2025-2026人教版七年级数学分层精析精练 8.1平方根（含解析）

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2025-2026人教版七年级数学下分层精析精练
8.1平方根
知识点1、算术平方根
1．4的算术平方根是___________．
2．______．
3．计算：_______．
4．计算：________．
5．求下列各数的算术平方根：
(1)16；
(2)0.09；
(3)0；
(4)；
(5)．
知识点2估算
1．如图1，有一个底面积为，高为的圆柱魔方，现打算把它竖直放进一个如图2底面正方形边长为，高为的长方体盒子里．
(1)求这个魔方底面圆的半径；
(2)魔方能否放进去，说明理由．
2．问题情境：有多大？如图1，教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为．
(1)探究过程：因为，，所以．设，将边长为的正方形分成如图2所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到），即______．
(2)理解应用：现在仿照上面的探究“有多大？”的过程，请你写出探究“有多大？”的过程．（结果均保留到）
3．【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
近似计算算术平方根的方法．
例如求的近似值．
因为，
所以，
则可以设成以下两种形式：
①，其中；
②，其中．
小明以①的形式求的近似值的过程如图．
因为，所以，即．因为比较小，将忽略不计，所以，即，得，故．
【尝试探究】
（1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由．
4．观察例题：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请你观察上述的规律后试解下面的问题：
（1）如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值．
（2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求（﹣a）3+（b+4）2的平方根．
5．（1）采用夹逼法，利用的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下：
因为，
所以
因为，，
所以
因为，
所以
因为，
所以
因此(精确到百分位)，
使用夹逼法，求出的近似值(精确到百分位)．
（2）我们规定用符号表示数的整数部分，例如
①按此规定；
②如果的整数部分是的小数部分是求的值．
知识点3平方根概念
1．16的平方根是（ ）
A． B．4 C．-4 D．
2．若实数x没有平方根，则x可以是（ ）
A． B．0 C． D．2
3．下列说法正确的是（ ）
A．16的平方根是4
B．0的平方根是0
C．81的平方根是－9
D．负数的平方根有两个
4．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
5．中国清代学者华蘅芳与英国人傅兰雅合译的《代数术》卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，则2的平方根用符号可表示为（ ）
A． B． C． D．
6．正数m的一个平方根是，则另一个平方根是__________（用含a的代数式表示）．
7．已知一个正数的两个平方根分别是和2，则的值是_______．
8．，括号内应填写______________ ．
知识点4 平方根的性质
1．的平方根为（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的平方根是（ ）
A． B．
C．或 D．1或3
3．若，则的算术平方根是（ ）
A．49 B．53 C．7 D．
4．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为_____ ．
5．若，则_____，_____．
6．解方程
(1)；
(2)．
7．已知．求：
(1)a、b、c的值
(2)求的值
8．王老师给同学们布置了这样一道练习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数．
小达的解法如下：依题意可知，，解得，则，这个正数为4．小达的解法正确吗？请说明理由．
9．某数学小组提出了一个问题：一个实数的算术平方根为，平方根为，求这个实数．小红的解答过程如下图所示．老师看后说小红的答案是错误的，你知道小红错在哪里吗？请写出正确的解答过程．
解：一个实数的算术平方根为，平方根为，或．①当时，解得，，这个数为16；②当时，解得，，这个数为4．综上所述，这个实数为16或4．
易错点
求算术平方根时运算出错
1．的平方根是_______．
2．的平方根是________．
忽视一个正数的平方根有两个
3．已知与都是的平方根，则的值为_______________．
4．若与是同一个正数的平方根，则的值为______．
1．若是关于的一元一次方程．
(1)求________；
(2)求的平方根．
2．已知．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
3．已知实数，不相等，且，．
(1)若的算术平方根为3，求的值；
(2)如果与是同一个正数的两个平方根，求这个正数．
4．求下列各式中的值．
(1)；
(2)．
5．已知，互为相反数，，互为倒数，的算术平方根等于它本身，是平方根等于它本身的实数，求的值．
