【备战2026】北京中考数学二轮复习高分突破专题-07有理数的运算（精选-精练-精讲）（含解析）

【备战2026】北京中考数学二轮复习高分突破专题-07有理数的运算（精选-精练-精讲）
一、单选题
1．（2025·北京门头沟·二模）某种细胞的直径是毫米，这个数用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·北京昌平·二模）昌平作为北京国际科创中心建设的重要承载区，已经汇集69个国家级、省部级重点实验室，210个工程技术中心，全国重点实验室数量占全市总量的三分之一以上，并通过有组织的科技成果转化，使得近三年的技术合同成交额达1319亿元．其中131900000000用科学记数法记作（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·北京丰台·二模）据2024年中国国土绿化状况公报显示，我国森林蓄积量超200亿立方米，森林覆盖率超，将20000000000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·北京海淀·二模）据统计，2024年我国全年粮食产量约为7.07亿吨．将707000000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·北京海淀·二模）若，且，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·北京西城·二模）“双碳”目标战略为中国汽车工业带来了新的生命力，截至2023年底，全国新能源汽车保有量约为辆，根据新能源汽车产业规划目标，预计到2033年底，新能源汽车保有量将会是2023年底的5倍，达到约辆，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·北京朝阳·二模）2025年全国两会顺利召开，在政府工作报告中提到，2024年粮食产量首次跃上1.4万亿斤新台阶、亩产提升10.1斤．将1400000000000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·北京顺义·二模）科研人员利用人工智能设计出一种新型的“纳米笼”．这种“纳米笼”的直径为75纳米，1纳米等于米．若将这种新型“纳米笼”的直径记作米，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·北京东城·二模）某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为比特．后续发射的升级型号卫星数据传输速率是原遥感卫星的25倍，达到比特，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·北京石景山·二模）根据公开资料，我国载人航天测控系统的时间同步精度为秒（微妙级时间同步），确保指令和数据的精确．请将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·北京东城·二模）若实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．（2025·北京房山·二模）某校九年级有370名师生要去参加社会实践活动，学校计划租用甲、乙、丙三种型号的客车前往．每种型号客车的载客量及租金如下表所示：
客车型号 甲 乙 丙
每辆客车载客量/人
每辆客车的租金/元
如果甲、乙、丙三种型号的客车分别租用7辆，3辆，2辆，那么租车的总费用为______元；如果使租车的总费用最低，那么总费用最低为______元．
13．（2025·北京海淀·二模）某生态农场有三项任务需要完成，如下表：
任务 每轮任务耗时（小时） 需完成轮数 每轮需要工人数
A．有机肥料运输 2 3
B．智能系统调试 2 1 1
C．温室环境监测 3 2
不同类型任务切换需0.2小时准备时间，相同任务的不同轮次可以同时进行，且每轮任务一旦开始不能中途停止．农场现有3名工人，请回答下列问题：
（1）若需要先完成A任务，再完成剩余的两项任务，请判断：这3名工人___________（填“能”或“不能”）在小时内完成全部三项任务；
（2）为了加快完成任务，现增加2名工人，则这5名工人完成全部三项任务的最短用时为___________小时．
14．（2025·北京西城·二模）小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是：
停车时长（单位：小时）
收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24
乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）．
（1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是______元；
（2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为______小时，
15．（2025·北京门头沟·二模）某快递公司因天气原因需将五种货物进行延迟配送，每名配送员每次只能配送一种货物，从配送开始起进行计时，每延迟一分钟需赔付1元，忽略其它因素的影响，五种货物的配送时间如下表：
货物
配送时间（分钟） 5 8 9 7 10
（1）如果由一名配送员进行配送，那么下列三个配送顺序：①；②；③中，赔付最少的是_______（填序号）；
（2）如果由两名配送员同时进行配送，最少需要赔付_______元．
三、解答题
16．（2025·北京丰台·二模）2024年12月29日，“”动车组样车在北京发布，标志着“科技创新工程”取得重大突破．北京南站与上海虹桥站之间的铁路长约为，若“”动车投入使用后，某日上午，“”、“复兴号”两辆动车同时分别从北京南站、上海虹桥站出发，相向而行，匀速行驶，当日上午相遇．此后，“复兴号”动车的速度提升了，当日12：30到达北京南站．若“”动车的速度不变，则“”动车当日12：00前是否可以到达上海虹桥站，并说明理由．
17．（2025·北京顺义·二模）为了进行艺术宣传，20名画师合作完成100幅户外宣传板的绘画工作．每幅宣传板上的4个绘画内容和每个内容的绘画时长如下表：
内容 一个花甁 一张桌子 一位人物 一把椅子
时长/分 3 7 15 7
20名画师同时开始工作，每位画师只负责一个内容的绘画工作．每幅作品的同一个内容只能由一名画师完成，绘画不同内容的画师可以同时在一张户外宣传板上进行绘画．
（1）若2名画师负责绘画花瓶，则绘画人物的画师最多为______人；
