四川省成都石室中学2025-2026学年下学期高三高考二模数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 四川省成都石室中学2025-2026学年下学期高三高考二模数学试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 110.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-21 00:00:00 | ||
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文档简介
成都石室中学2025-2026学年度下期高2026届二诊模拟测试 数 学
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知命题 : “ ” ，则 为( )
A. B.
C. D.
3. 已知平面内三点 ，则向量 在 上的投影向量为( )
A. B.
C. D.
4. 在 的二项展开式中,所有二项式系数之和为 64,则展开式的项数是( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
5. 若点 是函数 的图象的一个对称中心，则 的值为( )
A. B. C. D.
6. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 轴上 ，若对 上任意一点 ，都有 成立，则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7. 已知不重合的两个圆 都过点 ，且均与两坐标轴相切，则圆 的公共弦长为( )
A. 1 B. C. D.
8. 美味的火锅中也充满了有趣的数学知识, 如图, 将火锅抽象为乙图的两个同轴圆柱, 大、小圆柱的半径分别为 与 ,圆柱的高为 . 汤料只放在两圆柱之间的汤锅中,将汤勺视为一条线段. 若将汤锅装满, 将汤勺置于两圆柱之间, 若无论如何放置汤勺, 汤料都不会将汤勺完全淹没, 则汤勺长度最短为( )cm
甲
乙
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知数据 的平均数为 ,中位数为 ,方差为 ,极差为 ,设 ,得到新数据 ,则对于所得新数据,下列说法一定正确的是 ( )
A.平均数是 B. 中位数是 C. 方差是 D.极差是
10. 如图,在棱长为 2 的正方体 中,已知 分别是棱 的中点, 为平面 上的动点,且直线 与直线 的夹角为 ,则( )
A. 平面
B. 平面 截正方体所得的截面面积为
C. 点 的轨迹长度为
D. 能放入由平面 分割该正方体所成的两个空间几何体内部(厚度忽略不计) 的球的半径的最大值为
11. 已知在 中，角 所对的边长分别为 ，且满足 ，点 在线段 的延长线上，则()
A. B. 若 ,则
C. D. 若 ，当点 运动时， 为定值
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 _____.
13. 已知 ，则 的最大值为_____.
14. 若函数 的图象存在对称轴，则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 已知正项数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
16. 已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若直线 与曲线 相切，求 的值.
17. 如图,在四棱锥 中, 平面 ,平面 平面 .
(1)证明: ；
(2)若 ，点 为 的重心，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 如图,已知椭圆 . 点 在椭圆上且 分别经过 的左、右焦点 ,且 .
(1)若 ，求点 的坐标；
(2)证明: 是定值，并求出 的值；
(3)求四边形 面积最大值.
19. 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定 “满二进一” 就是二进制; “满十进一” 就是十进制; “满十六进一” 就是十六进制等. 一般地,若 是一个大于 1 的整数,那么以 为基数的 进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式 ,其中 ,且 ,如 ,所以 22 在三进制下可写为 .
(1)将五进制数 转化成三进制数;
(2)对于任意两个不同的 位二进制数 ,记
(i) 若 ,求随机变量 的分布列与数学期望;
(ii) 证明: .
成都石室中学2025-2026学年度下期高2026届二诊模拟测试 数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B D D A D B B C BC ABD ACD
12.
15. (1)由题意，当 时， ，作差得到 ， 化简得 . 3 分
因 为正项数列,则 ,因此 ,即 ,
又因 ,则 为首项是 1,公差为 1 的等差数列.
综上， . 6 分
(2)由题意， ，则 的前 项和 为:
①
②
由①-②,得 ,
则 . 13 分
16. (1) 的定义域为 ， ，
当 时， ， 单调递减； 2 分
当 时,令 ,得 ,则当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增. 5 分
综上,当 时, 在 上单调递减; 当 时, 在 单调递减; 在 单调递增. 7 分
(2)由(1)知， ，设切点为 ，则 ，易知 ，故 .
又因 ,即 ,将 代入，得 . 10 分
设 ,则 .
令 ,即 ,解得 ,当 时, 单调递增,当 时,
单调递减,所以 .
由 ,则 . 15 分
17. ( 1 )如图，过点 作 于点 ，
平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
平面 . 2 分
又 平面 .
又 平面 平面 . 4 分
平面 平面 .
又 平面 , . 6 分
(2)由(1)知 ，以点 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴， 过点 且平行于 的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则 .
设 . 由 ,则 ,
又因 ,则 .
