【备战2026】北京中考数学二轮复习高分突破专题01全等三角形（最新模拟题精选-精练-精讲）（含解析）

【备战2026北京中考】二轮复习高分突破专题01 全等三角形（最新模拟题精选-精练-精讲）
一、单选题
1．（2025·北京东城·二模）如图，将正五边形纸片沿着虚线剪开，记阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为，，．
给出以下结论：
①Ⅰ和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰三角形；
②Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰梯形；
③；
④Ⅰ中最大内角的度数是最小内角度数的3倍．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④
2．（2025·北京朝阳·二模）图中可以看出小明用尺规作的平分线的作图痕迹，已知小明的作图是正确的，下列推断不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．若连接，则
3．（2025·北京石景山·二模）在正方形中，点，，，分别为边，，，上的动点（不与顶点重合），与相交于点．下面四个结论中，
①如果，则；
②如果，则；
③如果为的垂直平分线，则；
④如果与相互垂直且平分，则；
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
4．（2025·北京朝阳·二模）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．给出下面四个结论：
①平分；
②；
③；
④．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④
5．（2025·北京东城·二模）如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（ ）
A． B．是的平分线
C． D．
6．（2025·北京顺义·二模）如图，在四边形中，，，，平分，．设，，，给出下面三个结论：
①分别以为直径的圆的面积比为；
②；
③与的面积和为．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．（2025·北京丰台·二模）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合．过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
8．（2025年北京市门头沟区九年级中考二模数学试卷）如图，在中，，平分交于，于，点在上，点在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　）
；平分；；．
A．个 B．个 C．个 D．个
9．（2025·北京昌平·二模）连接正五边形的对角线，形成如图的图形，中心为点O．与交于点，连接与交于点，连接，，，．
观察后得出如下结论：
①；
②连接OF，则有；
③；
④连接BC，则有．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
二、填空题
10．（2025·北京石景山·二模）如图，在中，于点D，平分，于点E，于点F．若，则的长为_________．
11．（2025·北京顺义·二模）已知，，如图．
（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；
（2）作直线，分别交于点；
（3）连接．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是______（写出所有符合题意的序号）．
①；
②；
③；
④以为直径的圆不经过点和点．
三、解答题
12．（2025·北京东城·二模）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)已知，，求的半径．
13．（2025·北京石景山·二模）如图，在中，，，是边上一点（不与点，重合），线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求的度数．
(2)如图，连接，是中点，是中点，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
14．（2025·北京东城·二模）如图，在中，，为上一点，，，过点作于点，交于点．
(1)求的度数（用含的式子表示）；
(2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
15．（2025·北京朝阳·二模）在Rt中，为射线上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，线段与直线相交于点．
(1)如图，当时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
(2)若对于任意的点，上一问的结论总成立，写出满足条件的的值，画出相应的图形，并证明．
16．（2025·北京西城·二模）如图，为的外接圆，点为的中点，的切线交的延长线于点，交于点．连接，，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
17．（2025·北京房山·二模）在和中，，连接，点是的中点，连接．
(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是______；
(2)如图2，当点在内部时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
18．（2025·北京海淀·二模）在中，为上一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．
(1)如图1，若点在线段上，求证：；
(2)如图2，若，点关于点的对称点为点，连接．
①依题意补全图2；
②直接写出的大小，并证明．
19．（2025·北京房山·二模）如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
