苏科版八年级数学下册 8.3 -8.4三角形的中位线与梯形 试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 苏科版八年级数学下册 8.3 -8.4三角形的中位线与梯形 试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-22 00:00:00 | ||
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文档简介
8.3 -8.4三角形的中位线与梯形
一、单选题
1．如图，在矩形中，M为上一点，且，点P，Q分别为，的中点，连接．若，则四边形的周长为（ ）
A．24 B．12 C．17 D．22
2．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接．若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．如图，是等边三角形，、、分别是、、的中点，连接、、，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知矩形的对角线的长为20，那么顺次连接矩形的四边中点所得的四边形的周长为（ ）
A．40 B．10 C．20 D．5
5．如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若四边形的面积为，则四边形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，任意四边形中，E，F，G，H分别是上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）
A．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为菱形
B．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为矩形
C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形可以为平行四边形
D．当E，F，G，H是各边中点时，四边形可以不为平行四边形
7．若一个四边形有一组对边平行，且它关于经过这组对边中点的直线对称，则称这个四边形为“平称四边形”．已知四边形满足，下列条件不能满足四边形是“平称四边形”的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题中：①有两个内角相等的梯形是等腰梯形；②顺次连接矩形的各边中点所成四边形是菱形③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；④对角线互相平分且垂直的四边形是矩形．其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图四边形是一个等腰梯形，在边上作一个三角形，使四边形成为一个平行四边形，若，，则下面所给的量中可以求的是（ ）
A．的周长 B．的长
C．等腰梯形与周长的差 D．与的差
10．已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在 ABC中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________．
12．如图，在等腰梯形中，，，，等腰直角三角形中，含角的顶点放在边上移动，直角边始终经过点，斜边与交于点，若为等腰三角形，则的长为________．
13．如图，在矩形中，，为的中点，连接，为的中点，连接，，若为直角，则的长为___．
14.将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．
三、解答题
15．已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，．
(1)求证：梯形为等腰梯形；(2)当，，求四边形的面积．
16．如图，在中，，是边的中线，是的中点，连接并延长交于，过点作交于，连接
(1)求证：四边形是等腰梯形；(2)求证．
17．如图，在平面直角坐标中，已知直线：与直线相交于点，且直线与y轴交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)在x轴上取一点F，如果以C、P、O、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出点F的坐标．
18．如图，在梯形中，，∠B=90 ，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发．
(1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？
(2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？
(3)多少秒后，梯形是等腰梯形？
19．【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：
如图1，在四边形中，，，点P、Q分别为、的中点，求的长．
有两名同学思考良久之后，给出如下的解题思路：
如图2，小鹏同学思考的时候，发现有“两个中点P、Q”，于是想到了老师讲过的“中位线的构造技巧”的这个解题经验，建立图2的辅助线，连接，取的中点H，连接，，再通过“中位线的性质”将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决；
如图3，小亮同学思考的时候，发现题中有“”，于是就想把这两个角合到一起，于是就利用“中线倍长的构造技巧”的这个解题经验，建立图3的辅助线，连接并延长，使，再连接，，再通过“倍长中线”后的性质，将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决；
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的关系去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：
如图4，在 ABC中，，点D为 ABC内一点，连接，，延长到点E，使，连接使，探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【学以致用】（3）如图5，在 ABC中，，，点D为中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接．若，请求出的长．
20．【知识回顾】 ABC是等边三角形，于点，是射线上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，．
（1）如图，当时， ；
（2）如图，点在线段的延长线上，连接，当点在线段上，时，求的长；
【变式应用】（3）如图，在 ABC中，，，点是的中点，点在线段上，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接并延长交于点，求证：．
