成都石室中学2025-2026学年度下期高2026届二诊模拟测试
数 学 答 案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B D D A D B B C BC ABD ACD
12． 2； 13．1； 14． 4
15．（1）由题意，当 n 2时，2S 2n 1 an 1 an 1，作差得到 2 Sn Sn 1 2a
2 2
n an an an 1 an 1 ，
化简得 an an 1 an an 1 1 0,n 2． ……3分
因 an 为正项数列，则 an an 1 0，因此 an an 1 1 0，即 an an 1 1,n 2，
又因 a1 1，则 an 为首项是1，公差为1的等差数列．
综上， a n,n N n ． ……6分
b n+1（2）由题意， n n ，则 bn 的前 n项和Tn 为：2
T 2 3 4 n+1n 1 2 3 L 2 2 2 2n
， ……①
1T 2 3 4n 2 3
n n 1
2 2 2 24 2n
n 1 ，……②2
1 2 1 1 1 n 1 3 n 3
由①-②，得 Tn 1 2 2 22
23 2n 2n 1
n 1 ，2 2
则T
n 3
n 3 n ,n N
． ……13分
2
16．（1） f x 的定义域为R ， f x a 1 x ，e
当 a 0时， f x 0 , f x 单调递减； ……2分
当 a 0时，令 f x 0 ，得 x lna ,则当 x , lna 时， f x 0 ， f x 单调递减；当
x lna, 时， f x 0， f x 单调递增． ……5分
综上，当 a 0时， f x 在 R 上单调递减；当 a 0时， f x 在 , ln a 单调递减；在 ln a,
单调递增． ……7分
（2）由（1）知，f x a 1 x ，设切点为 x0 , f x0 ，则 f x0 a
1
x 0，易知 a 0，故 x0 ln a．e e 0
又因 f x0 1，即 ax
1
0 x 1，将 x0 ln a代入，得 a a lna 1 0． ……10分e 0
设 h x x x ln x 1 x 0 ，则 h x ln x．
令 h x 0，即 ln x 0，解得 x 1，当 x 0,1 时，h x 0，h x 单调递增，当 x 1, 时，
h x 0， h x 单调递减，所以 h x h 1 1 1 ln1 1 0 ．
由 h a 0，则 a 1． ……15分
17．（1）如图，过点 A作 AE PB于点 E，
平面 PAB 平面 PBC，平面 PAB 平面 PBC PB， AE 平面 PAB，
AE 平面 PBC． ……2分
又 BC 平面 PBC， AE BC．
又 PA 平面 ABCD,BC 平面 ABCD， PA BC． ……4分
数学参考答案第 1 页(共 4页)
PA,AE 平面 PAB， PA AE A， BC 平面 PAB．
又 AB 平面 PAB， BC AB． ……6分
（2）由（1）知 AB BC，以点 B为坐标原点，BC,BA所在的直线分别为 x, y轴，
过点 B且平行于 PA的直线为 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则 B(0,0,0), A(0,1,0),C(2,0,0),P(0,1,2 2) ．
设D(x, y,0), x 0, y 0. ，由 BD 2 2 ，则 x2 y2 8，
又因 AC AD，则 x2 (y 1)2 5．
联立两式，得 x 2, y 2， D(2,2,0)． ……8分
4 2 2 2 2 2
又 P(0,1,2 2)，且G为△PCD的重心， G ,1, ,CG ,1, ． ……10分
3 3 3 3
n BP 0,
设平面 PBC的一个法向量为 n (a,b,c)，则
n
BC 0.
