17.4一元二次方程的根与系数的关系 教学设计 （表格式） 沪科版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 17.4一元二次方程的根与系数的关系 教学设计 （表格式） 沪科版数学八年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 63.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-21 00:00:00 | ||
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文档简介
17.4 一元二次方程根于系数的关系教学设计
课 题 17.4 一元二次方程的根与系数的 关系 教师姓名
学科（版本） 数学（沪科版） 章 节 第 17 章第 4 节
学 时 1 课时 年 级 八年级
教材分析 1. 课标分析 《义务教育数学新课程标准 2022 年版》指出：初中阶段数与代数领域包括“数与式 ”“方程与不等式 ”和函数三个主题。本节课属于“数与代数 ”中的方程与不等式部分，方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系（相等关系和不等关系），是一类应用广泛的数学工具。本节内容的课标要求是了解一元二次方程的根与系数的关系能利用根与系数的关系进行简单的计算。 2.蕴含的数学思想和方法 由特殊到一般的思想：在探究根与系数的关系的产生过程中运用了由特殊到一般的思想； 转化的思想：在由一元二次方程的一般式转化成二次项系数为 1 的情况时用到了转化的思想。 2. 知识的上下位关系
4.育人价值 通过对韦达的介绍，有利于让学生从中体验数学家发现和探索的心路历程，激发学生的学习欲望和探究意识。本节课采用了探究式教学，问题串导学，小组合作学习的方式展开教学让学生感受到了知识的自然生成，培养了学生的符号意识，发展了学生的运算推理能力，建立了步骤意识。
学情分析 1.学生具备了一定的运算能力：学生在七年级上学期已经学习了一元一次方程的定义，解法和应用。八年级下学期又学习了一元二次方程的定义，解法，熟悉了求根公式。 2.学生具备了一定的研究问题的能力和方法：在研究配方法解方程的过程中先研究了二次项系数为 1 的，然后又研究了二次项系数不为 1 的，渗透了研究问题由特殊到一般的思想，以及转化的思想。 3.学生具备了一定的观察、分析、猜测规律的能力。 学生在具备了以上知识的基础上再来学习根与系数的关系，就可以引导学生主动去观察、探求规律，但学生的推理证明能力经验欠缺，还需课堂上充分调动学生的学习积极性。
教学目标 1. 理解一元二次方程根与系数的关系的生成过程； 2. 了解一元二次方程的根与系数的关系； 3. 能利用根与系数的关系进行简单应用。
教学重、难点 教学重点：一元二次方程的根与系数的关系和简单应用。 教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的代数推理过程，根与系数之间的相互约束、确定关系。
教学准备 1. 借助信息技术，呈现图片、动画、视频，以此增强学生的视觉效果，引起学生的有意注意，进而提高教学效率。 2. 通过智慧课堂的抢答，点赞，拍照上传，随机抽取和观点云等功能进行激趣。 3.学习任务单，为学生准备辅助性材料，从而更好的进行课堂探究。
系统组成 智慧课堂系统框架、设备及系统介绍等（微云服务器、移动端工具、智慧课堂云平台；教学资源） 我们使用的是 C30 智能教学系统，移动端工具是智慧大屏和学生平板。
教学过程 教学内容 活动设计 智慧课堂设备功 能应用及效果分 析
一、复习回顾 问题 1：一元二次方程的一般形式是什么？ 问题 2：一元二次方程的求根公式是什么？ 通过问题引入复习旧知，让不同层次的学生均能够参与其中，并自然的引入新课，激发学生的学习热情，为后续新知的学习做好知识上的准备。 应用抢答功能进行激趣，激发学生的学习兴趣。 通过抢答功能上的点赞功能进行及时评价，增强学生的自信心。
二、导入新课 已知矩形的长和宽分别是一元二次方程x2-2030x+5608=0 的两个实数根，求该矩形的周长和面积。 通过计算矩形的周长和面积引入新知，并追问学生能不能直接口答，从而设疑激趣，引起学生对新知的探究热情。 应 用抢 答 功能 和 点 赞 功能进行及时评价和激趣，提高了学生的学习积极性。