20．（2025·北京西城·二模）如图，在中，，，点为边上一点（），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若点，，分别为，，的中点，连接，补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
21．（2025·北京丰台·二模）在中，，，是内一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，当点与点重合时，求证：；
(2)如图2，当点在外部时，与交于点，取中点，连接、，直接写出的大小，并证明．
22．（2025·北京昌平·二模）如图1，中，，点为线段上一点，的平分线交于点，将线段绕点顺时针旋转，与射线交于点．
(1)求证：；
(2)若，如图2，连接，连接交射线于点．
①补全图形；
②判断与之间的数量关系，并证明．
试卷第1页，共3页
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《【备战2026北京中考】二轮复习高分突破专题01 全等三角形（最新模拟题精选-精练-精讲）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D C B D D D A D B
1．D
【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键；依题意得阴影Ⅰ，Ⅲ是两个全等的等腰三角形，Ⅱ是等腰三角形，利用边角关系可判定①②④；在上取，连接，则可判断③；
【详解】解：如图，
在正五边形中，，
，
∴；
同理：，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即；
∵，
∴，
即是等腰三角形；
而此三角形是由Ⅰ和Ⅱ合在一起的三角形；
故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∴Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰梯形；
故②正确；
∵，
∴；
故④正确；
在上取，连接，
则，
∴，
∴，
显然，故③不正确；
综上，正确的有①②④；
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了作角平分线，三角形全等的判定和性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．根据基本作图可知，，根据证明，即可得出，从而判断A、B、D不符合题意，C符合题意．
【详解】解：根据作图可得，，故A，B不符合题意；
∵，，，
∴，
∴，故D不符合题意；
而不一定成立，故C符合题意．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，四点共圆，全等三角形的判定和性质．对于①③画出图形，显然不成立；对于②，作于点，作于点，证明，即可得到②正确；对于④，证明四边形是正方形，推出，即可证明④正确．
【详解】解：如图，①如果，显然不存在，①不正确；
②如果，
如图，作于点，作于点，
∵正方形，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∵，，
∴，
∴，②正确；
③如果为的垂直平分线，如图，
过正方形的中心作边的垂线，分成四个全等的小正方形，
显然，③不正确；
④如果与相互垂直且平分，如图，连接，，，，
∴四边形是菱形，
由②得，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，④正确，
故选：B．
4．D
【分析】设，则，，利用三角形全等的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，正方形的性质，角的平分线的判定解答即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，
设，
∵是的中点，是上一点，且，
∴，，
∴，，
，
∴，故②正确；
∴，
过点E作于点G，
则，
∴，
∴平分，；故①正确；
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴，
∴；故③正确；
∵．故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，角的平分线的判定，熟练掌握正方形的性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键．
5．D
【分析】本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质，先根据垂直平分线的性质判断A选项；然后利用等边对等角得到，即可判断B选项；根据角的直角三角形的性质判断C选项；然后根据高相等的两三角形的面积比等于底的比判断D选项解答即可．
【详解】解：由作图可得垂直平分，
∴，故A选项正确，不符合题意；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，是的平分线，故B、C选项正确，不符合题意；
∴，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
6．D
【分析】结论①在中，由，根据勾股定理得出与的长度关系，再依据圆面积公式计算以、为直径的圆面积比．结论②在中，先利用勾股定理得到三边关系，再根据三角形三边关系判断与的大小，通过对和作差比较，得出与的大小关系． 结论③延长交于，证明，得出相关线段和面积关系，结合的面积，推导出与的面积和．
【详解】在中，
∵，
∴ ，
设直径为，直径为 ，
∴
∴以为直径的圆面积 ，
以为直径的圆面积 ，
∴，
∴分别以，为直径的圆的面积比为，结论①正确．
在中，，，，
∴即，
，即 ．
∵， ， ，
∴ ，即 ，
∴，结论②正确．
延长交于点 ．
∵平分，，
∴，，
∵，
∴ ，
∴，．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴结论③正确．
综上，①②③都正确，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理、三角形三边关系、全等三角形的判定与性质、圆的面积公式以及三角形面积的计算；解题关键是利用图形性质和相关定理建立边与边、面积与面积之间的联系来判断结论 ．
7．A
