安徽省阜阳市临泉县安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高二下学期开学(含答案)

高二数学
120 分钟 150 分
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1. 若点 在直线 上,则直线 的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
2. 已知直线 的斜率 ,且直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的 2 倍,则 的斜率为 ( )
A. B. C. D.
3. 若点 在焦点为 的抛物线 上,点 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D. 4
4. 已知平面 的一个法向量 ，点 在 内，则点 到 的距离为 ( )
A. 2 B. 3
C. D.
5. 古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质: 平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线. 这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义. 若平面内一动点 到定点 和到定直线 的距离之比是 ,则点 的轨迹为( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
6. 点 在曲线 上,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 已知椭圆 的左、右顶点分别为 ,点 在直线 上运动, 为半焦距,若 的最大值为 ,则椭圆的离心率 ( )
A. B. 2
C. D.
8. 在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形，且 ，点 ， 分别在侧棱 上,且 ,过点 的平面 截四棱锥的截面面积为( )
A. B. 2 C. D. 3
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列结论正确的有( )
A. 倾斜角为 的直线 的一个方向向量是
B. 直线 恒过定点
C. 不论 为何实数,直线 与直线 互相垂直
D. 在 轴上的截距为 的直线可表示为
10. 在数学史上, 平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线(Cassini oval). 在平面直角坐标系 中,动点 到两个定点 的距离之积等于 2, 则下列结论正确的是( )
A. 的轨迹方程为
B. 的轨迹关于 轴对称
C. 存在点 ,使得
D. 的取值范围为
11. 双曲线具有如下光学性质: 是双曲线的左、右焦点,从 发出的光线 射在双曲线右支上一点 ,经点 反射后,反射光线 的反向延长线过 . 如图,若双曲线 的方程为 是双曲线在点 处的切线,则下列结论正确的是( )
A. 若 ,则
B. 当点 异于双曲线的顶点时, 平分
C. 当 过点 时,光线由 到 再到 所经过的路程为 4
D. 若 ，则点 的坐标为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 与椭圆 的焦点相同，且离心率为 的双曲线的方程为_____.
13. 在三棱锥 中, ,平面 与平面 所成二面角的大小为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为_____.
14. 数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,例如,与 相关的代数问题,可以转化为点 与点 之间的距离的几何问题. 结合上述观点,已知 满足 ,则 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知两条直线 .
(1)若 ,求 ;
(2)若 ，求 的值.
16. 已知 是抛物线 的焦点， ， 是抛物线 上一点，且
(1)求抛物线 的方程；
( 2 )若直线 与抛物线 交于 ， 两点，且线段 的中点坐标为 ， 求弦长 .
17. 阳马，中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体. 如图,在阳马 中, 底面 为线段 的中点, 为线段 上的动点.
(1)证明:平面 平面 .
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯同欧几里得、阿基米德齐名, 他发现:平面内到两个定点 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆. 后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆. 在平面直角坐标系 中,点 ,点 满足 .
(1)求点 的轨迹方程.
(2)设点 ,在 轴的正半轴上是否存在异于点 的点 ,使得对于点 的轨迹上任意一点 ,满足 为定值 若存在,求 的值; 若不存在,请说明理由.
19. 已知圆 ,圆 与圆 均外切.
(1)求圆心 的轨迹方程.
(2)过点 的直线 与 的轨迹交于 两点，过原点 作直线 ，点 为直线 与点 的轨迹的交点.
① 当 的斜率为 0 时,求 的值;
② 当 的斜率不为 0 时，求证: 为定值.
1. A
依题意,直线 的一个方向向量为 .
故选: A
2. B
由 ,可知直线 的倾斜角为 ,
依题意,可知 的倾斜角为 ,所以 的斜率为 .
3. D
抛物线 准线方程为 ,过点 作准线 的垂线,垂足为 ,
根据抛物线的定义可得 ,所以 ,
当 三点共线时,等号成立,所以 的最小值为 .
故选: D
4. D
由题意得 ,
又知平面 的一个法向量 ,则点 到平面 的距离为 .
5. C
由题意得 ,则 , 整理得 ,则点 的轨迹为双曲线.
故选:
6.
曲线 等价于 ; 可知其表示为圆 的右半部分,圆心 ,半径为 2,上顶点 , 表示曲线上的点 到直线 的距离的 5 倍,如下图:
圆心 到直线 的距离为 ,
顶点 到直线 的距离为 .
则 的最大值为 ， 的最小值为 ，
故 的取值范围为 .
故选: B
7. A
不妨设点 在第一象限,设直线 与 轴交于点 ,
且由题可知 ,
设 ,则 ,
又 ,
所以
当且仅当 ,即 时取等号,故 ,
因此 ,即 ,则 ,
所以离心率 .