三、探究新知 探究活动一：填写表格，然后观察根与系数的关系 方程两个根两根 之和两根 之积x1x2x1+x2x1x2x2+2x-3=0x2-5x+6=0x2+5x+4=0
猜想：如果方程 x2+px+q=0 的两根是x1 ,x2 ,那么 x1+x2 = x1x2 = 问题 3： 已知方程 x2+px+q=0 的两根为 x1 ,x2 ,你能证明 x1+x2=-p, x1x2=q 吗？ 学生通过计算，观 察，猜想得出二次项系 数为 1 时方程的两根之 和，两根之积与方程的 系数之间的关系。 通过引导学生观察求根公式的结构，寻找到了证明的方向，并通过小组讨论进行互帮互助，通过具体的证明培养了学生的推理能力。 通过智慧课堂的拍照上传功能，了解全体同学的填表情况，关注到全体学生。为了凸显教育的公平性采用了随机抽取功能，面对全体学生进行讲 解纠错。 在汇报证明时应用抢答功能进行激趣，然后通过拍照上传功能进行全班展示讲解。
探究活动二：如果方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x1 ,x2 ,那么 x1+x2 = x1x2 = 追问： 你还有其他的证明方法吗？ 让学生思考二次项系数不为 1 时的两根之和两根之积，培养学生将一般情况转化成特殊情况，渗透转化的思想和 由特殊到一般的思 想。
四、辨析公式 一元二次方程的根与系数之间存在下列关系. 如果 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根为 x1，x2 ，那么 这就是根与系数的关系，通常称为韦达定理。 问题4：韦达定理成立的前提条件是什么？ 问题5：应用韦达定理的一般步骤是什么？ 解决问题： 已知矩形的长和宽分别是一元二次方程 x2 -2030x+5608=0 的两个实数根，求该矩形的周长和面积。 通过对公式的充分辨析，知道利用韦达定理的一般步骤和隐含的前提条件，从而能够准确的应用韦达定理解决问题。同时也介绍了韦达的相关事迹，通过融入数学文化教育，有利于学生从中体验数学家发现和探索的心路历程，激发学生的探究意识。 理论学习完韦达定理之后，解决新课开始时设置的疑问，前后呼应。 应用观点云功能让学生畅所欲言，收集学生对韦达的看法，从而学习韦达认真勤奋和坚持不懈的精神。从而掀起了学生的求知欲和探索精神。 通过抢答功能来解决问题5 ，提高了学生的学习积极性。
五、小试牛刀 1.不解方程，求下列方程的两根的和与积。 (1)4x2-2x-7=0; (2)3x2+10=2x2+8x. 2.已知方程x2+kx-6=0 的一个根是 2，求它的另一个根及k 的值. 第 1 题相对比较简单，请学生独立完成，通过对简单题目的练习达到对公式的掌握此题。 第 2 题较前面一题稍微复杂些，请学生独立完成后，有疑问的在进行组内交流，旨在让学生能够开动脑筋 ，积极思考，让学生能够“跳一跳，够得到 ” 第 1 题比较基础，应用拍照上传功能来督促全体学生认真完成，并进行 及时纠错。 第 2 题稍微 有点难度通过 抢答功能进行 激趣。
六、拓展延伸 请用根与系数的关系，写出一个两根是-2 和3 的一元二次方程。 该题相对比较难， 旨在培养学生的逆 向思维，留作课后思 考题。
七、反思小结 1.通过本节课的学习你有什么收获？ 2.本节课我们是如何研究韦达定理的？ 2.本节课渗透了怎样的数学思想方法？ 通过反思学习过 程，懂得韦达定理和 求根公式都体现了 根与系数的关系，补 充一元一次方程和 一元高次方程也存 在根与系数的关系 将知识连成片，体现 大单元教学的思想， 同时通过反思掌握 研究问题的一般路 径。
八、布置作业 1.基础题：课本39 页 1,2,3 2.提高题：已知x1 ,x2 是 一 元 二 次 方 程x2-2x-3=0 的两根，请求出 (1) + (2) x12 + x22 (3) x1 - x2 落实双减设计分层作业，使不同的学生得到不同的发展。 课后通过智慧课堂的教师平板布置作业，并将基础题的第 2 题设置成选择题的形式共计 10 分，检测学生的答题情况，从而及时反馈具体是哪些学生还有哪些地方掌握的不够熟练，学生能够积极答题提高了学生的学习积极性。
九、板书设计 17.4 一元二次方程的根与系数的关系
