第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
素养目标 思维导图
1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.(数学抽象) 2.理解平面向量的几何表示和基本要素.(直观想象)
课前自主学习
问题1.在物理中,我们学习过位移、速度和力,这些物理量与我们日常生活中的面积、质量有什么区别
提示:面积、质量只有大小,没有方向,而位移、速度和力既有大小,又有方向.
问题2.平面直角坐标系中的x轴是如何表示方向的
提示:用箭头表示方向.
【核心概念】
1.向量和数量
(1)向量:在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量:把只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量.
2.有向线段
(1)概念:通常在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点,B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫做有向线段.
(2)有向线段的表示:通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作.
(3)有向线段的长度:线段AB的长度也叫做有向线段的长度,记作||.
3.向量的表示
几何表示:用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向,即用有向线段的起点、终点字母表示,如,…
字母表示:用小写字母a,b,c,…表示,手写时必须加箭头.
4.向量的长度(或称模)与特殊向量
(1)向量的长度定义:向量的大小叫做向量的长度(或称模).
(2)向量的长度表示:向量,a的长度分别记作:||,|a|.
(3)特殊向量:
①长度为0的向量称为零向量,记作0,方向不确定;
②长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
5.向量间的关系
(1)相等向量:长度相等且方向相同的向量,记作:a=b.
(2)平行向量:方向相同或相反的非零向量,也叫共线向量;a平行于b,记作a∥b;规定零向量与任意向量平行.
课堂合作探究
探究点一 向量的有关概念
【典例1】(1)下列量中是向量的为 ( )
A.频率 B.拉力
C.体积 D.距离
【思维导引】根据向量与数量的定义直接判断.
【解析】选B.显然频率、体积、距离,它们只有大小,不是向量,而拉力既有大小又有方向,所以拉力是向量.
(2)下列说法错误的是 ( )
A.向量与向量长度相等
B.起点相同的单位向量,终点必相同
C.向量的模可以比较大小
D.任一非零向量都可以平行移动
【解析】选B.和长度相等,方向相反,故A正确;单位向量的方向不确定,故起点相同时,终点不一定相同,故B错误;向量的长度可以比较大小,即模长可以比较大小,故C正确;向量只与长度和方向有关,与位置无关,故任一非零向量都可以平行移动,故D正确.
【类题通法】
解决向量有关概念问题的方法
(1)物理中矢量与标量:熟悉一些常见物理量,如质量、位移、速度、速率、功是否为向量.
(2)准确、全面理解向量的有关概念:明确零向量和单位向量,注意相等向量、共线向量、平行向量之间的区别和联系.
【定向训练】
1.下列说法正确的是 ( )
A.平行向量就是向量所在直线平行的向量
B.长度相等的向量叫相等向量
C.零向量的长度为0
D.共线向量是在一条直线上的向量
【解析】选C.平行向量所在直线可以平行也可以重合,故A错;长度相等、方向不同的向量不是相等向量,故B错;共线向量即平行向量,不一定在同一条直线上,故D错.
2.下列命题中不正确的命题个数为 ( )
①若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;
②若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;
③对于任意|a|=|b|,且a与b的方向相同,则a=b;
④向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.①不正确.因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定,即大小与方向,所以两个向量不能比较大小.②不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等,并不能判断方向.③正确.因为|a|=|b|,且a与b同向.由两向量相等的条件可得a=b.④不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量,则其方向不确定.
探究点二 向量的表示
【典例2】已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地,再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地,再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地.
(1)作出向量,,,;
(2)问D地在A地的什么方向 D地距A地多远
【解析】(1)由题意,作出向量,,,,如图所示.
(2)依题意知,△ABC为等边三角形,所以AC=2 000 km.
因为∠ACD=45°,CD=1 000 km,
所以△ACD为等腰直角三角形,
则AD=1 000 km,∠CAD=45°,
所以D地在A地的东南方向,距A地1 000 km.
【类题通法】
用有向线段表示向量的方法
(1)定起点.
(2)定方向.
(3)定终点:依据向量模的大小确定向量的终点.
提醒:必要时,需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模),选择合适的比例关系作出向量.
【定向训练】
如图为小方格边长为1的方格纸.
(1)画出向量,使得||=3,点A在点O的正西方向;
(2)画出向量,使得||=3,点B在点O的北偏西45°方向;
(3)求出||的值.