（2）在（1）的条件下，绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数相同，完成这两项内容的画师总人数小于绘画人物的画师人数．完成这100幅户外宣传板的绘画工作，最少需要______分钟．
18．（2025·北京东城·二模）某团队设计了一款智能灯，它可以根据自然光照度自动开启或关闭，当自然光照度小于或等于勒克斯（勒克斯为光照度单位）时，自动开启；大于勒克斯时，自动关闭．该团队通过模拟自然光照度进行了一次实验，记录了实验中模拟自然光照度（单位：勒克斯）与时间（单位：分钟）的关系数据，如下表所示：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y 32.9 30.0 27.5 25.6 24.2 23.3 22.9 23.0 23.7 24.8 26.5 28.7 31.4
(1)团队成员发现可以用函数刻画模拟自然光照度与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；
根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
(2)若．
①智能灯首次开启时，_____；
②智能灯的工作时长约为_____分钟；（结果保留小数点后一位）
(3)设当为30，27，24时，智能灯工作时长分别为，，，则_____．（填“>”“=”或“<”）
试卷第1页，共3页
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《【备战2026】北京中考数学二轮复习高分突破专题-07有理数的运算（精选-精练-精讲）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C C D B B C C A
题号 11
答案 D
1．A
【分析】本题考查了科学计算法的运用，掌握科学记数法的表示方法，正确确定的值是关键．科学记数法的表示形式为，确定n的值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解．
【详解】解：，
故选：A ．
2．D
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：．
故选：D．
3．C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．
【详解】解：707000000；
故选C．
5．D
【分析】此题考查了有理数的加法和乘法，绝对值意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用有理数的加法法则，乘法法则和绝对值意义判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，或，，
当，时，则，
∴；
当，时，∵，
∴，
综上分析可知：．
故选：D．
6．B
【分析】本题主要考查科学记数法，含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：；
故选B．
7．B
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．
根据科学记数法的表示方法进行解答即可．
【详解】解：．
故选：B．
8．C
【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为负整数，确定a与n的值是解题的关键．
【详解】解：∵这种“纳米笼”的直径为75纳米，1纳米等于米．
∴75纳米，
故选：C
9．C
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：C
10．A
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题关键是根据小数点位置的移动确定指数．
利用科学记数法的一般式求解．科学记数法的一般式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故选：A．
11．D
【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小比较，有理数的乘法，有理数的加法运算的符号确定，本题先得到，再逐一分析即可．
【详解】解：∵，
∴，，，，
∴选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意；
故选：D．
12．
【分析】本题考查了不等式的应用，有理数的计算的应用；根据题意计算租用7辆，3辆，2辆，租车的总费用，设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c， 得出，计算三种客车的单价，确定车人均价格最低，当取得最大整数解时，租车费用最低，找到最大整数解为，进而确定，，计算费用，即可求解．
【详解】解：依题意得(元)；
设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c，
则，即，
整理得
∴车人均价格最低，当取得最大整数解时，租车费用最低，
∵a，b，c都是正整数，
∴，
∴，
此时最低费用为（元）
故答案为：，．
13． 不能 4
【分析】本题考查工程问题中的任务规划与时间计算，涉及到对任务轮次、耗时、所需人力的综合分析．解题关键在于合理规划任务安排，准确计算任务执行时间和任务切换准备时间，通过比较不同任务的耗时情况来确定整体最短耗时或判断能否在规定时间内完成任务．
（1）本题围绕生态农场的三项任务展开，根据各项任务每轮耗时、需完成轮数和每轮所需工人数，同时考虑不同任务切换的准备时间，以及工人数量，通过计算任务总耗时与给定时间比较或规划任务安排来求解．
（2）根据各项任务每轮耗时、需完成轮数和每轮所需工人数，同时考虑不同任务切换的准备时间，以及工人数量，通过计算任务总耗时与给定时间比较或规划任务安排来求解．
【详解】解：（1）A任务每轮耗时小时，需完成轮，且名工人刚好满足每轮需求，
∴A任务总耗时为小时．
完成A任务后切换到其他任务，有两次任务切换，每次准备时间小时，
∴准备时间共小时．
B任务每轮耗时小时，需轮，名工人即可；C任务每轮耗时小时，需轮，每轮名工人．
∴名工人可同时进行B和C任务（人做B，人做C ），C任务轮共小时，B任务小时，以耗时较长的C任务为准，B和C任务同时进行最短耗时小时．
三项任务总耗时为小时，，
∴名工人不能在小时内完成全部三项任务．
