【备战2026】北京中考数学二轮复习高分突破专题04直角三角形（最新模拟题高频考点精选-精练-精讲）（含解析）

【备战2026北京中考】二轮复习高分突破专题04直角三角形（最新模拟题高频考点精选-精练-精讲）
一、单选题
1．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，则下列描述正确的是（ ）
A．为等腰直角三角形 B．点坐标为
C．图象经过第一、三、四象限 D．点到的图象距离为1
2．（2025·北京东城·二模）如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（ ）
A． B．是的平分线
C． D．
3．（2025·北京东城·二模）如图，将正五边形纸片沿着虚线剪开，记阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为，，．
给出以下结论：
①Ⅰ和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰三角形；
②Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰梯形；
③；
④Ⅰ中最大内角的度数是最小内角度数的3倍．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④
4．（2025·北京海淀·二模）如图，在中，，直线经过点，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．（2025·北京顺义·二模）已知，，如图．
（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；
（2）作直线，分别交于点；
（3）连接．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是______（写出所有符合题意的序号）．
①；
②；
③；
④以为直径的圆不经过点和点．
6．（2025·北京海淀·二模）如图，为的直径，点在上，点为的中点，连接．若，则___________．
7．（2025·北京顺义·二模）如图所示的网格是正方形网格，则______（点，，，是网格线交点）．
三、解答题
8．（2025·北京昌平·二模）如图，在中，，过中点作与相切于点，交于点E，F，交于点M，N．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
9．（2025·北京石景山·二模）如图，在中，，，是边上一点（不与点，重合），线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求的度数．
(2)如图，连接，是中点，是中点，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
10．（2025·北京朝阳·二模）在Rt中，为射线上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，线段与直线相交于点．
(1)如图，当时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
(2)若对于任意的点，上一问的结论总成立，写出满足条件的的值，画出相应的图形，并证明．
11．（2025·北京顺义·二模）如图，在中，，，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)连接，求的大小（用含的代数式表示）；
(2)过点作交的延长线于点，连接．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系，并证明．
12．（2025·北京·一模）如图，在中，，，点D是内一点，且．
(1)求证：；
(2)将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接交于点F．
①依题意补全图形；
②若点F恰是的中点，用等式表示与之间的数量关系，并证明．
13．（2025·北京东城·二模）如图，在中，，为上一点，，，过点作于点，交于点．
(1)求的度数（用含的式子表示）；
(2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
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《【备战2026北京中考】二轮复习高分突破专题04直角三角形（最新模拟题高频考点精选-精练-精讲）》参考答案
题号 1 2 3 4
答案 A D D C
1．A
【分析】由题意，根据一次函数图象与坐标轴交点的求法得到、，确定、B错误；再通过数形结合，由等腰直角三角形的判定即可确定A正确；由一次函数图象过象限即可判定C错误；再由等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识即可判定D错误．
【详解】解：在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，
当时，，则；当时，，则；
A、、，
，且，则为等腰直角三角形，
故该选项正确，符合题意；
B、，
点坐标为错误，不符合题意；
C、在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，
，且、，则图象经过第一、二、四象限，
故该选项错误，不符合题意；
D、过点作于点，如图所示：
是等腰直角三角形，，
由勾股定理可得，
，
由等腰三角形三线合一性质可知，是斜边上的中线，
，即点到的图象距离为，
故该选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图象与性质，涉及一次函数图象与坐标轴交点的求法、一次函数图象过象限、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识．熟练掌握一次函数图象与性质、直角三角形性质是解决问题的关键．
2．D
【分析】本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质，先根据垂直平分线的性质判断A选项；然后利用等边对等角得到，即可判断B选项；根据角的直角三角形的性质判断C选项；然后根据高相等的两三角形的面积比等于底的比判断D选项解答即可．
【详解】解：由作图可得垂直平分，
∴，故A选项正确，不符合题意；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，是的平分线，故B、C选项正确，不符合题意；
∴，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键；依题意得阴影Ⅰ，Ⅲ是两个全等的等腰三角形，Ⅱ是等腰三角形，利用边角关系可判定①②④；在上取，连接，则可判断③；
【详解】解：如图，
在正五边形中，，
，
∴；
同理：，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即；
