江西省乐平市第一中学2025-2026学年高三下学期3月阶段检测数学试题（含答案）

乐平一中 2025-2026 学年下学期第一次月考 高三数学试卷
时长:120 分钟总分 150 分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 设复数 满足 ，则 ( )
A. B. 2 C. D.
3. 已知命题 ，则命题 的否定为( )
A. B.
C. D.
4. 已知抛物线 为 的焦点， 为 上的点，则 ( )
A. 3 B. C. 2 D. 4
5. 设函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为( )
A. B. C. D.
6. 在 中,内角 的对边分别为 ,若 ,则 ( )
A. B. C. D. 2
7. 已知平面上的非零向量 、 ，定义运算: ，对于平面上任意非零向量 、 、 ， 则( )
A. B. 若 与 不垂直，则
C. D. 若 . 则
8. 定义:已知数列 ，若对于任意给定的正数 (不论它多么小)，总存在正整数 ，使得当 时， ( 是一个确定的实数),则称数列 为“聚点数列”, 称为数列 的聚点. 已知数列 的首项 ，满足 ，则数列 的聚点 的值为( )
A. -1 B. 1
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某校 300 名学生参加数学竞赛，随机抽取了 40 名学生的考试成绩(单位:分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( )
A. a 的值为 0.015
B. 估计这 40 名学生数学考试成绩的众数为 75
C. 估计总体中成绩落在 内的学生人数 105
D. 估计这 40 名学生数学考试成绩的第 80 百分位数约为 85
10. 已知数列 的前 项和为 ,且满足 ,对任意的 ,都有 恒成立, 则( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11. 已知曲线 ，则下列说法正确的是( )
A. 曲线 是中心对称图形
B. 曲线 与直线 仅有一个公共点
C. 曲线 经过无数个整点 (横坐标和纵坐标均为整数的点)
D. 若点 在曲线 上，且 分别在直线 两侧，则 的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的展开式中 的系数为_____.
13. 设 ，若函数 在区间 上单调递增，则 的最大值为_____.
14. 已知双曲线 的左顶点 ，直线 与 的右支交于一点 ，点 关于 轴对称的点为 ，若 ，则 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 6 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知在 中，角 是 的角平分线，且 .
(1)若 ，求 的长； (2)若 ，求 的面积.
16. 如图,在直三棱柱 中,底面三角形 是边长为 2 的等边三角形, 是棱 上一点,且由 沿棱柱侧面经过棱 到达 点的最短路线长为 , 设这条最短路线与 的交点为 .
(1)求证: 平面 ；
(2)求平面 和平面 所成的二面角(锐角)的正切值.
17. 2025 年，我国某航天公司研发的“低轨卫星通信终端(星链终端)”核心信号处理系统 内置 个量子芯片元件,每个元件在太空环境下正常工作的概率为 ,各元件工作状态相互独立.
(1)当 时记系统 中正常工作的元件个数为随机变量 ，回答以下问题:
① 求 的分布列及数学期望 ；
②若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性. 为改善 时系统 的可靠性,能否通过增加一个量子芯片元件即 提高系统 的可靠性 请给出你的结论并证明.
(2)该公司从某批次量子芯片中随机抽取了 100 个元件，在“模拟太空环境”和“地面实验室环境”下测试其工作状态,得到如下 列联表:
正常工作 故障 合计
模拟太空 45 10 55
地面实验室 30 15 45
合计 75 25 100
请根据小穰事值 独立性检验,能否认为元件工作状态与测试环境有关联
附: .
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
18. 已知椭圆 的离心率为 ，其左顶点 在圆 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 交椭圆 于 ， 两点. 设点 关于 轴的对称点为 (点 与点 不重合),且直线 与 轴交于点
(i) 点是否为定点,若是求出 点坐标; 若不是,说明理由
(H) 求 的面积最大值.
19. 已知函数 .
(1)证明:当 时， .
(2)若 是 的极大值点，求 的取值范围.
(3)若 ，且 ，其中 ，证明: .
乐平一中 2025-2026 学年下学期第一次月考 高三数学试卷参考答案
一、单项选择题:
1 2 3 4 5 6 7 8
C A B A A D C D
二、多项选择题:
9 10 11
AB BD ABD
三、填空题:
12. -15 13. 2 14.