联立两式,得 . 8 分
又 ,且 为 的重心, . 10 分
设平面 的一个法向量为 ,则
令 ,则 . 12 分
设直线 与平面 所成角为 ,则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
18.(1)设 ，而 ，由 ，得 ，
由于 均在 上,则 ,
消去 得 ,解得 ,则点 . 4 分
(2)证明:[方法一]设 ， ， ，
由 ,则有 ,
,
由 在 轴上方,可设直线 的方程为 ,
联立 ,整理可得 ,
则 ,
又因为点 在直线上,则 ,
所以 ,
则 ,即 ,
所以 ,同理可得 . 8 分
所以 ,即 为定值 . 10 分
[方法二] 设 ,
由 ,则有 ,
又 均在 上,则 ,解得 , 8 分同理可得 .
所以 ,即 为定值 . 10 分
(3) 因为 , 因此 , 又因 ,所以 , 14 分因此 当且仅当 ,即 时取等,则四边形 面积最大值为 . 17 分
19.(1)由题意得，将五进制数 转化为十进制数为 , 2 分
,
因此五进制数 转化成三进制数为 . 4 分
(2)(i)若 ，则 位的二进制数有 ， ， ， ， ， ，
,共 8 个,从 8 个数中任选 2 个,共有 种情况.
的所有可能取值为1,2,3.
当 时,若选择 ,可以从 中任选 1 个,共有 3 种情况,
若选择 ,可以从 中任选 1 个，共有 3 种情况，
若选择 ,可以从 中任选 1 个,共有 2 种情况,
若选择 ,可以从 中任选 1 个,共有 2 种情况,
若选择 ,可以从 中任选 1 个,共有 2 种情况,
共有 种情况,故 .
当 时, 和 和 和 , 和 满足要求, 共有 4 种情况,故 ,
,
则随机变量 的分布列为 8 分
1 2 3
3 7 3 7
. 9 分
(ii) 由于 位二进制数 中 ,
则根据二进制数中 0 的个数可得, 位二进制数一共有 个,
且 ,则 的所有可能取值为 .
当 时,二进制数 有 位取值不同,剩余 位取值相同,
除去 ,从剩余的 位中选择 位,二进制数 在这 位上数字不同,对其余的 位,两者均在同一位置数字相同,
由于 ,故共有 种情况,则
13 分
因此随机变量 的分布列为:
1 2 3 ...
...
, 15 分
,
. 17 分
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知命题 : “ ” ，则 为( )
A. B.
C. D.
3. 已知平面内三点 ，则向量 在 上的投影向量为( )
A. B.
C. D.
4. 在 的二项展开式中,所有二项式系数之和为 64,则展开式的项数是( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
5. 若点 是函数 的图象的一个对称中心，则 的值为( )
A. B. C. D.
6. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 轴上 ，若对 上任意一点 ，都有 成立，则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7. 已知不重合的两个圆 都过点 ，且均与两坐标轴相切，则圆 的公共弦长为( )
A. 1 B. C. D.
8. 美味的火锅中也充满了有趣的数学知识, 如图, 将火锅抽象为乙图的两个同轴圆柱, 大、小圆柱的半径分别为 与 ,圆柱的高为 . 汤料只放在两圆柱之间的汤锅中,将汤勺视为一条线段. 若将汤锅装满, 将汤勺置于两圆柱之间, 若无论如何放置汤勺, 汤料都不会将汤勺完全淹没, 则汤勺长度最短为( )cm
甲
乙
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知数据 的平均数为 ,中位数为 ,方差为 ,极差为 ,设 ,得到新数据 ,则对于所得新数据,下列说法一定正确的是 ( )
A.平均数是 B. 中位数是 C. 方差是 D.极差是
10. 如图,在棱长为 2 的正方体 中,已知 分别是棱 的中点, 为平面 上的动点,且直线 与直线 的夹角为 ,则( )
A. 平面
B. 平面 截正方体所得的截面面积为
C. 点 的轨迹长度为
D. 能放入由平面 分割该正方体所成的两个空间几何体内部(厚度忽略不计) 的球的半径的最大值为
11. 已知在 中，角 所对的边长分别为 ，且满足 ，点 在线段 的延长线上，则()
A. B. 若 ,则
C. D. 若 ，当点 运动时， 为定值
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 _____.
13. 已知 ，则 的最大值为_____.
14. 若函数 的图象存在对称轴，则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 已知正项数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
16. 已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若直线 与曲线 相切，求 的值.
17. 如图,在四棱锥 中, 平面 ,平面 平面 .