21．【观察与发现】如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形．同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着对边中点所连的两条线段剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，可以得到，新四边形是平行四边形．
【类比与探究】（1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形．
图3是将 ABC剪开拼成矩形的一种方法．
依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为______；与的位置关系为______．
（2）尝试用另一种方法将 ABC剪开拼成与其面积相等的矩形．
要求：请仿照图3，在图4的第一张图中用虚线画出剪切线，在第二张图中画出拼成的简图．
简单说明剪切线满足的条件：______．
【实践与应用】（3）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形只画图，不需文字说明
22．综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成．
图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状
图1 既不相等，也不垂直 平行四边形
图2 ，但与不垂直
图3 ，
图4 ，
(1)作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图2、图3、图4中四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可）：
(2)观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定，请填写表格：
(3)证明与表达：根据上表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明）选择图______，已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，______．求证：四边形是______．
参考答案
一、单选题
1．D
解：∵四边形为矩形，∴，
∵点P，Q分别为，的中点，∴，，
∵，∴，由勾股定理得，∴，
∴四边形的周长为．
2．B
解：在矩形中，，，
，，即点F是边的中点，
点是边的中点，为的中位线，．故选：B．
3．B
解：是等边三角形，是的中点，是的中线，根据等边三角形三线合一性质，则是的高，，故选项正确；
、分别是、的中点，，，，故选项错误；
、分别是、的中点，根据三角形中位线定理，是的中位线，，故选项正确；
、分别是、的中点，根据三角形中位线定理，是的中位线，，故选项正确；故选：．
4．A
解：如图，∵矩形的对角线相等，∴，
∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
∴，，
∴顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为．故选：A．
5．A
解：点，分别为边，的中点，是的中位线，
，且，同理可证，，且，
，且，四边形为平行四边形，
点，分别为边，的中点，是的中位线，，
，，四边形为矩形，
∵S四边形ABCD= AC BD=60，，
．故选：A．
6．D
解：如图，连接，
若E，F，G，H分别是上的点，
∴，∴，
∴四边形为平行四边形，故D选项错误，符合题意；
当时，∴四边形为菱形，故A选项正确，不符合题意；
当时，，∴四边形为矩形，故B选项正确，不符合题意；
若E，F，G，H不是各边中点，
当时，四边形为平行四边形，故C选项正确，不符合题意；故选：D
7．A
由题意知，四边形满足，
当时，四边形是平行四边形或等腰梯形，当四边形是平行四边形不满足四边形是“平称四边形”，故A选项符合题意；
当时，四边形是矩形，满足四边形是“平称四边形”，故B选项不符合题意；
当时，四边形是菱形或等腰梯形，满足四边形是“平称四边形”，故C选项不符合题意；
当时，四边形是矩形或等腰梯形，满足四边形是“平称四边形”，故D选项不符合题意．故选：A．
8．B
解：①有两个内角相等的梯形不一定是等腰梯形，故为假命题；
②顺次连接矩形的各边中点所成四边形是菱形，故为真命题；
③两条对角线相等的梯形是等腰梯形，是真命题；
④对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故是假命题．∴真命题的有2个，故选：B．
9．A
解：四边形是平行四边形，
，（平行四边形的对边平行且相等），（平行四边形的对角相等），
，四边形是一个等腰梯形，，，，
，的周长为BE+AB+AE=6+6+4=16（cm），
无法求出边上的高、等腰梯形与周长的差、与的差，故选：．
10．A
解：如图，由题意易得，，
，，根据勾股定理可得，
根据三角形的面积可求得上的高为，
又∵，，，，
则此梯形的面积等于．故选：A．
二、填空题
11．
解：如图，延长交于点，
平分，,，
在和中，,，
，，,
为的中点，，是的中位线，．
12．4或或2．
解：①如图1，当时，过点D作于点G，
等腰梯形中，，，，，，
，，四边形是矩形，，，
，，
在和中，，，，
，，
，在中，，
，，，
，，是等腰直角三角形，，
在中，，；
②如图2，当时， ，
等腰梯形中，，，，
，，
，，，
，，；
③如图3，当时， 等腰梯形中，，
，，，
，在中，，
，，
，是等腰直角三角形，，
在中，；综上所述，CF的长为3或5﹣4或2．
故答案为：4或或2．
13．
解：如图：连接，过点作于点，并延长，交于点，
∵四边形是矩形，，
∴，，，，
∴，∴四边形是矩形，
∵点为的中点，∴，∴，∴，，
∵，∴，∵点为的中点，
∴，∴，∴，∴，故答案为：．
14．3
解：如图，取四边的中点，依次连接起来，设与交点M，
∴是的中位线，，，
同理， ，，，
，， 四边形是菱形，
，，，
，，为等边三角形，
， 较短的“中对线”长度为．故答案为：．
三、解答题
15．（1）证明：∵，∴，
∵平分，∴∴，
∵，∴，∴梯形为等腰梯形；
（2）解：如图，过点作于，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴四边形为平行四边形，∴，
∵，，∴，∴，
∴，∴，
由勾股定理得，
∴，则．
16．（1）证明：，是的中点，，，
，，，
，，，四边形是等腰梯形．
（2）证明：如图，延长到，使，交于，连接，
∵是边的中线，，∴，∴，
∵四边形是等腰梯形，∴，，
∴，∴，即，
∵，∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∴．
17．（1）解：∵直线经过点，∴，解得，∴，
设直线的表达式为，把点、分别代入，得，
解得，∴直线的表达式为；
（2）解：作轴，垂足为H，
∵点、、，∴
∴；
（3）解：、.