6．若，求的值．
7．如图，已知一个长方形长和宽的比为，面积为．
(1)求该长方形的长与宽．
(2)如图在此长方形内沿着这条边裁剪一排圆，请计算说明最多能裁剪出多少个面积为的圆．
8．（1）观察发现：
（） … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 1 100 …
表格中________，________；
（2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位；
（3）规律运用：
①已知，则________；
②已知，，则________．
1．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式．
(1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式；
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）；
(3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值．
2．如图，七巧板是我国传统的智力玩具、七巧板虽然只有七块，但用它们可以拼出不同的图案．如图，小海和小曙利用的方格图（每个小正方形的边长均为），制作了一副七巧板、然后，将其中的块摆放成我们熟悉的几何图形（如图），它们分别是等腰直角三角形，平行四边形，等腰梯形．
(1)直接写出④号正方形的面积和边长；
(2)不求可以发现图中等腰直角三角形的周长为，请用含的代数式分别表示图中平行四边形、等腰梯形的周长，并判断小曙的发现是否正确．
3．如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形纸片如图（2）．
(1)原小正方形的边长为______；
(2)如图3，把两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片，发现大正方形内部是一个小正方形，求小正方形的面积与边长．
2025-2026人教版七年级数学下分层精析精练
8.1平方根（解析版）
知识点1、算术平方根
1．4的算术平方根是___________．
【答案】2
【分析】根据算术平方根的定义，寻找平方等于4的非负实数即可．
【详解】解：根据算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根，
∵，且2是正数，
∴4的算术平方根是2．
2．______．
【答案】
2
【分析】根据算术平方根的定义，若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根.
【详解】因为，
所以.
3．计算：_______．
【答案】
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根．利用二次根式商的算术平方根的性质即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
4．计算：________．
【答案】2
【分析】本题考查了算术平方根的性质，解题的关键是根据算术平方根的性质，一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身进行求解．
【详解】解：由算术平方根的性质可知，（其中），
因此，
故答案为：2．
5．求下列各数的算术平方根：
(1)16；
(2)0.09；
(3)0；
(4)；
(5)．
【答案】(1)4
(2)0.3
(3)0
(4)13
(5)
【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
（1）根据以及算术平方根的定义进行计算即可；
（2）根据以及算术平方根的定义进行计算即可；
（3）根据以及算术平方根的定义进行计算即可；
（4）根据以及算术平方根的定义进行计算即可；
（5）根据以及算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：，
∴，即的算术平方根为；
（2）解：，
∴，即的算术平方根为；
（3）解：，
∴，即的算术平方根为；
（4）解：，
∴，即的算术平方根为；
（5）解：，
∴，即的算术平方根为．
知识点2估算
1．如图1，有一个底面积为，高为的圆柱魔方，现打算把它竖直放进一个如图2底面正方形边长为，高为的长方体盒子里．
(1)求这个魔方底面圆的半径；
(2)魔方能否放进去，说明理由．
【答案】(1)
(2)能，理由见解析
【分析】本题考查了算术平方根的估算，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
（1）设这个魔方底面圆的半径为，根据圆的面积公式列方程求解即可；
（2）根据算术平方根的估算比较直径与正方形边长的大小关系，再比较圆柱的高和长方体的高，即可判断得解．
【详解】（1）解：设这个魔方底面圆的半径为，
由题意，得，
∴，
∴，
∴这个魔方底面圆的半径；
（2）解：能放进去．理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴魔方底面圆的直径小于长方体盒子底面的边长，且高小于长方体的高，
∴能放进去．
2．问题情境：有多大？如图1，教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为．
(1)探究过程：因为，，所以．设，将边长为的正方形分成如图2所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到），即______．