十、课后反思 本节内容以前属于选学内容， 目前为了加强初高中的联系，2022版新课标要求将选学内容更改为必学内容。本节课首先对相关内容进行了复习回顾，为后续证明做好准备。通过对矩形的面积和周长进行求解， 自然引入新知，引发认知冲突，从而寻找解决问题的更简单的方法，激起学生的求知欲。在推导韦达定理的过程中，引导学生感悟符号表达对于数学发展的作用，积累用数学符号进行一般推理的经验。在证明韦达定理的过程中渗透了从特殊到一般以及转化的思想，不断掀起学生的“兴奋点 ”、也掀起了课堂的小高潮。通过视频介绍韦达环节，激起了学生对科学家的兴趣， 也激发了学生的学习热情和坚持不懈的钻研精神。 通过运用信息技术开展了一节智慧课堂的展示课，既节省了时间也达到了激趣的效果。但在韦达定理公式的推导环节给学生的时间不够充分也没能引导学生用多种方法进行推导，故课下还需对学生进行指导充分激发学生的思维。
【学习任务单】
授课教师 班级 学生姓名 使用时间 学生自我评价
A（ ） B（ ） C（ ） D ( )
学习目标 1. 理解一元二次方程根与系数的关系的生成过程； 2. 了解一元二次方程的根与系数的关系； 3. 能利用根与系数的关系进行简单应用。
学习重点 一元二次方程的根与系数的关系和简单应用。
学习难点 一元二次方程的根与系数的关系的代数推理过程，根与系数之间的相互约束、确定关系。
教学过程：
一、复习回顾 问题 1 ：一元二次方程的一般形式是什么？ 问题2：一元二次方程的求根公式是什么？ 二、导入新课 已知矩形的长和宽分别是一元二次方程x2-2030x+5608=0 的两个实数根，求该矩形的周长和面积。 三、探究新知 探究活动一：写表格，然后观察根与系数的关系
方程 两个根 两根之和 两根之积
x1 x2 x1+x2 x1x2
x2+2x-3=0
x2-5x+6=0
x2+5x+4=0
根据你的观察，猜想：如果方程x2+px+q=0 的两根是x1 ,x2 ,那么 x1+x2 = x1x2 = 问题3：你能证明你的猜想吗？
探究活动二：思考：如果方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x1 ,x2 ,那么x1+x2 = x1x2 = 追问：你还有其他的证明方法吗 四、辨析公式 1.韦达定理成立的前提条件是： 2.应用韦达定理的一般步骤是： 五、小试牛刀 1.不解方程，求下列方程的两根的和与积。 （1）4x2-2x-7=0; (2)3x2+10=2x2+8x. 2.已知方程 x2+kx-6=0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. 六、拓展延伸 请用根与系数的关系，写出一个两根是-2和3 的一元二次方程。
课 题 17.4 一元二次方程的根与系数的 关系 教师姓名
学科（版本） 数学（沪科版） 章 节 第 17 章第 4 节
学 时 1 课时 年 级 八年级
教材分析 1. 课标分析 《义务教育数学新课程标准 2022 年版》指出：初中阶段数与代数领域包括“数与式 ”“方程与不等式 ”和函数三个主题。本节课属于“数与代数 ”中的方程与不等式部分，方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系（相等关系和不等关系），是一类应用广泛的数学工具。本节内容的课标要求是了解一元二次方程的根与系数的关系能利用根与系数的关系进行简单的计算。 2.蕴含的数学思想和方法 由特殊到一般的思想：在探究根与系数的关系的产生过程中运用了由特殊到一般的思想； 转化的思想：在由一元二次方程的一般式转化成二次项系数为 1 的情况时用到了转化的思想。 2. 知识的上下位关系
4.育人价值 通过对韦达的介绍，有利于让学生从中体验数学家发现和探索的心路历程，激发学生的学习欲望和探究意识。本节课采用了探究式教学，问题串导学，小组合作学习的方式展开教学让学生感受到了知识的自然生成，培养了学生的符号意识，发展了学生的运算推理能力，建立了步骤意识。
学情分析 1.学生具备了一定的运算能力：学生在七年级上学期已经学习了一元一次方程的定义，解法和应用。八年级下学期又学习了一元二次方程的定义，解法，熟悉了求根公式。 2.学生具备了一定的研究问题的能力和方法：在研究配方法解方程的过程中先研究了二次项系数为 1 的，然后又研究了二次项系数不为 1 的，渗透了研究问题由特殊到一般的思想，以及转化的思想。 3.学生具备了一定的观察、分析、猜测规律的能力。 学生在具备了以上知识的基础上再来学习根与系数的关系，就可以引导学生主动去观察、探求规律，但学生的推理证明能力经验欠缺，还需课堂上充分调动学生的学习积极性。