∵以C、P、O、F为顶点的四边形是梯形，∴四边形中有一组对边平行，
①当时，∵，∴；
②当时，设直线的解析式为，
∵，∴，∴直线的解析式为，
∴设直线的解析式为，将代入，得，∴直线的解析式为，
当时，，解得，∴；
综上，符合条件的点F有两个：、．
18．（1）解：根据题意得：，，则．
∵，即，∴当时，四边形为平行四边形，
即，解得：，即当运动6秒时，四边形为平行四边形；
（2）解：当时，四边形是直角梯形，
∴，∴，即当运动秒时，四边形是直角梯形．
（3）解：过D作于E，则四边形为矩形，
∴，∴，
当时，四边形为等腰梯形，如图所示：
过点P作于点F， 则四边形是矩形，∴，，
在和中，，∴，
∴，∴，即，解得：，
即当运动7秒时，四边形为等腰梯形．
19．（1）解：小鹏的做法：连接，取的中点H，连接，，
点P、Q分别为、的中点， ，，，，
，，，
，
小亮的做法：连接并延长，使，再连接，，
点P、Q分别为、的中点，，，，
，，，
点P、Q分别为、的中点，；
（2）解：，理由如下：如图，延长到T，使得，连接，
，，，，，
，，，，
∴∠ACB=90 ,AC=CT，是的垂直平分线，，；
（3）解：如图，延长到T，使得，连接，延长交于点J，
∵点D为中点， ∴DF=DT,∠ADF=∠BDT，
，，，
，，，
，，，
，，，
，，
，∴ FJT是等腰直角三角形，，．
20．（1）解：∵ ABC是等边三角形，∴，，
又∵将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，∴，，
∵，，∴，
∵在和中，，∴，∴，
∵，∴，故答案为：．
（2）解：∵将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，
∴，，∴ APE是等边三角形，，
∵， ABC是等边三角形，∴，，
∵，，∴，
∵在和中，，∴，∴，
∵点在线段上，∴，
设，则，∴，
∵，∴，解得：，∴，
∵，，∴，
∴在中，；
（3）证明：如图，在上截取，连接，
∵，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，
∴，，∴，，∴，∵在和中，，∴，
∴，，∴，∴，
∴是等边三角形，∴，∵，，∴，
∵，是等边三角形，∴，∵点是的中点，
∴，∴，即，
又∵点是的中点，∴，∴，而，∴．
21．解：（1）如图，根据剪切和拼接操作方法可知，，，
，，为 ABC的中位线．，
又四边形是矩形．，，
和的位置关系为，故答案为：；；
（2）如图，D、E分别为的中点，，，再由可推出，，沿和从 ABC剪下和，然后拼接在和处．
故答案为：D、E分别为的中点，，；
（3）第一种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，，，沿虚线和剪开四边形，把、、和分别拼接到①、②、③和④处即可．
第二种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，，，沿虚线和剪开四边形形成四个四边形①、②、③和④，再如图中所示拼接即可．
22．（1）解：如图所示：
（2）解：当，但与不垂直时，四边形为菱形；
当，时，四边形为矩形；
当，时，四边形为正方形；
图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状
图1 既不相等，也不垂直 平行四边形
图2 ，但与不垂直 菱形
图3 ， 矩形
图4 ， 正方形
（3）解：选择图2；
已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，， 求证：四边形是菱形；
∵E，F，G，H是四边的中点，∴，，，，
∴，，
∵，∴，∴四边形为菱形；
选择图3；已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，， 求证：四边形是矩形；
∵E，F，G，H是四边的中点，∴，，，， ，，
∴，，∴四边形为平行四边形，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴四边形为矩形；
选择图4；已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，， ，
求证：四边形是正方形；
∵E，F，G，H是四边的中点，∴，，，，，，
∴，，∵，∴，∴四边形为菱形；
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴四边形为正方形．
一、单选题
1．如图，在矩形中，M为上一点，且，点P，Q分别为，的中点，连接．若，则四边形的周长为（ ）
A．24 B．12 C．17 D．22
2．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接．若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．如图，是等边三角形，、、分别是、、的中点，连接、、，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知矩形的对角线的长为20，那么顺次连接矩形的四边中点所得的四边形的周长为（ ）
A．40 B．10 C．20 D．5
5．如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若四边形的面积为，则四边形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，任意四边形中，E，F，G，H分别是上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）
A．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为菱形
B．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为矩形
C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形可以为平行四边形
