苏科版八年级数学下册 第八章 四边形 章节检测卷（含答案）

第八章《四边形》章节检测卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列命题中正确的是（ ）
A．四边都相等的四边形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形
2．如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（ ）
A． B． C．5 D．以上都不对
3．已知矩形中，，矩形的周长为12，取的中点为坐标原点，与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点的坐标为(　　)
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，以点B为圆心，一定长度为半径画弧，分别交于点E和点F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点G，射线恰好经过顶点D．则下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作对角线，的平行线，两两相交于点M，N，P，Q，则四边形的面积为（ ）
A． B．4 C． D．8
6.如图，在中，、的平分线分别与相交于点E、F，相交于点G．若，，，则（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
7．如图1，四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿路线A-B-C-D运动.设点的运动时间为，的面积为，当运动到的中点时，的面积为（　　）

A． B． C． D．
8．如图，在正方形中，点在上，连接，作于点，交于点，作于点，交于点．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（ ）
A． B． C．10 D．
10.如图，在菱形中，，点E，F分别是边上任意点（不与端点重合），且，连接相交于点G，连接与相交于点H，下列结论：①；②的大小为定值；③与一定不垂直；④若，则，其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①②④ C．③④ D．①③④
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，在 ABC中，是边的中点，过点作直线，交的平分线于点，交 ABC的外角平分线于点，连接，．当__________时，四边形是正方形．
12．如图，在等腰梯形中，，，点P是上一点，，，，若，，则＝______．

13．如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点，如果且，则 ．
14．如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为 ．
15．如图，四边形中，，，四边形的面积是81，若，则________．
16．如图，四边形是边长为2的菱形，，将菱形绕点A逆时针旋转，使点B的对应点落在对角线上，交于点E，则四边形的面积等于 ．
17．如图，在正方形中，，对角线相交于点O，过点O作射线分别交边于点E、F，且，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④若的中点为K，则的最小值为2．上述结论中，所有正确的序号是________．
18．如图，在矩形中，，，把边沿对角线平移，点分别对应点、B．给出下列结论：①顺次连接点的图形一定是平行四边形；
②点到它关于直线的对称点的距离为；③的最大值为；④的最小值为．其中正确结论的序号是______．
三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分）
19．如图，点P是矩形的边的延长线上一点，连接，过点B作于点E．过点D作于点F，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，，求的长．
20．【问题探究】（1）如图1，在中，和的平分线，交于边上的点．求证：为的中点；
【问题解决】（2）如图2，是一个形状为平行四边形的社区公园，点是上一点，连接、，沿和修建景观步道，平分，平分，为花卉区，是休憩草坪区，为健身活动区．为方便游客，在中点设休息驿站，并修建一条连接驿站与大门的观景小道，与交于点，规划师需确定与的数量关系，请你帮忙解答并说明理由．
21．如图，在梯形中，，点E在边上，，的延长线与的延长线相交于点F．
(1)求证：；
(2)当点E为中点时，求的长；
(3)设，试用x的代数式表示y．
22．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．(1)菱形的中点四边形的形状是_______；(2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明．(3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，则_____．
23．如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点．(1)求证：；(2)求证：；(3)过A作于P点，连接，则的值．
24．在边长为的正方形纸片中，点在边上，连接，将沿折叠，得到．
(1)如图1，若点落在对角线上，求的长；
(2)如图2，若的延长线与相交于点，猜想，，的数量关系，并证明；
(3)如图3，点是的中点，连接，当的长最短时，求的长．
25．综合与实践
问题情境：平行四边形是中心对称图形，在研究其部分性质时围绕其中心对称性展开，如图：平行四边形中，点是对角线的中点，过点的直线交边，所在的直线于点，．已知，．
猜想验证：（1）如图1，旋转直线，当时，连接，求证：四边形为矩形．
（2）如图2，当时，猜想线段，和的数量关系，并说明理由．
深入探究：（3）当点，在，延长线上时，交，于点，，连接，，此时四边形为正方形．请直接写出的长度．
26．在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：
【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则__________
【解决问题】：（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，．
①如图2，当时，求证：平分，写出证明过程；
②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则__________；
【迁移应用】：（3）如图4，正方形的边长为是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，则__________；
（4）如图5，在菱形中，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，求的长并说明理由．
参考答案
一、选择题
1．B
解：A、四边都相等的四边形是菱形，不一定是正方形，原说法错误，不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，符合题意；
C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，不符合题意；
D、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，原说法错误，不符合题意；
故选；B．
2．A
解：∵菱形的对角线交于点O，∴，，
∴，
∵是菱形的高，∴，即：，∴．
3．B
解：如图，连接，
∵矩形中，，矩形的周长为12，
∴，∴，，
∵的中点为坐标原点，∴，∴，
∴，∴四边形是正方形，
∵将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点逆时针旋转后与点重合，将绕着点逆时针旋转得到，
又∵，∴，∴点的坐标为，故选：B．
4．D
解：由作法知，是的平分线，∴；
∵四边形为平行四边形，∴，∴，
∴，∴，即四边形为菱形，∴，
但不一定成立，即选项A、B、C正确，故选：D．
5．C
解：连接，，与相交于点，如图所示：

