苏科版八年级数学下册 第8章 四边形 章节检测卷（含答案）

第8章《四边形》章节检测卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（ ）
A．9 B． C． D．
2．下列命题中，真命题是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且一组邻角相等的四边形是等腰梯形
3．在《特殊平行四边形》回顾与思考课上，李芳整理的本章知识结构图如图，同桌张丽在①②③④处添加了条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．①处可填 B．②处可填
C．③处可填 D．④处可填
4．若的对角线，交于点，以下结论错误的是（ ）
A． B．一定是中心对称图形
C．若，则 D．不可能是轴对称图形
5．如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，对角线，交于点O，，，分别作，，则四边形的周长为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．7
7．如图，在矩形中，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．1
9．如图，在边长为8的菱形中，为锐角，E是边上一点，过点E作与边交于点F，与边交于点G，且，连接．若，菱形的面积为48，则的长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
10．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择______(限填序号)．
12．如图，梯形中，，，，，则______．
13．如图，的周长为，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交边于点，连接，则的周长为______．
14．如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接、．若，则线段的长为____________．
15．如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点E，连接，若，，，则的长为 ．
16．如图，菱形的对角线，相交于点，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为_____．
17．如图所示，以的斜边为边，在 ABC的同侧作正方形交于点，连接．若，，则__________．
18．如图，在边长为的正方形中，是的中点，分别是边上的动点，且交于点，则的最小值为______．
三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，）
19．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系， ABC的顶点均在格点上，已知 ABC三个顶点的坐标分别为、、．
(1)画出 ABC关于原点对称的；
(2)画出以点为旋转中心，将 ABC按逆时针方向旋转后得到的；
(3)在格点上，以，，，为顶点作平行四边形，则点的坐标是______．
20．如图，在矩形中，对角线的中点为，点，在对角线上，，直线绕点逆时针旋转角，与边、分别相交于点、（点不与点、重合）．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
21．如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
22．已知：如图，在梯形中，，，点E在的延长线上，．
(1)求证：；
(2)当平分时，求证：是等腰直角三角形．
23．已知，在中，点在边上，过点作于点，点在边上，在边上，且是等边三角形，连接，．
(1)如图，若，，，求的长；
(2)如图，若平分，，且，求证：．
24．情境：图1是由一个边长为4的等边三角形纸片沿一条中位线去掉一个等边三角形后得到的“完美梯形”纸片．将该纸片通过裁剪，可拼接为新的等边三角形（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）．
操作：嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪拼成了图2的等边三角形．嘉嘉沿虚线、、裁剪三刀，将纸片剪成①-④四块，再将①、③、④移动到新的位置进行拼接．根据嘉嘉的拼接过程解答下列问题：（1）的度数为 ， ；
（2）直接写出图2中三条裁剪线、、的数量关系，并计算等边三角形的边长；
探究：（3）淇淇说：“将图1所示纸片沿过四边形顶点的直线裁剪，只剪两刀，分成三块，就可以拼成新的等边三角形”，请你按照淇淇的说法设计一种方案，在图3所示的纸片中画出两条裁剪线的位置（可以借助刻度尺、三角尺或圆规），并直接写出较长的裁剪线的长（若两条裁剪线长度相等，写出其长度即可）．
25．问题解决：如图1在矩形中，点E，F分别在边上，于点G．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)延长到点H，使得，判断的形状，并说明理由．
(3)类比迁移：如图2；在菱形中，点E，F分别在边上，与相交于点G，，求的长．
26．在中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，分别过点E，F作，．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，当点E是的中点时，连接．若，求的长；
(3)如图3，当是矩形时，连接，交于点O，连接．若，，求的长．
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵四边形为菱形，∴，
∵四边形为矩形，∴，，，
设，则在中，∴
∵，即，∴，即．
∴，∴菱形的面积为，故选：C
2．B
解：A. 两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题是假命题，故该选项不符合题意；
B. 顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形，故原命题是真命题，故该选项符合题意；
C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题是假命题，故该选项不符合题意；
D. 一组对边平行且一组邻角相等的四边形不一定是等腰梯形，也可能是直角梯形还可能是矩形，故原命题是假命题，故该选项不符合题意；故选：B．
3．C
A项：一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴①处可填是正确的，故该选项不符合题意；