(2)理解应用：现在仿照上面的探究“有多大？”的过程，请你写出探究“有多大？”的过程．（结果均保留到）
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了算术平方根，无理数大小估算等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）由可得；
（2）由题意画出图形，由（1）的方法可得出答案；
【详解】（1）解：，
（2），，
，
设，画出示意图，
由面积公式，可得．
值很小，更小，
解得（保留到），
∴．
3．【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
近似计算算术平方根的方法．
例如求的近似值．
因为，
所以，
则可以设成以下两种形式：
①，其中；
②，其中．
小明以①的形式求的近似值的过程如图．
因为，所以，即．因为比较小，将忽略不计，所以，即，得，故．
【尝试探究】
（1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由．
【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析
【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键．
（1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则；
（2）可求出，据此可得结论．
【详解】解：（1）设，其中，
∴，
∴，
∵比较小，将忽略不计，
∴，
∴，
∴；
（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下；
∵，，
∴，
∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高．
4．观察例题：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请你观察上述的规律后试解下面的问题：
（1）如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值．
（2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求（﹣a）3+（b+4）2的平方根．
【答案】（1）1；（2）±4
【分析】（1）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可；
（2）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可．
【详解】（1）
即
，
的整数部分为1，小数部分为，的小数部分是，
，
；
（2）
即
的整数部分为1，的小数部分为
，
，
的平方根为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握数的平方根是解题的关键．
5．（1）采用夹逼法，利用的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下：
因为，
所以
因为，，
所以
因为，
所以
因为，
所以
因此(精确到百分位)，
使用夹逼法，求出的近似值(精确到百分位)．
（2）我们规定用符号表示数的整数部分，例如
①按此规定；
②如果的整数部分是的小数部分是求的值．
【答案】（1）；（2）①5，②
【分析】（1）仿照使用夹逼法求近似值的方法解答即可；
（2）①先使用夹逼法确定的范围，然后即可确定的范围，再根据规定解答即可；
②先确定的整数部分a与的小数部分的值，再代入所求式子化简计算即可．
【详解】解：（1）因为，
所以
因为，
所以，
因为，
所以
因为，
所以，
因此．
（2）①因为3.12=9.61，3.22=10.24，
所以，
所以，
所以5；
故答案为：5；
②因为，
所以，
所以原式
．
【点睛】本题考查了利用夹逼法求算术平方根的近似值、对算术平方根的整数和小数部分的认识以及实数的简单计算，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握算术平方根的相关知识是解题关键．
知识点3平方根概念
1．16的平方根是（ ）
A． B．4 C．-4 D．
【答案】A
【分析】本题考查了平方根概念理解，求一个数的平方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
根据平方根的定义，一个数的平方根是平方后等于该数的数．
【详解】解：∵ ，
∴ 16的平方根是，
故选：A．
2．若实数x没有平方根，则x可以是（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查平方根的定义，掌握平方根的定义是解决本题的关键．
依据“负数没有平方根，0的平方根是0，正数有两个平方根”的性质，找出选项中的负数即可求解．
【详解】解：∵负数没有平方根，0的平方根是0，正数有两个平方根，
∴要找没有平方根的实数，需选择负数，
选项中只有是负数，
故选A．
3．下列说法正确的是（ ）
A．16的平方根是4
B．0的平方根是0
C．81的平方根是－9
D．负数的平方根有两个
【答案】B
【分析】本题主要考查的是平方根和算术平方根的定义，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
根据平方根的定义，正数有两个平方根，的平方根是，负数没有实数平方根，逐一判断即可.