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可．
【详解】解：由题意，可知：，
∴；
故选A．
8．D
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据角平分线的性质，全等三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分交于，，
∴，故正确；
如图，过作于点，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴点在角平分线上，
∴平分，故正确；
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，故正确；
由上得，，
∴，，
∴，
∴，故正确，
综上可知，正确，共个正确，
故选：．
9．B
【分析】本题考查正五边形性质、圆周角定理、全等三角形判定与性质、三角形内角和及外角性质；解题关键是熟练运用上述知识，结合正五边形的对称性，通过角度和线段关系的推导来判断结论正误．
对于①：利用正五边形内角和公式求出内角，再依据圆周角定理计算度数判断对错．对于②：截取，根据正五边形轴对称性找全等条件证，推导线段关系判断．对于③：用三角形外角性质和圆周角定理计算与关系判断．对于④：由圆周角定理求角，结合三角形内角和求，依等角对等边判断．
【详解】如图：在上截取，
正五边形内角和为，
∴．
因为是正五边形，
所以，，
正五边形中心角，，故①错误．
因为五边形是正五边形，平分，平分，，．
，在中，根据三角形内角和定理，．
，即 ．
在和中：
∴，
∴，．
由正五边形性质可知，，，，．
∵，，，
∴．
已证，
∵，
∴．
∴．
又，．
在和中：
．
∴，
∴．
∵，
∴；故②正确．
∵是的外角，．
由圆周角定理，，，且，
∴，故③错误．
∵，，
在中，，，
∴．
则，
∴，故④正确．
综上，②④正确，
故选：B．
10．6
【分析】由全等三角形的性质得，，得到是的面积的两倍，然后用等面积法求得和的关系，进而得到的长．本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线与面积，解题的关键是熟练应用等面积法求高．
【详解】解：∵于点D，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
是的中线，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：6．
11．①②③
【分析】本题考查了垂直平分线的作法及性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，四点共圆，根据作法可得垂直平分，可判断②；再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可判断①；由垂直平分线的性质得到，即可证明，即可判断③；再根据对角互补可得四点共圆，即可判断④．
【详解】解：根据作法可得垂直平分，
∴，点是的中点，，故②正确；
∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴四点共圆，且为直径，故④错误．
∴正确的结论是：①②③，
故答案为：①②③．
12．(1)见解析；
(2)．
【分析】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定是关键．
（1）连接，证明，得到，即可证明结论成立；
（2）先求出，连接，证明，则，得到，勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，则有
，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：为中点且
如图，连接
为直径
13．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（）在上取点，使得，可证，可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，进而即可求解；
（）延长与交于点，连接，，，由等腰直角三角形的性质可得，，，再证明，可证，可得，，即得，即可证明，得到，，即得到为等腰直角三角形，进而即可求证．
【详解】（1）解：在上取点，使得，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
（2）解：．
证明：延长与交于点，连接，，，
∵，，是中点，
∴，，，
∵，
∴,
∴，
∴，
∴，，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半，正确作出辅助线是解题的关键．
14．(1)；
(2)，证明见解析．
【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由三角形外角的性质和等边对等角可得，则，由垂线的定义可得，则；
（2）过点作的对称点，连接、，则，，可证明，，则，证明，得到，再证明，即可得到．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，证明如下
如图，过点作的对称点，连接、，则，，
，
，，
，
，
，
，
，
．
15．(1)，证明见解析
(2)，图形和证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键。
（1）连接．由旋转的性质可得．可证明垂直平分，得到．则，证明，则．即可证明．
（2）作于点．证明．得到．再证明．得到．证明．得到．则．再证明．即可证明．
【详解】（1）解：，证明如下：
如图所示，连接．
由题意可知，．
，
∴垂直平分，
．
．
，
∴，
∴，
．
．
（2）解：．证明如下：
如图，作于点．
由题意可知，．
．
，
．
．
．
．
．
，
．
．
．
，
．
．
．
，
．
．
16．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）本题要证明，通过设，利用同弧所对圆心角是圆周角的两倍，得到 ．再根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和求出 ．由切线性质得到，进而得出的度数．最后结合已知，得出的度数，从而证明两角相等．