，，四边形、、、是平行四边形，
四边形是菱形，，，，∴，
∵四边形是平行四边形，∴四边形是矩形，∴，
∵四边形为平行四边形，∴四边形为矩形，
，，，
，，，
，，，四边形的面积为：．
6.D
解：∵平分，∴，
∵，，，∴,
∴，∴，∴，同理可证，，
∴，∴，解得，
∵，∴，∴，∴，
过点E作，交的延长线于点P，∴，四边形是平行四边形，
∴，∴，故选：D．
7．A
解：四边形中，，，∴，
∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度，当点从运动到处需要秒，则，
根据图像：当时，点运动到点，的面积为，∴，∴，
根据图像：当点运动到点时，面积为，∴，∴，
∴，∴四边形是梯形，又∵，∴四边形是直角梯形，
∵，点的速度是每秒个单位长度，∴运动时间为秒，∴，
设当时，函数解析式为，
∴，解得：，∴当时，函数解析式为，
如图，过点作于点，∴，
∴，∴四边形是矩形，
∴，，∴，
在中，，
∴当运动到的中点时的时间，∴，
∴当运动到的中点时，的面积为．故选：A．
8．B
解：，，，
，∴，，
在正方形中，，，即，
同理可得，，，即，
，∴，，
，，，
，，
∴，故选：B．
9．D
解：如图，过点作于点，延长到点，使，
四边形是菱形，，，
菱形的面积为20，边长为5，，在中，根据勾股定理得：，
以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系，
，，，，，，，，
在和中，，，，
连接，，，，，，三点共线时，取最小值，
的最小值的最小值．
但是当，，三点共线时，点不在边上，．故选：D．
10.B
解：①∵四边形是菱形．∴，
又，∴，∴是等边三角形，∴，
在与中，，∴，∴，∴①符合题意；
②由①得，∴，∵是等边三角形，∴，
∴，∴②符合题意；
③当点E，F分别是中点时，由（1）知，为等边三角形，
∵点E，F分别是中点，∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，即，∴③不符合题意；
④过点F作交于P点，如图，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
即，故本选项符合题意：∴正确的结论是①②④．故选：B．
二、填空题
11．90°
解：∵平分，∴．
∵，∴．∴，∴．
同理，平分，．∴．
∵是边的中点，∴．∴．∴四边形是矩形．
当时，平分，可得：．∵，∴．
又∵，∴是等腰直角三角形，．∴矩形是正方形．故答案为： ．
12．14
解：过P作，垂足为H，如图所示：