故答案为：不能；
（2）增加2名工人后共5名工人，
∵更换工作会有额外时间，
∴尽量减少工作任务更换，
先安排三人作A任务两轮，共3小时，同时安排1人做任务B，两小时后更换工作至C，一轮，共需3小时，此时，A任务和B任务已经完成，C任务还有两轮，安排4人两轮任务同时进行，共需1小时，
∴总时间为：（小时）．
故答案为：4．
14． 15 7
【分析】本题考查了有理数的运算，不等式，正确理解题意是解题的关键．
（1）由小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，即可求出停车时间，再根据表格即可求解；
（2）根据表格分析每一个时间段，在乙停车场最多停车时间及费用，即可求解．
【详解】解：（1）∵小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，
∴，
∴在甲停车场停了8小时20分钟，
∴由表格得收费15元，
故答案为：15；
（2）若时，知甲免费，乙至少花费2元，不合题意；
若时，要使得乙停车费少，则乙最多2小时4元；
若时，要使得乙停车费少，则乙最多4小时8元；
若时，要使得乙停车费少，则乙最多7小时14元；
若时，乙至少花费20元，不合题意；
若时，乙至少26元，不合题意，
∴小林停车时间最长为7小时，
故答案为：7．
15． ② 64
【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键．
（1）分别计算三种情况赔付的钱，求解判断即可；
（2）因为赔付最少，就要使配送的时间尽量短，显然先配送时间短的即可，所以先配送A和D时间短的，一名配送员按的顺序送，另一名配送员按的顺序送，配送赔付最少，据此计算即可．
【详解】解：（1）①总赔付：（元），
②总赔付：（元），
③总赔付：（元），
∴赔付最少的是②，
故答案为：②；
（2）解：因为赔付最少，就要使配送的时间尽量短，显然先配送时间短的，所以先配送A和D时间短的；然后再配送剩下的时间的短的，最后一名配送员配送时间最长的，
一名配送员按的顺序送，另一名配送员按的顺序送，配送最少，
配送赔付：（元），
配送赔付：（元），
共需要最少赔付：（元），
故答案为：64．
16．“”动车可以在当日12:00前到达，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用，掌握速度路程时间是解题关键．设相遇前“复兴号”动车的速度为，根据题意列方程求出，进而求出“”动车的速度，得到“”动车的行驶时间，即可求解．
【详解】解：“”动车可以在当日12:00前到达，理由如下：
设相遇前“复兴号”动车的速度为．
由题意可知，．解得．
所以“”动车的速度为．
所以“”动车的行驶时间为．
所以“”动车到达上海虹桥站的时间为当日11:15，可以在当日12:00前到达．
17．
【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，一元一次不等式的实际应用，读懂题意是解题的关键．
（1）根据题意知每个内容至少需1名画师，否则工作无法完成，即可解答；
（2）设绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为，则绘画人物的画师人数为人，根据完成绘画桌子与绘画椅子的画师总人数小于绘画人物的画师人数，列出一元一次不等式，求出x可能的值，再结合绘画不同内容的画师可以同时在一张户外宣传板上进行绘画，分别计算出时间比较即可解答．
【详解】解：（1）根据题意知每个内容至少需1名画师，否则工作无法完成，
则负责绘画桌子的画师至少为1人，负责绘画椅子的画师至少为1人，
∵负责绘画花瓶的画师为2人，
∴绘画人物的画师最多为：（人）；
（2）设绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为，则绘画人物的画师人数为人，
根据题意：，
解得：，
∵为正整数，
∴；
当时，则绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为人，绘画人物的画师人数为人，
∴绘画花瓶的时间为：（分钟），绘画桌子的时间为：（分钟），绘画椅子的时间为：（分钟），绘画人物的时间为：（分钟），
∵绘画不同内容的画师可以同时在一张户外宣传板上进行绘画，
∴此时，最少需要的时间为分钟；
当时，则绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为人，绘画人物的画师人数为人，
∴绘画花瓶的时间为：（分钟），绘画桌子的时间为：（分钟），绘画椅子的时间为：（分钟），绘画人物的时间为：（分钟），
∴此时，最少需要的时间为分钟；
当时，则绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为人，绘画人物的画师人数为人，
∴绘画花瓶的时间为：（分钟），绘画桌子的时间为：（分钟），绘画椅子的时间为：（分钟），绘画人物的时间为：（分钟），
∴此时，最少需要的时间为分钟；
当时，则绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为人，绘画人物的画师人数为人，
∴绘画花瓶的时间为：（分钟），绘画桌子的时间为：（分钟），绘画椅子的时间为：（分钟），绘画人物的时间为：（分钟），
∴此时，最少需要的时间为分钟；
∵，
∴完成这100幅户外宣传板的绘画工作，最少需要分钟．
18．(1)见详解
(2)①1；②10.5（答案不唯一，此为估算值，原则上上下浮动0.2以内均正确）；
(3)<．
【分析】本题主要考查描点连线、图像中获取信息和有理数的加减运算，解题的关键是熟悉图中获取信息，
（1）根据描点连线作图即可；
（2）①由图可知，智能灯首次开启时，，
②根据题意知智能灯首次开启时，；智能灯开启后关闭时，，即可智能灯的工作时长；
（3）由（2）知当为30时，智能灯工作时长为分钟，同理可得当为27时，智能灯工作时长为分钟，当为24时，智能灯工作时长分钟，即可求得分钟，分钟即可．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：①由图可知，智能灯首次开启时，，
②∵时，自动开启；
∴智能灯首次开启时，；智能灯开启后关闭时，
则智能灯的工作时长约为分钟；
（3）解：由（2）知当为30时，智能灯工作时长为分钟，
同理可得当为27时，智能灯工作时长为分钟，
当为24时，智能灯工作时长分钟，
则分钟，分钟，
那么，．
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