D．当E，F，G，H是各边中点时，四边形可以不为平行四边形
7．若一个四边形有一组对边平行，且它关于经过这组对边中点的直线对称，则称这个四边形为“平称四边形”．已知四边形满足，下列条件不能满足四边形是“平称四边形”的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题中：①有两个内角相等的梯形是等腰梯形；②顺次连接矩形的各边中点所成四边形是菱形③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；④对角线互相平分且垂直的四边形是矩形．其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图四边形是一个等腰梯形，在边上作一个三角形，使四边形成为一个平行四边形，若，，则下面所给的量中可以求的是（ ）
A．的周长 B．的长
C．等腰梯形与周长的差 D．与的差
10．已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在 ABC中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________．
12．如图，在等腰梯形中，，，，等腰直角三角形中，含角的顶点放在边上移动，直角边始终经过点，斜边与交于点，若为等腰三角形，则的长为________．
13．如图，在矩形中，，为的中点，连接，为的中点，连接，，若为直角，则的长为___．
14.将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．
三、解答题
15．已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，．
(1)求证：梯形为等腰梯形；(2)当，，求四边形的面积．
16．如图，在中，，是边的中线，是的中点，连接并延长交于，过点作交于，连接
(1)求证：四边形是等腰梯形；(2)求证．
17．如图，在平面直角坐标中，已知直线：与直线相交于点，且直线与y轴交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)在x轴上取一点F，如果以C、P、O、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出点F的坐标．
18．如图，在梯形中，，∠B=90 ，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发．
(1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？
(2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？
(3)多少秒后，梯形是等腰梯形？
19．【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：
如图1，在四边形中，，，点P、Q分别为、的中点，求的长．
有两名同学思考良久之后，给出如下的解题思路：
如图2，小鹏同学思考的时候，发现有“两个中点P、Q”，于是想到了老师讲过的“中位线的构造技巧”的这个解题经验，建立图2的辅助线，连接，取的中点H，连接，，再通过“中位线的性质”将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决；
如图3，小亮同学思考的时候，发现题中有“”，于是就想把这两个角合到一起，于是就利用“中线倍长的构造技巧”的这个解题经验，建立图3的辅助线，连接并延长，使，再连接，，再通过“倍长中线”后的性质，将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决；
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的关系去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：
如图4，在 ABC中，，点D为 ABC内一点，连接，，延长到点E，使，连接使，探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【学以致用】（3）如图5，在 ABC中，，，点D为中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接．若，请求出的长．
20．【知识回顾】 ABC是等边三角形，于点，是射线上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，．
（1）如图，当时， ；
（2）如图，点在线段的延长线上，连接，当点在线段上，时，求的长；
【变式应用】（3）如图，在 ABC中，，，点是的中点，点在线段上，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接并延长交于点，求证：．
21．【观察与发现】如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形．同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着对边中点所连的两条线段剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，可以得到，新四边形是平行四边形．
【类比与探究】（1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形．
图3是将 ABC剪开拼成矩形的一种方法．
依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为______；与的位置关系为______．
（2）尝试用另一种方法将 ABC剪开拼成与其面积相等的矩形．
要求：请仿照图3，在图4的第一张图中用虚线画出剪切线，在第二张图中画出拼成的简图．