∵，，， ∴，
∴四边形是矩形，∴，，∴，
在等腰梯形中，，∴，
又，，在和中，
，∴，∴，
∴，故答案为：14．
13．8
解：连接，如图所示：
，，，分别是四边形边，，，的中点，
是 ABC的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，∴四边形为平行四边形，
∵，∴，∴四边形为矩形，∴故答案为：8．
14．
解：∵菱形的边长为2，，
∴，
∴为等边三角形，∴，，
∵，∴，，
∵，∴四边形为平行四边形，，
∴，∴；故答案为：．
15．16
解：如图，过作于于，则，
，四边形是矩形，，
，，即，
在和中，，，
，矩形是正方形，，
，，，
，，故答案为：16.
16．
解：连接，交于点，
∵四边形是边长为2的菱形，，∴，
∴，∴，，，为等边三角形，
∴，∴，∴，
∵将菱形绕点A逆时针旋转，使点B的对应点落在对角线上，
∴，，∴，
∵，∴，∴，，
∴四边形的面积等于；
故答案为：．
17．①③
解：①∵四边形为正方形，对角线，相交于点O，
∴，，，，∴，
∵，∴，∴，
在和中，，∴，故结论①正确；
②由①得：，∴，
在中，由勾股定理得：，∴，
在中，为斜边，∵，∴，
∴，故结论②不正确，
③由①得：，∴，∴，
∵四边形为正方形，∴，∵，∴，
∴四边形的面积为正方形面积的，故结论③正确；
④如图，∵，的中点为K，∴，
∵，∴，∴，设，则，
∴，∴当时，最小，最小值为，
∴的最小值为，故④错误；综上所述：正确的结论是①③．
18．②③
解：在矩形中，，，则，，，由勾股定理得．由平移的性质可知，，，．
∵，，∴，．
当四点不共线且无重合点时，四边形满足一组对边平行且相等，是平行四边形；
当与重合时，三点共线，顺次连接的图形不是四边形，更不是平行四边形，故①错误；
∵，设点到的距离为，点到的距离为．
，又，
∴，解得．同理可得，点到的距离．
∵点和点在的两侧，，∴点到直线的距离为，
则点到它关于直线的对称点的距离为，故②正确；
∵，，∴四点不共线时，四边形是平行四边形，．
当四点共线时，．∴．
根据三角形三边关系，在中，，当且仅当三点共线，且在和之间时，等号成立，此时，即的最大值为，故③正确；
由，得，即求直线上一点到、两点的距离和的最小值．
作点关于直线的对称点，连接，连接交于点，
则，的最小值为的长度，，
过点作于点，交于点．∵，，∴，即，
∴四边形、均为矩形，得，，．
在中，由勾股定理得．∴．
又∵，∴．
在中，，，，
由勾股定理得，
∴，∴．
∵．
∴在中，由勾股定理得．故④错误．
三、解答题
19．（1）解：∵过点B作于点E．过点D作于点F，
∴，∴，
∵矩形，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴四边形是正方形．
（2）解：∵矩形，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．
20．（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，，
平分，平分，，，
，，，，，为的中点．
（2）解：，理由如下：如图2，取的中点，连接，
点为的中点，，，同（1）可得，点为中点，即，
，且，，，，
在和中，，，，，
，，．
21．（1）证明：过作，垂足为，
∵，．，，
，，，；
（2）解：为中点，，
∵， ∴， ，
，，，，；
（3）解：，， ．
，，，，
， ，．
22．（1）解：如图，四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形，
根据中位线性质得到，，∴，
同理可得，∴为平行四边形，
又∵是菱形，∴，则，∴为矩形．故答案为：矩形；
（2）解：四边形为菱形．理由如下：连接与，如图2所示：
∵和为等边三角形，，，，，
在和中，，，，
，，，分别是边，，，的中点，
是 ABC的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，，
，，四边形是平行四边形；
，，四边形为菱形；
（3）解：如图3，连接交于O，连接、，
当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，
∴的最小值，由性质探究知：，
又∵M，N分别是的中点，∴，，
∴，∴的最小值，
∵四边形是正方形，∴，，∴，
∵N，F分别是的中点，∴，∴，
∴，∴，故答案为：．
23．（1）证明：∵四边形是正方形，，，
，，，．
（2）证明：延长至，且使，连接，∴，则，
∵四边形是正方形，，
在和中，，，，
，∴为的中点，
又∵为的中点，∴为的中位线，，．
（3）解：过点作交于，则，
，，，，
，∴，∴，，
在和中，，，，
是等腰直角三角形，，．
24．（1）解：在正方形中，
，，，，
由折叠得，，，，
，，是等腰直角三角形，
，；
（2）解：，证明：如下图所示，连接交于点，延长交于点，
由折叠得，．，，
，，
，，，，
，，，
，，，
，；
（3）解：如下图所示，连接，在中，，，
，
，，当点落在上时，的长最短，此时，
由（2）知，，，
当的长最短时，．
25．（1）证明： ∵在平行四边形中，为中点，
∴，，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，，∴四边形为平行四边形．
∵，∴，∴四边形为矩形．
（2）∵在平行四边形中，为的中点，
∴，，，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴四边形为平行四边形．∴，
∴，即，∵，∴四边形为菱形，
∴，即；
（3）如图，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，
又，∴，∴(负值舍去)，
又四边形是平行四边形，，∴，
∴，∴，又，∴，
∴(负值舍去)，∴．
26．解：（1）∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形，
，，，
，是等腰直角三角形，，故答案为：45；
（2）①证明：∵，，
∵矩形中，，，平分；
②过点B作于点E，
，，，，
，，，，
又，，，
，，，
，，又，，
， ，故答案为：4；
（3）过点F作交于点H，四边形是正方形，
，，，由旋转得，，
，，
在和中，，
，，，，
，，，，
，是等腰直角三角形，，故答案为：；
（4），理由如下：过点F作，与的延长线交于点H，如图：
四边形是菱形，，，
，由旋转得，，
，，
，，，，
，，，，，
，，是直角三角形，
，，，，，．