（2）求的长，先延长交于．根据点为的中点，利用垂径定理的推论得到，再通过证明得出 ．由得到，进而推出角相等关系．结合前面（1）中角的结论，得出 ，从而得到线段相等关系 ，最后根据，结合求出的长．
【详解】（1）证明：设，则，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴半径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：延长交于，则，
∵点为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的相关知识，包括同弧所对圆心角与圆周角的关系、切线的性质、垂径定理及其推论，以及等腰三角形的性质和全等三角形的判定．解题的关键在于利用圆的性质找出角之间的等量关系，通过角的关系推导线段的等量关系，进而求解问题．
17．(1)
(2)成立；证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）延长交于点，过点作，连接，则，进而根据等腰直角三角形的性质得出，证明四边形是矩形，得出，即可得证；
（2）延长到，使得，证明，进而证明，得出，根据，即可得证．
【详解】（1），理由如下
如图，延长交于点，过点作，连接，则，
∵在和中，，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵
∴是等腰直角三角形，
又∵是的中点，
∴
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）证明：如图，延长到，使得．
是的中点，
，
又，
．
，．
．
，
．
，
，
．
即．
又，
．
．
，
．
18．(1)见解析
(2)①见解析；②，理由见解析
【分析】（1）根据旋转得出，证明，根据等腰三角形判定得出，即可得出答案；
（2）①先作出对称点F，再连接即可；
②，连接，取的中点，连接，证明，得出，证明．得出四点在以点为圆心，为半径的圆上．根据圆内接四边形性质 ．根据，求出结果即可．
【详解】（1）证明：线段绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
．
，
，
．
（2）解：①补全图形如图：
②．
证明：如图，连接，取的中点，连接．
点关于点的对称点为，
．
为的中点，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
．
四点在以点为圆心，为半径的圆上．
．
，
．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，圆内接四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，正切的定义，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）先证明，进而得出，根据平行四边形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，进而证明四边形是矩形；
（2）根据正切的定义得出，进而在中，勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：，
．
．
四边形是矩形，
．
，
．
在中，，
20．(1)详见解析
(2)，图见解析，证明见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，熟练掌握全等的判定和性质是关键．
（1）根据旋转的性质、全等三角形的判定和性质进行证明即可；
（2）按照题意补全图形，证明，，．即可得到结论；
【详解】（1）证明：∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴平分．
（2）解：补全图形如图所示．
线段与之间的数量关系：．
证明：在上取点，使得，连接．
∵，
∴．
∵点为的中点，
∴．
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵点为的中点，
∴．
∴．
∵点为的中点，
∴．
设，，则，．
∴．
∴．
∴．
21．(1)见解析
(2)的大小为，见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四边形内角和等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）根据旋转的性质和等边对等角的性质，得到，进而得出，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）延长至点G，使得，连接、，．证明，从而得到，再根据四边形内角和和邻补角的定义，得到进而证明，再根据等腰三角形三线合一的性质求解即可；
【详解】（1）证明：由题意可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：的大小为．证明如下：
如图，延长至点G，使得，连接、，．
∵是中点，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴．
∴，
∵，，
∴在四边形中，．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
22．(1)见解析
(2)①见解析；②，证明见解析
【分析】对于（1），根据等腰三角形的性质得，进而说明，再根据“角角边”证明，则结论可得；
对于（2），先画出图形；在线段上取一点，使得，连接，先说明是等边三角形，可得，再根据线段垂直平分线的性质得，然后根据“边角边”证明，可得，然后根据锐角三角函数可得，即可得出答案．
【详解】（1）解：，
．
在和中，，
．
平分，
．
在和中，
．
；
（2）解：①如图，
②判断：．
证明：如图，在线段上取一点，使得，连接．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
，
．
是的垂直平分线．
．
，
是等边三角形．
∴
，
．
．
．
在中，，
，
，
∴，
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，正切，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
答案第1页，共2页
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