【解析】(1)因为||=3,点A在点O的正西方向,故向量的图示如下:
(2)因为||=3,点B在点O的北偏西45°方向,故向量的图示如下:
(3)
||==3.
探究点三 相等向量与共线向量
【典例3】(一题多问)
已知在如图的方格纸(每个小方格边长为1)上,向量a及点B,C,D,E的位置.解决下列问题.
(1)试以B为起点画一个向量b,使b=a;
(2)与向量a是否为相等向量
(3)与向量a是否为相等向量
(4)画一个以C为起点的向量c,使|c|=2,并说出c的终点的轨迹.
【问题解读】(1)根据相等向量的定义可作出向量b;
(2)(3)看两个向量是否相等关键看方向与模长;
(4)根据已知条件可作出一个向量c,利用向量模长的几何意义可得出c的终点的轨迹.
【解析】(1)根据相等向量的定义,所作向量应与a平行,且长度相等,如图.
(2)与向量a方向不同,不是相等向量;
(3)与向量a方向相同,长度相等,为相等向量;
(4)由平面几何知识可作满足条件的向量c.
所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心,2为半径的圆,如图.
【类题通法】
寻找共线向量或相等向量的方法
(1)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
(2)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
【定向训练】
1.(多选)已知非零向量a,b,下列命题正确的是( )
A.若|a|=|b|,则a∥b
B.若a=b,则|a|=|b|
C.若a∥b,则a=b
D.若a=b,则a∥b
【解析】选BD.对于A,向量是具有方向的量,若|a|=|b|,则向量a与b的大小一样,方向不确定,不一定共线,故A错误;对于B,若a=b,则一定有|a|=|b|,故B正确;对于C,若a∥b,则只能说明非零向量a,b共线,当a,b大小不同或方向相反时,都有a≠b,故C错误;对于D,若a=b,则a,b共线且方向相同,所以a∥b,故D正确.
2.在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,则 ( )
A.与共线 B.与共线 C.与相等 D.与相等
【解析】选B.由题意可知,与不共线,A错误;
因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DE∥BC,故与共线,B正确;
因为CD与AE不平行,所以与不相等,C错误;
因为==-,所以与不相等,D错误.
课堂学业达标
1.若a为任一非零向量,b为单位向量,则下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1;⑤=b.其中正确的是 ( )
A.①④⑤ B.③
C.①②③⑤ D.②③⑤
【解析】选B.|a|不一定大于1,|b|=1,所以①④不正确;a与b不一定平行,故②不正确.是a方向上的单位向量,不一定等于b,故⑤不正确.
2.如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,图中与共线的向量有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
【解析】选C.由题图可知,根据正六边形的性质,与共线的有,,,共3个.
3.下列说法正确的是 ( )
A.向量的模是一个正实数
B.若a与b不共线,则a与b都是非零向量
C.共线的单位向量必相等
D.两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同
【解析】选B.向量的模是一个非负实数,如零向量的模是0,A错误;
零向量与任意向量共线,若a与b不共线,则a与b都是非零向量,B正确;
共线的单位向量方向可能相同,也可能相反,C错误;
两个向量相等的条件是长度相等、方向相同,与起点无关,D错误.
4.下列命题中正确的序号是 .
(1)向量就是有向线段;
(2)零向量是没有方向的向量;
(3)零向量的方向是任意的;
(4)零向量的长度为0.
【解析】(1)向量可以用有向线段表示,但不能把两者等同,故错误;
(2)根据对零向量的规定,零向量是有方向的,是任意的,故错误;
(3)根据对零向量的规定,零向量的方向是任意的,故正确;
(4)根据对零向量的规定,零向量的大小为0,所以零向量的长度为0,故正确.
答案:(3)(4)(共30张PPT)
课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
素养目标 思维导图
1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.(数学抽象) 2.理解平面向量的几何表示和基本要素.(直观想象)
课前自主学习
问题1.在物理中,我们学习过位移、速度和力,这些物理量与我们日常生活中的面
积、质量有什么区别
提示:面积、质量只有大小,没有方向,而位移、速度和力既有大小,又有方向.
问题2.平面直角坐标系中的x轴是如何表示方向的
提示:用箭头表示方向.
【核心概念】
1.向量和数量
(1)向量:在数学中,我们把既有_____又有_____的量叫做向量.
(2)数量:把只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积、体积、
质量等都是数量.
大小
方向
有向线段
大小
方向
大小
长度为0
0
单位长度
5.向量间的关系
(1)相等向量:长度_____且方向_____的向量,记作:a=b.