故选: A
8. A
以 为原点, 所在直线为 轴建立如图所示空间直角坐标系,
则 ,
则 ,
设平面 交侧棱 于点 ,
令 ,则 ,则 ,
由 ,则 ,
所以 ,
由题意, 四点共面,
所以存在实数 ,使得
则 ,解得 ,
所以 .
则 ，所以 ，
因为 ,所以 ,
所以四边形 的面积为 .
9. AC
对于 ,直线 的倾斜角为 ,斜率为 ,一个方向向量是 正确;
对于 ,直线 ,即 ,恒过定点 错误;
对于 ,当 时,显然 ,当 时, ,所以 正确; 对于 ,截距式 不能表示截距为 0 的直线, D 错误.
10. ABD
选项 A: 由题意得 ,
化简得 ,故 A 正确;
选项 B: 把方程中的 换成 ，方程不变，所以 的轨迹关于 轴对称，故 B 正确；
选项 C: 由题意 ，
则 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,故 错误;
选项 D: 由 ,
得 ,解得 ,
所以 ,
则 的取值范围为 ,故 正确.
故选: ABD.
11. ABD
在双曲线 中, 则 ,故 .
设 ,若 ,
且 ,则 ,所以 项正
确;
过点 作 ,如图所示,
由光的反射原理可知, ,
所以 ,故 平分 , B 项正确;
故当 过点 时,
光线由 到 再到 所经过的路程为 项错误;
若 ,则 ,设 ,则 ,
因为 ,
且 ,
所以 ,即 ,解得 项正确.
12.
由题设知椭圆中 ,则 ,则焦点为 ,
所以双曲线中 ,且焦点在 轴上,
又离心率 ,解得 ,
故 ,
所以双曲线的方程为 .
故答案为:
13.
如图,取 的中点 ,连接 .
因为 ，所以 ， ，
所以 为平面 与平面 所成二面角的平面角,
又 ,
所以 ,
则 ,所以 为等边三角形,所以 .
因为 ,
所以 ,
所以 ,
,
即 ,得 ,
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
14.
可化为 ,
所以 表示圆心为 ,半径为 2 的圆上的点.
所以 的几何意义是圆 上的点 与 的距离的平方减 8,
所以 ,
所以 .
15.
(2)
(1)若 ，得 ，解得 .
(2)由 ，得 ，解得 ，
因为 ,所以 或 ,此时直线 与 的纵截距分别为 和 .
因为当 时, ,此时两直线重合,
因为当 时, ,此时 ,
故 .
16. (1) .
(2) .
(1)由题可知 ，解得 (舍去)或 ，
故抛物线 的方程为 ;
(2)由 ，两式相减得 ，即 .
因为线段 的中点坐标为 ,所以 ,则 ,
故直线 为 .
联立 ,得 ,
解得 或 ,
所以 ,所以 .
17.(1)证明:因为 底面 ,且 底面 ,所以 ,
因为 为正方形,所以 ,又 平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 ,所以 .
由 为线段 的中点，可知 ,
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ,所以平面 平面 .
(2)因为 底面 ，且 ，所以以 为坐标原点，以 所在的直线分别为 轴、 轴和 轴,建立空间直角坐标系 ,如图所示.
设 ,则 ,
所以 .
设平面 的法向量为 ,则 ,
取 ，可得 ，所以
设直线 与平面 所成的角为 ,
所以 ,
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18.
(2)
(1) 设点 . 由 ,
可得 ,整理可得 ,
化为标准方程可得 ,所以点 的轨迹方程为圆 ;
(2)由阿波罗尼斯圆的定义可知，若 为定值，
则点 的轨迹 (即圆 ) 应为 的阿波罗尼斯圆,
当 分别位于 和 时, 满足为定值,
可得 ,解得 (舍去)或 ,所以 .
设点 ,因为 ,
所以可得 ,经验算,当点 的坐标为 时,满足 , 故存在点 ，使得 为定值 ，此时 .
19.
(1)由题意可知，圆 的圆心 ,半径 ,圆 的圆心 ,半径 ,
由条件可得 ,即 ,
即根据双曲线的定义可知点 是以 为焦点,以 8 为实轴长的双曲线的上支,
则 ,可得 ,
故圆心 的轨迹方程为 .
(2)显然直线 的斜率存在.
① 当 斜率为 0 时，可知直线方程为 ，代入双曲线方程可解得 ；
所以 ,则 .
②证明: 当 的斜率不为 0 时,设直线 的方程为 ,点 ,如下图:
联立与双曲线的方程得 ,易知 ,
则 ,
因为直线与双曲线交于上支两点,所以 ,
则 .
设直线 的方程为 ,联立与双曲线的方程得 ,
可得 .
故 为定值 .