简单说明剪切线满足的条件：______．
【实践与应用】（3）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形只画图，不需文字说明
22．综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成．
图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状
图1 既不相等，也不垂直 平行四边形
图2 ，但与不垂直
图3 ，
图4 ，
(1)作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图2、图3、图4中四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可）：
(2)观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定，请填写表格：
(3)证明与表达：根据上表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明）选择图______，已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，______．求证：四边形是______．
参考答案
一、单选题
1．D
解：∵四边形为矩形，∴，
∵点P，Q分别为，的中点，∴，，
∵，∴，由勾股定理得，∴，
∴四边形的周长为．
2．B
解：在矩形中，，，
，，即点F是边的中点，
点是边的中点，为的中位线，．故选：B．
3．B
解：是等边三角形，是的中点，是的中线，根据等边三角形三线合一性质，则是的高，，故选项正确；
、分别是、的中点，，，，故选项错误；
、分别是、的中点，根据三角形中位线定理，是的中位线，，故选项正确；
、分别是、的中点，根据三角形中位线定理，是的中位线，，故选项正确；故选：．
4．A
解：如图，∵矩形的对角线相等，∴，
∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
∴，，
∴顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为．故选：A．
5．A
解：点，分别为边，的中点，是的中位线，
，且，同理可证，，且，
，且，四边形为平行四边形，
点，分别为边，的中点，是的中位线，，
，，四边形为矩形，
∵S四边形ABCD= AC BD=60，，
．故选：A．
6．D
解：如图，连接，
若E，F，G，H分别是上的点，
∴，∴，
∴四边形为平行四边形，故D选项错误，符合题意；
当时，∴四边形为菱形，故A选项正确，不符合题意；
当时，，∴四边形为矩形，故B选项正确，不符合题意；
若E，F，G，H不是各边中点，
当时，四边形为平行四边形，故C选项正确，不符合题意；故选：D
7．A
由题意知，四边形满足，
当时，四边形是平行四边形或等腰梯形，当四边形是平行四边形不满足四边形是“平称四边形”，故A选项符合题意；
当时，四边形是矩形，满足四边形是“平称四边形”，故B选项不符合题意；
当时，四边形是菱形或等腰梯形，满足四边形是“平称四边形”，故C选项不符合题意；
当时，四边形是矩形或等腰梯形，满足四边形是“平称四边形”，故D选项不符合题意．故选：A．
8．B
解：①有两个内角相等的梯形不一定是等腰梯形，故为假命题；
②顺次连接矩形的各边中点所成四边形是菱形，故为真命题；
③两条对角线相等的梯形是等腰梯形，是真命题；
④对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故是假命题．∴真命题的有2个，故选：B．
9．A
解：四边形是平行四边形，
，（平行四边形的对边平行且相等），（平行四边形的对角相等），
，四边形是一个等腰梯形，，，，
，的周长为BE+AB+AE=6+6+4=16（cm），
无法求出边上的高、等腰梯形与周长的差、与的差，故选：．
10．A
解：如图，由题意易得，，
，，根据勾股定理可得，
根据三角形的面积可求得上的高为，
又∵，，，，
则此梯形的面积等于．故选：A．
二、填空题
11．
解：如图，延长交于点，
平分，,，
在和中，,，
，，,
为的中点，，是的中位线，．
12．4或或2．
解：①如图1，当时，过点D作于点G，
等腰梯形中，，，，，，
，，四边形是矩形，，，
，，
在和中，，，，
，，
，在中，，
，，，
，，是等腰直角三角形，，
在中，，；
②如图2，当时， ，
等腰梯形中，，，，
，，
，，，
，，；
③如图3，当时， 等腰梯形中，，
，，，
，在中，，
，，
，是等腰直角三角形，，
在中，；综上所述，CF的长为3或5﹣4或2．
故答案为：4或或2．
13．
解：如图：连接，过点作于点，并延长，交于点，
∵四边形是矩形，，
∴，，，，
∴，∴四边形是矩形，
∵点为的中点，∴，∴，∴，，
∵，∴，∵点为的中点，
∴，∴，∴，∴，故答案为：．
14．3
解：如图，取四边的中点，依次连接起来，设与交点M，
∴是的中位线，，，
同理， ，，，
，， 四边形是菱形，
，，，
，，为等边三角形，
， 较短的“中对线”长度为．故答案为：．
三、解答题
15．（1）证明：∵，∴，
∵平分，∴∴，
∵，∴，∴梯形为等腰梯形；
（2）解：如图，过点作于，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴四边形为平行四边形，∴，
∵，，∴，∴，
∴，∴，
由勾股定理得，
∴，则．
16．（1）证明：，是的中点，，，
，，，
，，，四边形是等腰梯形．
（2）证明：如图，延长到，使，交于，连接，
∵是边的中线，，∴，∴，
∵四边形是等腰梯形，∴，，
∴，∴，即，
∵，∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∴．
17．（1）解：∵直线经过点，∴，解得，∴，
设直线的表达式为，把点、分别代入，得，
解得，∴直线的表达式为；
（2）解：作轴，垂足为H，
∵点、、，∴
∴；
（3）解：、.