(2)平行向量:方向___________的非零向量,也叫_________;a平行于b,记作_____;
规定零向量与任意向量_____.
相等
相同
相同或相反
共线向量
a∥b
平行
课堂合作探究
探究点一 向量的有关概念
【典例1】(1)下列量中是向量的为( )
A.频率 B.拉力
C.体积 D.距离
【思维导引】根据向量与数量的定义直接判断.
【解析】选B.显然频率、体积、距离,它们只有大小,不是向量,而拉力既有大小又
有方向,所以拉力是向量.
√
√
【类题通法】
解决向量有关概念问题的方法
(1)物理中矢量与标量:熟悉一些常见物理量,如质量、位移、速度、速率、功是否为向量.
(2)准确、全面理解向量的有关概念:明确零向量和单位向量,注意相等向量、共线向量、平行向量之间的区别和联系.
【定向训练】
1.下列说法正确的是( )
A.平行向量就是向量所在直线平行的向量
B.长度相等的向量叫相等向量
C.零向量的长度为0
D.共线向量是在一条直线上的向量
【解析】选C.平行向量所在直线可以平行也可以重合,故A错;长度相等、方向不
同的向量不是相等向量,故B错;共线向量即平行向量,不一定在同一条直线上,故
D错.
√
2.下列命题中不正确的命题个数为 ( )
①若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;
②若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;
③对于任意|a|=|b|,且a与b的方向相同,则a=b;
④向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.①不正确.因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定,即
大小与方向,所以两个向量不能比较大小.②不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度
相等,并不能判断方向.③正确.因为|a|=|b|,且a与b同向.由两向量相等的条件可得
a=b.④不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量,则其方向不确定.
√
(2)依题意知,△ABC为等边三角形,所以AC=2 000 km.
因为∠ACD=45°,CD=1 000 km,
所以△ACD为等腰直角三角形,
则AD=1 000 km,∠CAD=45°,
所以D地在A地的东南方向,距A地1 000 km.
【类题通法】
用有向线段表示向量的方法
(1)定起点.
(2)定方向.
(3)定终点:依据向量模的大小确定向量的终点.
提醒:必要时,需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模),选择合适的比例关系作出向量.
【类题通法】
寻找共线向量或相等向量的方法
(1)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
(2)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
【定向训练】
1.(多选)已知非零向量a,b,下列命题正确的是( )
A.若|a|=|b|,则a∥b
B.若a=b,则|a|=|b|
C.若a∥b,则a=b
D.若a=b,则a∥b
【解析】选BD.对于A,向量是具有方向的量,若|a|=|b|,则向量a与b的大小一样,方向
不确定,不一定共线,故A错误;对于B,若a=b,则一定有|a|=|b|,故B正确;对于C,若
a∥b,则只能说明非零向量a,b共线,当a,b大小不同或方向相反时,都有a≠b,故C错误;
对于D,若a=b,则a,b共线且方向相同,所以a∥b,故D正确.
√
√
√
课堂学业达标
1.若a为任一非零向量,b为单位向量,则下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1;
⑤=b.其中正确的是( )
A.①④⑤ B.③
C.①②③⑤ D.②③⑤
【解析】选B.|a|不一定大于1,|b|=1,所以①④不正确;a与b不一定平行,故②不正
确.是a方向上的单位向量,不一定等于b,故⑤不正确.
√
√
3.下列说法正确的是 ( )
A.向量的模是一个正实数
B.若a与b不共线,则a与b都是非零向量
C.共线的单位向量必相等
D.两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同
【解析】选B.向量的模是一个非负实数,如零向量的模是0,A错误;
零向量与任意向量共线,若a与b不共线,则a与b都是非零向量,B正确;
共线的单位向量方向可能相同,也可能相反,C错误;
两个向量相等的条件是长度相等、方向相同,与起点无关,D错误.
√
4.下列命题中正确的序号是 .
(1)向量就是有向线段;
(2)零向量是没有方向的向量;
(3)零向量的方向是任意的;
(4)零向量的长度为0.
【解析】(1)向量可以用有向线段表示,但不能把两者等同,故错误;
(2)根据对零向量的规定,零向量是有方向的,是任意的,故错误;
(3)根据对零向量的规定,零向量的方向是任意的,故正确;
(4)根据对零向量的规定,零向量的大小为0,所以零向量的长度为0,故正确.
答案:(3)(4)