∵，
∴，
即是等腰三角形；
而此三角形是由Ⅰ和Ⅱ合在一起的三角形；
故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∴Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰梯形；
故②正确；
∵，
∴；
故④正确；
在上取，连接，
则，
∴，
∴，
显然，故③不正确；
综上，正确的有①②④；
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了直角三角形中的两个锐角互余，对顶角相等，根据图形逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
根据对顶角相等可得，
不能得出，，
故选：C．
5．①②③
【分析】本题考查了垂直平分线的作法及性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，四点共圆，根据作法可得垂直平分，可判断②；再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可判断①；由垂直平分线的性质得到，即可证明，即可判断③；再根据对角互补可得四点共圆，即可判断④．
【详解】解：根据作法可得垂直平分，
∴，点是的中点，，故②正确；
∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴四点共圆，且为直径，故④错误．
∴正确的结论是：①②③，
故答案为：①②③．
6．50
【分析】根据是圆的直径，可得到直角三角形（直径所对的圆周角是直角），由点是弧的中点，可利用等弧所对的圆周角相等这一性质，结合的的度数求出的度数．本题考查圆周角定理（直径所对圆周角是直角、等弧所对圆周角相等）以及三角形内角和定理．解题的关键在于利用圆的性质，通过连接辅助线，结合已知角度，逐步求出的度数
【详解】解：连接
∵是的直径，
∴．
在中，∵，，
∴．
∵点为的中点，
∴，
∴．
．
故答案为：50．
7．45
【分析】本题考查了三角形外角的定义和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形的外角的定义及性质可知，然后利用网格的性质可推出，即可得到答案
【详解】解：如图所示，点是网格线交点，连接，
根据题意可知，，
，
根据网格的性质可知，，，
，
，
故答案为：45．
8．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，．由圆切线的定义得出，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出．再由等腰三角形三线合一即可得出答案．
（2）过点作于点，连接．设的半径为，则．先由勾股定理定理得出，再由垂径定理得出，再根据矩形的判定和性质得出，再根据勾股定理得出，
再利用垂径定理求值即可．
【详解】（1）解：连接，．
与相切，
．
在中，，
．
．
（2）解：过点作于点，连接．
设的半径为，则．
，
．
在中，
，
．
．
解得：．
为的弦，
．
，
四边形为矩形．
．
在中，
，
．
．
【点睛】本题主要考查了圆切线的定义，垂径定理，三线合一，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键．
9．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（）在上取点，使得，可证，可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，进而即可求解；
（）延长与交于点，连接，，，由等腰直角三角形的性质可得，，，再证明，可证，可得，，即得，即可证明，得到，，即得到为等腰直角三角形，进而即可求证．
【详解】（1）解：在上取点，使得，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
（2）解：．
证明：延长与交于点，连接，，，
∵，，是中点，
∴，，，
∵，
∴,
∴，
∴，
∴，，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半，正确作出辅助线是解题的关键．
10．(1)，证明见解析
(2)，图形和证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键。
（1）连接．由旋转的性质可得．可证明垂直平分，得到．则，证明，则．即可证明．
（2）作于点．证明．得到．再证明．得到．证明．得到．则．再证明．即可证明．
【详解】（1）解：，证明如下：
如图所示，连接．
由题意可知，．
，
∴垂直平分，
．
．
，
∴，
∴，
．
．
（2）解：．证明如下：
如图，作于点．
由题意可知，．
．
，
．
．
．
．
．
，
．
．
．
，
．
．
．
，
．
．
11．(1)
(2)①见解析；②，证明见解析
【分析】（1）过点作于点H，由旋转的性质得：，易证是等腰三角形，进而推出，求出，根据，即可求解；
（2）①根据题意补全图形即可；②连接AQ，取AQ中点M，连接MC，MD，证明，再根据证明得，得到，再根据平行线分线段成比例定理可得结论
【详解】（1）解：过点作于点H，
由旋转的性质得：，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①如图所示.
②，
证明：取中点P，连接，
∵，，
，
又，，
，
，
，
∴，
∴，
∴点中点，
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．添加适当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
12．(1)见详解
(2)①见详解；②
【分析】（1）设，则，即可得解．
（2）①根据题意作图即可；②过点C作于点M，交于点N，证得，再证，得到，得到M为中点， N为中点，即可得解．
本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）设，
∵，，
∴，
∴．
（2）①
②，证明如下：
过点C作于点M，交于点N，
∵，
∴，
∴，
∵F恰是的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵M为中点，，
∴，
∴N为中点，
∴．
13．(1)；
(2)，证明见解析．
【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由三角形外角的性质和等边对等角可得，则，由垂线的定义可得，则；
（2）过点作的对称点，连接、，则，，可证明，，则，证明，得到，再证明，即可得到．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，证明如下
如图，过点作的对称点，连接、，则，，
，
，，
，
，
，
，
，
．
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