BP (0,1,2 2),BC (2,0,0), b 2 2c 0 ，
2a 0
令 c 1，则 n (0, 2 2,1)． ……12分
sin |C设直线CG与平面 PBC所成角为 ，则
G n | 4 42 ，
|CG || n | 63
CG 4 42所以直线 与平面 PBC所成角的正弦值为 ． ……15分
63
18．（1）设 P(x0 , y0 )，而 F1( 1,0)
x 3 y
，由 PF1 2FQ ，得Q(
0
1 ,
0 )，
2 2
x20 y
2
0 1
4 3
由于 P,Q均在C
上，则 x0 3
2 y 2 ，
0 2 2 1
4 3
y2 (x 3)2 x2 12 x
1
y 3 5 P(1 , 3 5消去 0 得 0 0 ，解得 0 ， 0 ，则点 )． ……4分2 4 2 4
（2）证明：[方法一]设 P x0 , y0 ,Q x1, y1 ,R x2, y2 ，
1 x x 1
由 PF1 FQ
0 1
1 ，则有 ，
y0 y1
y
0
y ，1
由 P在 x轴上方，可设直线 PQ的方程为 x my 1，
x my 1
联立 x2 y2 ，整理可得 3m2 4 y2 6my 9 0，
1 4 3
y y 6m y y 9则 0 1 2 ， 0 1 2 ，4 3m 4 3m
又因为点 P在直线上，则 x0 my0 1，
y0 y1 2 2 x 1
所以 m 0y y ，0 1 3 3 y0
数学参考答案第 2 页(共 4页)
y0 y1 2 x 2
y0 2 5
则 0 ，即 x y 3 3 y 3 0 3 ，1 1
y
0 5 2
y 5 2
所以 x 0y 3 3 0 ，同理可得
x
y 0． ……8分1 2 3 3
5 2 x 5 2 x 10 10所以 0 0 ，即 为定值 ． ……10分3 3 3 3 3 3
[方法二] 设 P x0 , y0 ,Q x1, y1 ,R x2, y2 ，
1 x0
x 1 x x 1 1
由 PF1 F1Q,
0 1
，则有 ， ，
y0 y1 yy1
0
x20 y
2
0 1
4 3
又 P,Q
5 2
均在C
上，则 1 x 2 y 2 ，解得 x0 0 3 3 0
， ……8分
1
4 3
5 2
同理可得 x ．
3 3 0
5 2
所以 x
5 2 10
0 x0 ，即
10
为定值 ． ……10分
3 3 3 3 3 3
1
S | PQ || PR | sin QPR PQR 2 | PQ || PR | 1
（3）因为 1 1
1
，
S PF F 1 PF PF sin QPR PF1 PF2
1 2
2 1 2
1 1 1 1 1 2x 8 2x 8 x 2 16S PQR 1 1 S PF F
1 1 F1F 2 y 0 y 0
0 0 y 0
因此 1 2 2 2x0 5 2x0 5
0
x2 25
，
0 4
4 2
y2 4 y0 16 2
x2 4 1 0
3 y 9 117 y
又因 0 ，所以 S PQR y0 y0
0 y0
0
2 ， ……14分
3 4 4 y2 25 y2 27 16y0 27
3 0 4 0 16
因此
S S S y 117y0 y 117y0 117 117 13 3四边形FQRF PQR 1 2 PF1F2 0 16y20 27
0 16y20 27 16y 27 80 y 2 16y
27 ，
0
0 y0
16y 27当且仅当 0 ,y 即 y
3 3 13 3
0 0, 3 时取等，则四边形 F1QRF2面积最大值为 ．……17分0 4 8
19．（1）由题意得，将五进制数 211 2 5 转化为十进制数为 211 5 2 5 1 5 1 56， ……2分
∵56 2 33 0 32 0 3 2，∴ 56 2002 3 ，
因此五进制数 211 5 转化成三进制数为 2002 3 ． ……4分
（2）（i）若 n 3，则 n 1位的二进制数有1000 2 ，1111 2 ，1100 2 ，1010 2 ，1001 2 ，1011 2 ，1101 2 ，
1110 2 ，共8个，从8个数中任选 2个，共有C 28 28种情况．
n
∵ X ai bi ，∴ X 的所有可能取值为1,2,3．
i 0
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当 X 1时，若选择1000 2 ，可以从1001 2 ，1010 2 ，1100 2 中任选1个，共有 3种情况，
若选择1111 2 ，可以从1011 2 ，1101 2 ，1110 2 中任选1个，共有 3种情况，
若选择1100 2 ，可以从1101 2 ，1110 2 中任选1个，共有 2种情况，
若选择1010 2 ，可以从1110 2 ，1011 2 中任选1个，共有 2种情况，