∵以C、P、O、F为顶点的四边形是梯形，∴四边形中有一组对边平行，
①当时，∵，∴；
②当时，设直线的解析式为，
∵，∴，∴直线的解析式为，
∴设直线的解析式为，将代入，得，∴直线的解析式为，
当时，，解得，∴；
综上，符合条件的点F有两个：、．
18．（1）解：根据题意得：，，则．
∵，即，∴当时，四边形为平行四边形，
即，解得：，即当运动6秒时，四边形为平行四边形；
（2）解：当时，四边形是直角梯形，
∴，∴，即当运动秒时，四边形是直角梯形．
（3）解：过D作于E，则四边形为矩形，
∴，∴，
当时，四边形为等腰梯形，如图所示：
过点P作于点F， 则四边形是矩形，∴，，
在和中，，∴，
∴，∴，即，解得：，
即当运动7秒时，四边形为等腰梯形．
19．（1）解：小鹏的做法：连接，取的中点H，连接，，
点P、Q分别为、的中点， ，，，，
，，，
，
小亮的做法：连接并延长，使，再连接，，
点P、Q分别为、的中点，，，，
，，，
点P、Q分别为、的中点，；
（2）解：，理由如下：如图，延长到T，使得，连接，
，，，，，
，，，，
∴∠ACB=90 ,AC=CT，是的垂直平分线，，；
（3）解：如图，延长到T，使得，连接，延长交于点J，
∵点D为中点， ∴DF=DT,∠ADF=∠BDT，
，，，
，，，
，，，
，，，
，，
，∴ FJT是等腰直角三角形，，．
20．（1）解：∵ ABC是等边三角形，∴，，
又∵将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，∴，，
∵，，∴，
∵在和中，，∴，∴，
∵，∴，故答案为：．
（2）解：∵将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，
∴，，∴ APE是等边三角形，，
∵， ABC是等边三角形，∴，，
∵，，∴，
∵在和中，，∴，∴，
∵点在线段上，∴，
设，则，∴，
∵，∴，解得：，∴，
∵，，∴，
∴在中，；
（3）证明：如图，在上截取，连接，
∵，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，
∴，，∴，，∴，∵在和中，，∴，
∴，，∴，∴，
∴是等边三角形，∴，∵，，∴，
∵，是等边三角形，∴，∵点是的中点，
∴，∴，即，
又∵点是的中点，∴，∴，而，∴．
21．解：（1）如图，根据剪切和拼接操作方法可知，，，
，，为 ABC的中位线．，
又四边形是矩形．，，
和的位置关系为，故答案为：；；
（2）如图，D、E分别为的中点，，，再由可推出，，沿和从 ABC剪下和，然后拼接在和处．
故答案为：D、E分别为的中点，，；
（3）第一种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，，，沿虚线和剪开四边形，把、、和分别拼接到①、②、③和④处即可．
第二种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，，，沿虚线和剪开四边形形成四个四边形①、②、③和④，再如图中所示拼接即可．
22．（1）解：如图所示：
（2）解：当，但与不垂直时，四边形为菱形；
当，时，四边形为矩形；
当，时，四边形为正方形；
图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状
图1 既不相等，也不垂直 平行四边形
图2 ，但与不垂直 菱形
图3 ， 矩形
图4 ， 正方形
（3）解：选择图2；
已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，， 求证：四边形是菱形；
∵E，F，G，H是四边的中点，∴，，，，
∴，，
∵，∴，∴四边形为菱形；
选择图3；已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，， 求证：四边形是矩形；
∵E，F，G，H是四边的中点，∴，，，， ，，
∴，，∴四边形为平行四边形，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴四边形为矩形；
选择图4；已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，， ，
求证：四边形是正方形；
∵E，F，G，H是四边的中点，∴，，，，，，
∴，，∵，∴，∴四边形为菱形；
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴四边形为正方形．
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