【详解】解：A、的平方根是，而非仅，该选项说法错误，不符合题意；
B、的平方根是，该选项说法正确，符合题意；
C、的平方根是，而非仅，该选项说法错误，不符合题意；
D、负数在实数范围内无平方根，该选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
4．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平方根的概念，明确一个正数的平方根有两个，互为相反数是解题的关键．
首先根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，列方程计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
5．中国清代学者华蘅芳与英国人傅兰雅合译的《代数术》卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，则2的平方根用符号可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平方根的定义．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，因此2的平方根应表示为正负两个值．
【详解】解：2的平方根用符号表示为 ．
故选：D．
6．正数m的一个平方根是，则另一个平方根是__________（用含a的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查了平方根，根据平方根的性质“正数的两个平方根互为相反数”进行求解即可．
【详解】解：因为正数 的一个平方根是 ，所以另一个平方根是它的相反数，即 ．
故答案为： ．
7．已知一个正数的两个平方根分别是和2，则的值是_______．
【答案】1
【分析】本题考查了平方根的概念，解决本题的关键是根据平方根的概念列式．
一个正数的两个平方根互为相反数，即它们的和为零列式求解即可．
【详解】解：由平方根的性质，得 ，
化简得 ，解得 ．
故答案为： 1．
8．，括号内应填写______________ ．
【答案】
【分析】本题考查平方根定义，熟记平方根定义是解决问题的关键．
根据平方根的定义，一个数的平方等于9，则这个数是9的平方根，即．
【详解】解：设括号内的数为，
则，
由平方根定义可得，
故答案为：．
知识点4 平方根的性质
1．的平方根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平方根的计算，先计算的值，再求该值的平方根，注意平方根有正负两个值．
【详解】解：∵，
∴的平方根为，
故选：C．
2．若，则的平方根是（ ）
A． B．
C．或 D．1或3
【答案】C
【分析】本题主要考查了平方根的概念，熟知如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根是解题的关键．
由 可得 x 的值，代入 求值，再求其平方根.
【详解】解：∵ ，
∴ .
当时，，的平方根为；
当时，，的平方根为.
∴的平方根是或.
故选：C．
3．若，则的算术平方根是（ ）
A．49 B．53 C．7 D．
【答案】D
【分析】先根据已知方程求出的值，再计算的算术平方根，最后逐一判断选项．
【详解】解：∵ = 7，
∴ 两边平方得：．
∴ ．
∴ 的算术平方根为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义与方程求解，解题关键是先通过方程求出的值，再根据算术平方根的定义计算结果，避免混淆“”与“的算术平方根”这两个概念．
4．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为_____ ．
【答案】9
【分析】本题考查了平方根，解一元一次方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出a的值，继而可求出这个正数．
【详解】解：根据题意得，
解得，
∴，
∴这个正数为，
故答案为：9．
5．若，则_____，_____．
【答案】
【分析】根据算术平方根与绝对值的非负性，两个非负数的和为0时，这两个非负数均为0，据此列方程求解和的值．
【详解】解：因为算术平方根，绝对值，且，
∴，即，解得；
，即，解得．
6．解方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】本题考查了平方根解方程．
（1）先移项合并同类项，再两边同时除以2，开平方求解即可；
（2）先计算算术平方根，再开平方求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
解得：或；
（2）解：，
，
，
，
，
解得：或．
7．已知．求：
(1)a、b、c的值
(2)求的值
【答案】(1)，，；
(2)49
【分析】本题考查了绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性、代数式求值，掌握绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性是正确解题的关键．
（1）根据绝对值、偶次幂以及算术平方根的非负性进行计算即可；
（2）将，，的值代入计算即可；
【详解】（1）解：∵，
∴，，，
∴，，；
（2）解：∵，，，
∴
．
8．王老师给同学们布置了这样一道练习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数．