B项：有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴②处可填是正确的，故该选项不符合题意；
C项：有一个角是直角的菱形是正方形，∴无法判定两角是否为直角，故该选项符合题意；
D项：一组邻边相等的矩形是正方形，∴④处可填是正确的，故该选项不符合题意，故选：C．
4．D
解：∵四边形是平行四边形，
∴（平行四边形对角相等），故A正确，不符合题意；
∵平行四边形都是中心对称图形，对称中心为对角线交点，故B正确，不符合题意；
∵，且平行四边形对角线互相平分，即，∴
∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
∴（菱形的邻边相等），故C正确，不符合题意；
∵当平行四边形是菱形或矩形时，它是轴对称图形，故D错误，符合题意；故选：D．
5．B
解：通过尺规作图可得，，
∴四边形为菱形，
，，故选：B．
6．B
解：∵在中，对角线，交于点，，，
∴，，
∵，∴四边形是平行四边形，∴，
∴四边形的周长，故选：B．
7．D
解：∵矩形，∴，，，
∵O为中点，∴，故选项A、B、C正确，不符合题意；
无法得出，故选项D错误，符合题意；故选：D．
8．C
解：如图，过点作，，和的交点为，和的交点为，
，四边形和是正方形，
，，，四边形是矩形，
，，，，，，
四边形是正方形，，，
，即，
又，，，，
两个正方形重叠部分的面积，故选：C．
9．C
解：如图，延长交的延长线于M，过点E作于H，于N，
∵菱形的面积为48，，∴，∴，
∵，，，∴，，，
∴，∴，∴，
∵是菱形，∴，∴，
又∵，∴，∴，
∵， ， ，∴四边形是矩形，
∴，，∴，∴，故选：C
10．B
连接，∵两个全等的等腰和等腰有公共斜边，

∴， ，∴四边形为正方形，
∵正方形的面积为，∴正方形的边长为，∵为等边三角形，∴，
∵四边形为正方形，∴与关于对称，
∴，∴，∴有最小值为，故选： B．
二、填空题
11．②
解：条件①③是菱形的性质，则添加条件①③时，不能使四边形是正方形，
添加条件②时，根据对角线相等的菱形是正方形，能使四边形是正方形，故答案为：②．
12．11
解：作交于点E，则，
∵，∴四边形是平行四边形，，
∵，∴，，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴；故答案为：11．
13．
解：的周长为，，由作图可知垂直平分线段，
，的周长，故答案为：．
14．
，是等腰直角三角形，
如图，作点关于直线的对称点，则点在直线上，连接，，
，，此时、、三点共线且，，
，在的中点处，，．
15．
解：根据作法可知，平分，，
四边形为平行四边形，， ，，
，，，，
在中，，，，，为直角三角形，，
，，在中，，故答案为：
16．24
解：菱形的对角线，相交于点，、，
，，四边形是平行四边形，
∵∠AOB=90 ，四边形是矩形，，
在中，，，
，故答案为：24．
17．
解：如图所示，过点作，交于点，∴，
∵四边形为正方形，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，由勾股定理得，
∴，由勾股定理得，故答案为：．
18．
解：如图，过作于点，将正方形沿翻折，得到正方形，连接，过点作交于点，∴，
∵四边形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，，，∴，，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∵是的中点，∴，∴，∴，
∵，∴要使有最小值，则有最小值，则当三点共线时，为线段的长，如图，∵，
∴，∴的最小值为．
三、解答题
19．（1）解：如图，即为所求：
（2）解：如图，即为所求：
（3）解：由题意可得，点的位置如下图：
∴点的坐标为：，，．
20．（1）证明：在矩形中，对角线的中点为，，
，，即，
四边形是矩形，，，，，
，，，，
，四边形是平行四边形；
（2）解：如图，连接，，，
，是的垂直平分线，，
四边形是矩形，，，
在中，，，．
21．（1）证明：∵的中点为E，∴，
∵，∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，对角线与相交于点O，
∴，∴，∴四边形是矩形．
（2）解：∵，，∴，，
∴，∴6，
∴，∴，∴菱形的面积为96．
22．（1）证明：连接，
∵梯形，，∴，．
又∵，，∴．∴．
∵，∴．
∴，∴．
（2）证明：∵平分，∴．
∵，∴，∵梯形，，，
∴．∴．
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴是等腰直角三角形．
23．（1）解：∵，四边形是平行四边形，∴．
∵，∴．∵是等边三角形，∴．
∵，设，那么．在中，根据勾股定理可知，即
．解得 或（舍去）．∴．
（2）证明：过点作交于点，交于点，过点作交于点．
∵，∴．∴．
∵，∴．∵，∴．
∵是等边三角形，∴，．
∴．∴．
∵，∴．∵，∴．∴．∴．
∵，∴．∴．∴．
∴．∴ ．∵，，∴．∴．
∵，，∴，，．
∴．∴．∴．∵平分，∴，∴．
在中，．∵，∴．
∵，，，∴．∴．
∵，且，，，∴．
24．解：（1）由题意得：，∵，∴．∴
∵，∴∴．故答案为：；．
（2）三条裁剪线、、的数量关系为．
由题意得：，，，，
∵，∴．∵，∴，∴．
连接，如图，∵，∴，
在和中，，∴，∴．∴．
∵，∴，∴等边三角形的边长为；
（3）1．连接，2．过点A作于点E，
则，将纸片沿过四边形顶点A的直线裁剪，分成三块，将绕着点C旋转得到，将绕着点E旋转得到，可以拼成新的等边三角形，如图，
则，为所画出两条裁剪线．∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
∴，∴，∴较长的裁剪线的长为．
25．（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
又∵四边形是矩形，∴四边形是正方形；
（2）解：是等腰三角形，理由如下，∵四边形是正方形，
∴，
∵，∴，∴，由（1）得到，
∴，∴是等腰三角形；
（3）解：如图所示，延长到点H，使得，连接，
∵四边形是菱形，∴，，∴，
在与中， ，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，∴．
26．（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，
∵四边形是平行四边形，∴，，，，
∵平分，，，
，∴平行四边形是菱形．
（2）解：由（1）可知，四边形是菱形，，
∵点E是的中点，．
（3）解：如图3，过点O作于点N．
∵四边形是矩形，∠ADC=∠BCD=90 ，，
，∴菱形为正方形，，，，
，是等腰直角三角形，，，
，，，，
，在中，由勾股定理得：．