若选择1001 2 ，可以从1101 2 ，1011 2 中任选1个，共有 2种情况，
共有 3 3 2 2 2 12种情况，故 P X 1 12 3 ．
28 7
当 X 3时，1000 2 和1111 2 ，1100 2 和1011 2 ，1010 2 和1101 2 ，1001 2 和1110 2 满足要求，
4 1
共有 4种情况，故 P X 3 ，
28 7
3 1 3
∴ P X 2 1 ，
7 7 7
则随机变量 X 的分布列为 ……8分
X 1 2 3
3 3 1
P
7 7 7
E X 1 3 2 3 3 1 12∴ ． ……9分
7 7 7 7
（ii）由于 n 1位二进制数 anan 1 a1a0 2 中 an 1，
则根据二进制数中 0的个数可得， n 1位二进制数一共有C0 C1 C2 C n nn n n n 2 个，
且 an 1 an 2 a1 a0 n，则 X 的所有可能取值为1,2,3, , n．
当 X m m 1,2,3, ,n 时，二进制数 anan 1 a1a0 2 ， bnbn 1 b1b0 2 有 m 位取值不同，剩余
n 1 m位取值相同，
除去 an bn 1，从剩余的 n位中选择m位，二进制数 anan 1 a1a0 2 ， bnbn 1 b1b0 2 在这m位上
数字不同，对其余的 n m位，两者均在同一位置数字相同，
n Cm 2nn
由于 X ai bi ，故共有 2 种情况，则
i 0 A2
Cm 2nn
A2 CmP X m 2 n m 1,2,3, ,n ， ……13分
C2 n2n 2 1
因此随机变量 X 的分布列为：
X 1 2 3 n
C1n C
2
n C
3
n C
n
P n
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
m m n! n 1 !
∵mC m 1 *n n nC m N ,1 m nm! n m ! m 1 ! n 1 m ， ……15分 1 ! n 1
C1 C2 C n
∴ E X 1 nn 2
n
n n
1
nn 1 C 1n n 2 C 2n 3 C 3n nC n 2 1 2 1 2 1 2 1 n
n n 2n 1 n 2n 1 n
C0 C1 C2 C n 1 ，
2n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 2n 1 2n 2
n
∴ E X ． ……17分
2
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数 学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1 2．已知集合M 1,0,1 ， N y | y x 1,x M ，则M I N ( )
A． 1,0,1 B． 1,0 C． 0,1 D． 1,1
2．已知命题 p：“ x 0,ex cos x”，则 p为( )
A． x 0,ex cos x B． x 0,ex cos x C． x 0,ex cos x D． x 0,ex cos x
3．已知平面内三点 A 1,0 ,B 0,1
uuur
,C 2,3 uuur，则向量 AB在 AC上的投影向量为( )
2 6 1 3 1 3
A． , B． 2,6 C． , D． ,
10 10
10 10 5 5
1 n4 ．在 3x
2 的二项展开式中，所有二项式系数之和为 64，则展开式的项数是( )
x
A． 7 B．8 C．9 D．10
π
5．若点 ,0 是函数 y 3sin x 的图象的一个对称中心，则 sin 2 的值为( )
3
1 1
A 3 3． B． C． D．
2 2 2 2
2 F 3 ,0 6．已知抛物线C : y 2px的焦点为 ，点T (t,0)在 x轴上 t 0 ，若对C上任意一点M ，都有
2
|MT | t成立，则 t的取值范围为( )
3 9
A． 0, B． (0,3] C． 0, D． (0,6]
2 2
7．已知不重合的两个圆C1,C2都过点 1,2 ，且均与两坐标轴相切，则圆C1,C2的公共弦长为( )
A．1 B． 2 C． 2 2 D． 3 2
8．美味的火锅中也充满了有趣的数学知识，如图，将火锅抽象为乙图的两个同轴圆柱，大、小圆柱的
半径分别为 25cm与 5cm，圆柱的高为 30cm．汤料只放在两圆柱之间的汤锅中，将汤勺视为一条线
段．若将汤锅装满，将汤勺置于两圆柱之间，若无论如何放置汤勺，汤料都不会将汤勺完全淹没，
则汤勺长度最短为( )cm
A．10 26 B．10 30 C．10 33 D．10 37