教学目标 1. 理解一元二次方程根与系数的关系的生成过程； 2. 了解一元二次方程的根与系数的关系； 3. 能利用根与系数的关系进行简单应用。
教学重、难点 教学重点：一元二次方程的根与系数的关系和简单应用。 教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的代数推理过程，根与系数之间的相互约束、确定关系。
教学准备 1. 借助信息技术，呈现图片、动画、视频，以此增强学生的视觉效果，引起学生的有意注意，进而提高教学效率。 2. 通过智慧课堂的抢答，点赞，拍照上传，随机抽取和观点云等功能进行激趣。 3.学习任务单，为学生准备辅助性材料，从而更好的进行课堂探究。
系统组成 智慧课堂系统框架、设备及系统介绍等（微云服务器、移动端工具、智慧课堂云平台；教学资源） 我们使用的是 C30 智能教学系统，移动端工具是智慧大屏和学生平板。
教学过程 教学内容 活动设计 智慧课堂设备功 能应用及效果分 析
一、复习回顾 问题 1：一元二次方程的一般形式是什么？ 问题 2：一元二次方程的求根公式是什么？ 通过问题引入复习旧知，让不同层次的学生均能够参与其中，并自然的引入新课，激发学生的学习热情，为后续新知的学习做好知识上的准备。 应用抢答功能进行激趣，激发学生的学习兴趣。 通过抢答功能上的点赞功能进行及时评价，增强学生的自信心。
二、导入新课 已知矩形的长和宽分别是一元二次方程x2-2030x+5608=0 的两个实数根，求该矩形的周长和面积。 通过计算矩形的周长和面积引入新知，并追问学生能不能直接口答，从而设疑激趣，引起学生对新知的探究热情。 应 用抢 答 功能 和 点 赞 功能进行及时评价和激趣，提高了学生的学习积极性。
三、探究新知 探究活动一：填写表格，然后观察根与系数的关系 方程两个根两根 之和两根 之积x1x2x1+x2x1x2x2+2x-3=0x2-5x+6=0x2+5x+4=0
猜想：如果方程 x2+px+q=0 的两根是x1 ,x2 ,那么 x1+x2 = x1x2 = 问题 3： 已知方程 x2+px+q=0 的两根为 x1 ,x2 ,你能证明 x1+x2=-p, x1x2=q 吗？ 学生通过计算，观 察，猜想得出二次项系 数为 1 时方程的两根之 和，两根之积与方程的 系数之间的关系。 通过引导学生观察求根公式的结构，寻找到了证明的方向，并通过小组讨论进行互帮互助，通过具体的证明培养了学生的推理能力。 通过智慧课堂的拍照上传功能，了解全体同学的填表情况，关注到全体学生。为了凸显教育的公平性采用了随机抽取功能，面对全体学生进行讲 解纠错。 在汇报证明时应用抢答功能进行激趣，然后通过拍照上传功能进行全班展示讲解。
探究活动二：如果方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x1 ,x2 ,那么 x1+x2 = x1x2 = 追问： 你还有其他的证明方法吗？ 让学生思考二次项系数不为 1 时的两根之和两根之积，培养学生将一般情况转化成特殊情况，渗透转化的思想和 由特殊到一般的思 想。
四、辨析公式 一元二次方程的根与系数之间存在下列关系. 如果 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根为 x1，x2 ，那么 这就是根与系数的关系，通常称为韦达定理。 问题4：韦达定理成立的前提条件是什么？ 问题5：应用韦达定理的一般步骤是什么？ 解决问题： 已知矩形的长和宽分别是一元二次方程 x2 -2030x+5608=0 的两个实数根，求该矩形的周长和面积。 通过对公式的充分辨析，知道利用韦达定理的一般步骤和隐含的前提条件，从而能够准确的应用韦达定理解决问题。同时也介绍了韦达的相关事迹，通过融入数学文化教育，有利于学生从中体验数学家发现和探索的心路历程，激发学生的探究意识。 理论学习完韦达定理之后，解决新课开始时设置的疑问，前后呼应。 应用观点云功能让学生畅所欲言，收集学生对韦达的看法，从而学习韦达认真勤奋和坚持不懈的精神。从而掀起了学生的求知欲和探索精神。 通过抢答功能来解决问题5 ，提高了学生的学习积极性。
