点H，
同（1）可得，
当时，
∴，
∵在等腰梯形中，，
∴，即与共线，不存在；
当时，
∵，，
∴，
∵，
∴，得，即，不存在；
当时，如图，过点作于点P，
∴，
∴，
∵，
∴，得，
∵，
∴，得，
∴，得，
∴；
综上，存在，．

第1页，共1页