小达的解法如下：依题意可知，，解得，则，这个正数为4．小达的解法正确吗？请说明理由．
【答案】小达的解法不正确．理由见解析
【分析】是两数中的一个，应该分两种情况分别计算．
【详解】解：小达的解法不正确．理由如下：
依题意可知，为，两数中的一个．
当时，
解得，则，这个正数为；
当时，
解得，则，这个正数为．
综上所述，这个正数为或．
【点睛】本题考查了算术平方根，平方根，算术平方根是平方根中的正数，但是不确定哪个是正数，需要分类讨论，解题的关键是分类讨论．
9．某数学小组提出了一个问题：一个实数的算术平方根为，平方根为，求这个实数．小红的解答过程如下图所示．老师看后说小红的答案是错误的，你知道小红错在哪里吗？请写出正确的解答过程．
解：一个实数的算术平方根为，平方根为，或．①当时，解得，，这个数为16；②当时，解得，，这个数为4．综上所述，这个实数为16或4．
【答案】见解析
【分析】本题考查了算术平方根与平方根，掌握这两个概念是关键；由题意知，或，再分别求出x的值并检验即可．
【详解】解：实数的算术平方根不能是负数，即，应当舍去，
正确的解答过程如下：
一个实数的算术平方根为，平方根为，
或．
①当时，解得，
，这个数为16；
②当时，解得，
，
算术平方根不能为负数，
舍去．
综上所述，这个实数为16．
易错点
求算术平方根时运算出错
1．的平方根是_______．
【答案】
【分析】先计算得到的值，再根据平方根的定义求解最终结果．
【详解】解：，的平方根为，
∴的平方根是．
2．的平方根是________．
【答案】
【详解】，
3的平方根是．
忽视一个正数的平方根有两个
3．已知与都是的平方根，则的值为_______________．
【答案】49或441
【分析】本题考查了平方根的性质，掌握一个正数的两个平方根互为相反数的性质，以及运用分类讨论思想分析两种可能情况是解题的关键．
根据平方根的性质，分类讨论两种情况：当两个式子表示同一个平方根时，它们相等；当表示两个平方根时，它们互为相反数．
【详解】解：①当 与 是同一个平方根时，
，
解得 ，
此时 ；
②当 与是两个平方根时，
，
解得 ，
此时 ．
故答案为：或．
4．若与是同一个正数的平方根，则的值为______．
【答案】4或100/100或4
【分析】本题考查平方根．根据平方根的性质，同一个正数的两个平方根互为相反数或相等，据此列出方程求解．
【详解】解：设与是正数的平方根，则有两种情况：
当时，
解得，
，
．
当时，
解得，
，
．
的值为4或100．
故答案为：4或100．
1．若是关于的一元一次方程．
(1)求________；
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，代数式求值，平方根，熟练掌握相关定义，准确计算为解题关键．
（1）根据一元一次方程的定义得出，，即可得出答案；
（2）将代入式子求出结果，再求平方根即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
，
又，
，
；
（2）解：，
，
．
2．已知．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（）根据算术平方根由意义的条件可得，，即可得到，进而可得；
（）把的值代入中求出的值，进而可求出它的平方根；
本题考查了算术平方根、平方根，掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴的平方根是．
3．已知实数，不相等，且，．
(1)若的算术平方根为3，求的值；
(2)如果与是同一个正数的两个平方根，求这个正数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了算术平方根，平方根的定义，注意二次根式与平方的联系．
（1）先求出的值，再根据列出方程，求出的值；
（2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程，求出，然后求出，最后求出这个正数．
【详解】（1）解：的算术平方根为3，
，
即，
；
（2）解：根据题意得：，
即：，
，
，
这个正数为．
4．求下列各式中的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键．
（1）先移项，然后方程两边同时除以，再根据平方根的定义即可作答；
（2）先移项、合并同类项，再根据平方根的定义即可作答．
【详解】（1）解：移项，得．
两边都除以，得．
由平方根的定义，得．
（2）解：移项，得．
合并同类项，得．
由平方根的定义，得，
即或．
5．已知，互为相反数，，互为倒数，的算术平方根等于它本身，是平方根等于它本身的实数，求的值．
【答案】2或1
【分析】本题考查了相反数、倒数、算术平方根、平方根的定义以及代数式求值，掌握这些基本概念的性质并分情况讨论是解题的关键．
先根据相反数、倒数、算术平方根、平方根的定义，确定的值，再分情况代入代数式计算．
【详解】解：由题意得，，或1，．
当时，；
当时，．
综上所述：的值为或．
6．若，求的值．
【答案】
【分析】此题主要考查了非负数的性质，能够正确得出的值是解题的关键．
直接利用绝对值以及偶次方的性质和算术平方根的性质得出的值，代入计算得出答案．
【详解】解：，
且，，，
，，，
解得，，，
．
7．如图，已知一个长方形长和宽的比为，面积为．
(1)求该长方形的长与宽．
(2)如图在此长方形内沿着这条边裁剪一排圆，请计算说明最多能裁剪出多少个面积为的圆．
【答案】(1)该长方形的长为，宽为
(2)4个
【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，正确列出方程求出长方形的长和宽是解题的关键．