(1)证明: ；
(2)若 ，点 为 的重心，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 如图,已知椭圆 . 点 在椭圆上且 分别经过 的左、右焦点 ,且 .
(1)若 ，求点 的坐标；
(2)证明: 是定值，并求出 的值；
(3)求四边形 面积最大值.
19. 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定 “满二进一” 就是二进制; “满十进一” 就是十进制; “满十六进一” 就是十六进制等. 一般地,若 是一个大于 1 的整数,那么以 为基数的 进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式 ,其中 ,且 ,如 ,所以 22 在三进制下可写为 .
(1)将五进制数 转化成三进制数;
(2)对于任意两个不同的 位二进制数 ,记
(i) 若 ,求随机变量 的分布列与数学期望;
(ii) 证明: .
成都石室中学2025-2026学年度下期高2026届二诊模拟测试 数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B D D A D B B C BC ABD ACD
12.
15. (1)由题意，当 时， ，作差得到 ， 化简得 . 3 分
因 为正项数列,则 ,因此 ,即 ,
又因 ,则 为首项是 1,公差为 1 的等差数列.
综上， . 6 分
(2)由题意， ，则 的前 项和 为:
①
②
由①-②,得 ,
则 . 13 分
16. (1) 的定义域为 ， ，
当 时， ， 单调递减； 2 分
当 时,令 ,得 ,则当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增. 5 分
综上,当 时, 在 上单调递减; 当 时, 在 单调递减; 在 单调递增. 7 分
(2)由(1)知， ，设切点为 ，则 ，易知 ，故 .
又因 ,即 ,将 代入，得 . 10 分
设 ,则 .
令 ,即 ,解得 ,当 时, 单调递增,当 时,
单调递减,所以 .
由 ,则 . 15 分
17. ( 1 )如图，过点 作 于点 ，
平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
平面 . 2 分
又 平面 .
又 平面 平面 . 4 分
平面 平面 .
又 平面 , . 6 分
(2)由(1)知 ，以点 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴， 过点 且平行于 的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则 .
设 . 由 ,则 ,
又因 ,则 .
联立两式,得 . 8 分
又 ,且 为 的重心, . 10 分
设平面 的一个法向量为 ,则
令 ,则 . 12 分
设直线 与平面 所成角为 ,则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
18.(1)设 ，而 ，由 ，得 ，
由于 均在 上,则 ,
消去 得 ,解得 ,则点 . 4 分
(2)证明:[方法一]设 ， ， ，
由 ,则有 ,
,
由 在 轴上方,可设直线 的方程为 ,
联立 ,整理可得 ,
则 ,
又因为点 在直线上,则 ,
所以 ,
则 ,即 ,
所以 ,同理可得 . 8 分
所以 ,即 为定值 . 10 分
[方法二] 设 ,
由 ,则有 ,
又 均在 上,则 ,解得 , 8 分同理可得 .
所以 ,即 为定值 . 10 分
(3) 因为 , 因此 , 又因 ,所以 , 14 分因此 当且仅当 ,即 时取等,则四边形 面积最大值为 . 17 分
19.(1)由题意得，将五进制数 转化为十进制数为 , 2 分
,
因此五进制数 转化成三进制数为 . 4 分
(2)(i)若 ，则 位的二进制数有 ， ， ， ， ， ，
,共 8 个,从 8 个数中任选 2 个,共有 种情况.
的所有可能取值为1,2,3.
当 时,若选择 ,可以从 中任选 1 个,共有 3 种情况,
若选择 ,可以从 中任选 1 个，共有 3 种情况，
若选择 ,可以从 中任选 1 个,共有 2 种情况,
若选择 ,可以从 中任选 1 个,共有 2 种情况,
若选择 ,可以从 中任选 1 个,共有 2 种情况,
共有 种情况,故 .
当 时, 和 和 和 , 和 满足要求, 共有 4 种情况,故 ,
,
则随机变量 的分布列为 8 分
1 2 3
3 7 3 7
. 9 分
(ii) 由于 位二进制数 中 ,
则根据二进制数中 0 的个数可得, 位二进制数一共有 个,
且 ,则 的所有可能取值为 .
当 时,二进制数 有 位取值不同,剩余 位取值相同,
除去 ,从剩余的 位中选择 位,二进制数 在这 位上数字不同,对其余的 位,两者均在同一位置数字相同,
由于 ,故共有 种情况,则
13 分
因此随机变量 的分布列为:
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...
, 15 分
,
. 17 分
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