五、小试牛刀 1.不解方程，求下列方程的两根的和与积。 (1)4x2-2x-7=0; (2)3x2+10=2x2+8x. 2.已知方程x2+kx-6=0 的一个根是 2，求它的另一个根及k 的值. 第 1 题相对比较简单，请学生独立完成，通过对简单题目的练习达到对公式的掌握此题。 第 2 题较前面一题稍微复杂些，请学生独立完成后，有疑问的在进行组内交流，旨在让学生能够开动脑筋 ，积极思考，让学生能够“跳一跳，够得到 ” 第 1 题比较基础，应用拍照上传功能来督促全体学生认真完成，并进行 及时纠错。 第 2 题稍微 有点难度通过 抢答功能进行 激趣。
六、拓展延伸 请用根与系数的关系，写出一个两根是-2 和3 的一元二次方程。 该题相对比较难， 旨在培养学生的逆 向思维，留作课后思 考题。
七、反思小结 1.通过本节课的学习你有什么收获？ 2.本节课我们是如何研究韦达定理的？ 2.本节课渗透了怎样的数学思想方法？ 通过反思学习过 程，懂得韦达定理和 求根公式都体现了 根与系数的关系，补 充一元一次方程和 一元高次方程也存 在根与系数的关系 将知识连成片，体现 大单元教学的思想， 同时通过反思掌握 研究问题的一般路 径。
八、布置作业 1.基础题：课本39 页 1,2,3 2.提高题：已知x1 ,x2 是 一 元 二 次 方 程x2-2x-3=0 的两根，请求出 (1) + (2) x12 + x22 (3) x1 - x2 落实双减设计分层作业，使不同的学生得到不同的发展。 课后通过智慧课堂的教师平板布置作业，并将基础题的第 2 题设置成选择题的形式共计 10 分，检测学生的答题情况，从而及时反馈具体是哪些学生还有哪些地方掌握的不够熟练，学生能够积极答题提高了学生的学习积极性。
九、板书设计 17.4 一元二次方程的根与系数的关系
十、课后反思 本节内容以前属于选学内容， 目前为了加强初高中的联系，2022版新课标要求将选学内容更改为必学内容。本节课首先对相关内容进行了复习回顾，为后续证明做好准备。通过对矩形的面积和周长进行求解， 自然引入新知，引发认知冲突，从而寻找解决问题的更简单的方法，激起学生的求知欲。在推导韦达定理的过程中，引导学生感悟符号表达对于数学发展的作用，积累用数学符号进行一般推理的经验。在证明韦达定理的过程中渗透了从特殊到一般以及转化的思想，不断掀起学生的“兴奋点 ”、也掀起了课堂的小高潮。通过视频介绍韦达环节，激起了学生对科学家的兴趣， 也激发了学生的学习热情和坚持不懈的钻研精神。 通过运用信息技术开展了一节智慧课堂的展示课，既节省了时间也达到了激趣的效果。但在韦达定理公式的推导环节给学生的时间不够充分也没能引导学生用多种方法进行推导，故课下还需对学生进行指导充分激发学生的思维。
【学习任务单】
授课教师 班级 学生姓名 使用时间 学生自我评价
A（ ） B（ ） C（ ） D ( )
学习目标 1. 理解一元二次方程根与系数的关系的生成过程； 2. 了解一元二次方程的根与系数的关系； 3. 能利用根与系数的关系进行简单应用。
学习重点 一元二次方程的根与系数的关系和简单应用。
学习难点 一元二次方程的根与系数的关系的代数推理过程，根与系数之间的相互约束、确定关系。
教学过程：
一、复习回顾 问题 1 ：一元二次方程的一般形式是什么？ 问题2：一元二次方程的求根公式是什么？ 二、导入新课 已知矩形的长和宽分别是一元二次方程x2-2030x+5608=0 的两个实数根，求该矩形的周长和面积。 三、探究新知 探究活动一：写表格，然后观察根与系数的关系
方程 两个根 两根之和 两根之积
x1 x2 x1+x2 x1x2
x2+2x-3=0
x2-5x+6=0
x2+5x+4=0
根据你的观察，猜想：如果方程x2+px+q=0 的两根是x1 ,x2 ,那么 x1+x2 = x1x2 = 问题3：你能证明你的猜想吗？
探究活动二：思考：如果方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x1 ,x2 ,那么x1+x2 = x1x2 = 追问：你还有其他的证明方法吗 四、辨析公式 1.韦达定理成立的前提条件是： 2.应用韦达定理的一般步骤是： 五、小试牛刀 1.不解方程，求下列方程的两根的和与积。 （1）4x2-2x-7=0; (2)3x2+10=2x2+8x. 2.已知方程 x2+kx-6=0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. 六、拓展延伸 请用根与系数的关系，写出一个两根是-2和3 的一元二次方程。