（1）设该长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求解即可；
（2）根据可推出，再根据圆面积计算公式求出圆的半径，进而求出圆的直径，再用长方形的长除以圆的直径即可得到答案．
【详解】（1）解：设该长方形的长为，宽为，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
答：该长方形的长为，宽为；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵一个圆的面积为，
∴该圆的半径为，
∴该圆的直径为，
∵，
∴最多能裁剪出4个面积为的圆．
8．（1）观察发现：
（） … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 1 100 …
表格中________，________；
（2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位；
（3）规律运用：
①已知，则________；
②已知，，则________．
【答案】（1）0.1 10
（2）右 1
（3）①22.4 ②25
【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键．
（1）根据算术平方根的定义即可求出答案；
（2）找到规律即可得出答案；
（3）根据（2）中的规律即可得出答案．
【详解】解：（1）由表格可知，，．
（2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．
（3）①从5到500，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即．
②由及（2）中的规律可知，
则
∴
即．
1．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式．
(1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式；
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）；
(3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2023
【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键．
（1）根据题中所给信息可判结果；
（2）根据第一问的结果用字母代替数字即可；
（3）根据规律将原式进行正确变形求解；
【详解】（1）解：∵第一个等式；
第二个等式；
第三个等式；
∴根据规律可猜测第五个等式为；
（2）解：根据（1）总结规律可得：第n个等式为；
（3）解：依题意，根据规律可化简：
原式
．
2．如图，七巧板是我国传统的智力玩具、七巧板虽然只有七块，但用它们可以拼出不同的图案．如图，小海和小曙利用的方格图（每个小正方形的边长均为），制作了一副七巧板、然后，将其中的块摆放成我们熟悉的几何图形（如图），它们分别是等腰直角三角形，平行四边形，等腰梯形．
(1)直接写出④号正方形的面积和边长；
(2)不求可以发现图中等腰直角三角形的周长为，请用含的代数式分别表示图中平行四边形、等腰梯形的周长，并判断小曙的发现是否正确．
【答案】(1)；
(2)小曙的发现是正确的，图中等腰直角三角形、平行四边形、等腰梯形的周长相等
【分析】本题是考查代数式的表达及化简，以及代数式与几何图形的面积和周长结合的综合问题．根据等腰直角三角形、正方形面积计算公式，利用等量代换思想，用代数式表示出面积，是解题的关键．
（1）根据图中图形的面积关系，得到④号正方形的面积和①号三角形的面积的关系，计算出④号正方形的面积和边长．
（2）根据图中边长的关系，用含的代数式表达图中平行四边形的周长和等腰梯形的周长，即可证明结论．
【详解】（1）解：∵③④⑤号图形的面积的和与①号三角形的面积相等，③⑤号三角形的面积和与④号正方形的面积相等，
∴④号正方形的面积①号三角形的面积，
∵①号三角形的面积为：，
∴④号正方形的面积，
∵④号正方形的面积，
∴边长；
（2）解：图中平行四边形的周长为：，
图中等腰梯形的周长为：，
∴小曙的发现是正确的，图中等腰直角三角形、平行四边形、等腰梯形的周长相等.
3．如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形纸片如图（2）．
(1)原小正方形的边长为______；
(2)如图3，把两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片，发现大正方形内部是一个小正方形，求小正方形的面积与边长．
【答案】(1)
(2)小正方形的面积为，边长为
【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、算术平方根的实际应用
（1）根据小正方形的面积是大正方形面积的一半可得小正方形的面积，即可解决问题；
（2）根据图形可得大正方形的边长为，用大正方形的面积减去2个长方形的面积，即可得出小正方形的面积，进而求得其边长．
【详解】（1）小正方形的面积是大正方形面积的一半，
小正方形的面积为，
设小正方形的边长为a，
则，
∴（舍去负值），
∴小正方形的边长为，
故答案为：．
（2）解：根据图形可得大正方形的边长为，
∴小正方形的面积为
∴小正方形的边长为．
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