8.由 ,得 ,又 ,故 , 所以数列 是以 为首项、 为公比的等比数列,
所以 ,即 ,
对于 ,当 足够小时, ,取 为
则 ,有 ,故
14设 ,则 , 又 ，则 ， ，
所以 ①.
因为点 在 上,所以 ,则 ②,
将②代入①得 ，所以 ，
即 ,所以 的离心率为 .
四、解答题:
15.【小问 1 】
因为 ,所以 ,所以 .
因为 ,所以 ,
所以 , 在 中,由正弦定理得 ,即 ,解得 .
【小问 2 】
由 知 ,
由角平分线定理可知 ,设 ,则 ,
在 中,由余弦定理得 ,
即 ,解得 .
在 中,由余弦定理得 ,解得 或 ,
当 时， ，由 得
解得 ，与 矛盾，所以 .
所以 ，所以 的面积为 .
16.【小问 1 】
由题意可知, ,
点 的路径所在平面的展开图如图,
其中最短路径为 ,
得 ，则点 为 的中点，
因为 ,所以 ,得 ,则点 为 上靠近点 的四等分点,
分别取线段 的中点 ,连接 ,
易知 平面 ,故以点 为原点, 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
因为等边 的边长为 2,所以 ,
则 ,
则 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,则 ,
则 ,即 ,
又 平面 ,所以 平面 ;
【小问 2 】
易得,平面 的法向量为 ,
则 ,
则平面 和平面 所成的二面角 (锐角) 的余弦值为 ,
故平面 和平面 所成的二面角 (锐角) 的正切值为
17.【小问 1 】
① 由题意可知 ,所以 ,
则 的分布列如下:
0 1 2 3 4
32 16 81
故 ;
② (方法 1) 当 时记系统 中正常工作的元件数为随机变量 ，则 ， 记 时系统 的可靠性为 ,记 时系统 的可靠性为 ,
故 ,
故 ,
故 时增加一个量子芯片元件即 ,能提高系统 的可靠性;
(方法 2) 记事件 为新增加的这个量子芯片元件正常工作,
当 时记系统 中正常工作的元件数为随机变量 ,
当 时记系统 的可靠性为 ,当 时记系统 的可靠性为 ,
有 .
则
即
即 ,
故 时增加一个量子芯片元件即 ,能提高系统 的可靠性.
【小问 2 】
由已知有 ,
故没有99%的把握认为元件工作状态与测试环境有关联.
18.【小问 1 】因为椭圆 的左顶点在圆 上.
令 ,则 .
所以椭圆 的左顶点坐标为 ,且 .
又离心率为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,
所以椭圆 的方程为 .
【小问 2 】
(i) 设 .
直线 与椭圆 方程联立
化简并整理得 ,
由题设知 ,直线 的方程为
令 得
点是定点,其坐标为 .
(ii) 由 (i) 知,点 . 记点 ,则直线 恒过定点 .
所以
(当且仅当 即 时等号成立)
的面积的最大值为 1 .
19.【小问 1 】
因 ,则 ,
当 时, ,所以 在 上单调递减,
所以 ,故当 时, .
【小问 2 】
的定义域为 ,则 ,
记 ,则 ,则 .
① 若 ，即 ，则 .
令 ,则 ,所以 在 上单调递增,
当 时, . 此时 ,则 ,故 在 上单调递增, 不合题意;
② 若 ，即 ，则必存在 ，使得当 时， ，则 在 上单调递增.
又 ,所以当 时, ,即 在 上单调递增,不合题意;
③ 若 ，即 ，同理可得，存在 ，使得当 时， ， 则 在 上单调递减. 又 ,则当 时, 单调递减, 当 时, 单调递增,所以 是 的极大值点.
综上所述， 的取值范围是 .
【小问 3 】
由( 1 )知，当 时， .
令 ,则 ,再令 ,
则 .
令 ,则 .
所以 .
由 ,得 .
要证 ,只需证 .
因为 在 上单调递减,所以只需证 .
令 ，则 ，令 ，则
易知 在 上单调递减. 又 ,
所以存在 ,使得 ,则 在 上单调递增,在 上单调递减.
又 ,且 在 上单调递增,故 在 上大于 0 .
而 在 上单调递减,且 ,故存在唯一的 ,使得 .
则 在 上单调递增,在 上单调递减.
又 ,所以 恒成立,
所以 ,则 ,所以