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二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9 ． 已 知 数 据 a1,a2 ,a3 , ,a8 的 平 均 数 为 M ， 中 位 数 为 N ， 方 差 为 P ， 极 差 为 Q ， 设
bi 3ai 2 i 1,2,3, ,8 ，得到新数据 b1,b2 ,b3 , ,b8 ，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是
( )
A.平均数是 3M B.中位数是 3N 2 C.方差是9P D.极差是3Q 2
10．如图，在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，已知M ,N ,P 分别是棱
C1D1, AA1,BC的中点，Q为平面 PMN上的动点，且直线QB1与直线 DB1的
夹角为30 ，则( )
A． DB1 平面 PMN
B．平面 PMN截正方体所得的截面面积为 3 3
C．点Q的轨迹长度为 π
D．能放入由平面 PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度
3 3
忽略不计）的球的半径的最大值为
2
11．已知在 VABC 中，角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ，且满足
sin B sinC 2sin AcosB，点 D在线段 AB的延长线上，则( )
A． a2 b2 bc B．若 2c a b，则 cos ABC
4
5
C． A 2B D．若 AB 3, BD 1，当点C运动时， CD CA 为定值
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．复数 z满足 z 1 i 2i，其中 i为虚数单位，则 z __________．
13．已知 4x2 y2 3xy 1 0 ，则 xy的最大值为__________．
14．若函数 f (x) x4 4x3 ax(a R)的图象存在对称轴，则 f (x)的最小值为__________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知正项数列 a 的前 n项和为 S ，且 a 1， 2S a2n n 1 n n a n ,n N ．
（1）求数列 an 的通项公式；
b an+1（2）若 n n ，求数列 bn 的前 n项和T2 n．
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16．已知函数 f (x)
1
ax ．
ex
（1）讨论 f (x)的单调性；
（2）若直线 y 1与曲线 y f (x)相切，求 a的值．
17．如图，在四棱锥 P ABCD中，AB 1,BC 2,BD 2 2,PA 平面 ABCD，平面 PAB 平面 PBC ．
（1）证明： AB BC；
（2）若 PA 2 2, AC AD，点G为△PCD的重心，求直线CG与平面 PBC 所成角的正弦值．
2 2
18 x y．如图，已知椭圆C : 1．点 P x0 , y0 在椭圆上且 y
4 3 0
0，PQ,PR分别经过C的左、右焦点
uuur uuur uuur uuur
F1,F2，且 PF1 F1Q,PF2 F2R．
（1）若 2，求点 P的坐标；
（2）证明： 是定值，并求出 的值；
（3）求四边形 F1QRF2面积最大值．
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19．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定“满二进一”就是二进制；“满十进一”
就是十进制；“满十六进一”就是十六进制等．一般地，若 k是一个大于1的整数，那么以 k为基数
的 k 进 制 数 可 以 表 示 为 一 串 数 字 符 号 连 写 在 一 起 的 形 式 anan 1 a1a0 k ， 其 中
an ,an 1,L,a0 0,1,2,L,k 1 ， 且 an 0 ， ana a a n n 1n 1 1 0 k ank an 1k a1k a0 ， 如
22 2 32 1 3 1，所以 22在三进制下可写为 211 3 .
（1）将五进制数 211 5 转化成三进制数；
（2）对于任意两个不同的 n 1 位二进制数 anan 1 a1a0 2 ， bnbn 1 b1b0 2 ， an bn 1，记
n
X ai bi ．
i 0
（i）若 n 3，求随机变量 X 的分布列与数学期望；
n
（ii）证明： E X .
2
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