安徽合肥市“校集团”2026届高三下学期第一次模拟考试数学试题(含答案)
文档属性
| 名称 | 安徽合肥市“校集团”2026届高三下学期第一次模拟考试数学试题(含答案) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 331.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-22 00:00:00 | ||
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文档简介
合肥市“校集团”2026 届高三下学期数学第一次模拟考试
(考试时间: 120 分钟满分: 150 分)
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 命题“ ”的否定为( )
A. B.
C. D.
3. 若不等式 恒成立，则 的取值集合为( )
A. B.
C. D.
4. 已知 为等差数列， ，则 ( )
A. 12 B. C. D.
5. 已知 ，则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
6. 如图,四边形 为矩形, . 是等边三角形, 是等腰直角三角形， . 将 和 分别沿虚线 和 翻折，且保持平面 平面 . 当 平面 时，平面 与平面 的距离等于( )
A. B. C. D.
7. 已知 ,若向量 与向量 互相垂直,则 ( )
A. B. C. 5 D.
8. 已知直线 ,圆 ,过 上一点 作 的两条切线,切点分别为 ,使四边形 的面积为 的点 有且仅有一个,则此时直线 的方程为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选 项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分.
9. 据网络平台最新数据, 截止到 2025 年 4 月 20 日 14 时 10 分, 电影《哪吒之魔童闹海》 总票房(含点映、预售及海外票房)已超 149.81 亿元，成为首部进入全球票房榜前六. 登顶动画票房榜榜首的亚洲电影. 一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取 10000 人为样本, 统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，则()
A.
B. 观众年龄的众数估计为 35
C. 观众年龄的平均数估计为 30.2
D. 观众年龄的第 70 百分位数估计为 38
10. 的展开式中，则( )
A. 的系数为 -10 B. 第 3 项与第 4 项的二项式系数相等
C. 所有项的二项式系数和为 32 D. 所有项的系数和为 32
11. 如图,长方形的长为 ,宽为 分别为长方形四条边中点,沿 , 折叠，使长方形的四个顶点重合于点 ，所得四面体 称为“萨默维尔”四面体，在此四面体中，下列结论正确的是( )
A.
B. 平面 平面
C. 直线 与平面 所成角为
D. 平面 与平面 的夹角为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 在 中，角 的对边分别是 ，若 ，则 _____.
13. 某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有1个或0个相邻的装饰品, 则不同的取法数有_____种.
14. 斐波那契数列,又称黄金分割数列,指的是这样一个数列: ,在数学上,斐波那契数列以如下递推的方式定 ,已知 且 ，则 中所有元素之和为奇数的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 在锐角 中，角 、 、 所对应的边分别为 、 、 . 已知 ， .
(1)若 ，求 的面积；
(2)求 的周长的取值范围.
16. 有一摸球游戏如下:盒子中有红、黄、绿三种颜色的球各 3 个，球除颜色外其他均相同，
两人摸球，规定每人一次从盒中摸 3 个球，第二人从第一人摸球后剩余的 6 个球中再摸 3 个球.记每个人摸到的 3 个球中颜色相同的球的最大数量为其得分, 规定得分高者获胜.现有甲、 乙二人参与此摸球游戏,记甲、乙的得分分别为 .
(1)若甲先摸球，求 的分布列及其数学期望；
(2)在甲先摸球的情况下，分别计算甲获胜的概率 和乙获胜的概率 ，并判断参赛者获胜的概率是否受摸球先后顺序的影响.
17. 如图,圆台的下底面圆 的半径为 为圆 的内接正方形. 为上底面圆 上两点, 为 的中点,且平面 平面 .
(1)求证: ；
(2)若 ，求 与平面 所成角正弦值的最大值.
18. 已知 ,点 是 上的任意一点，线段 的垂直平分线与直线 相交于点 ,设点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2) 与 轴不重合的直线 过点 ,曲线 上存在两点 关于直线 对称,且 的中点 的横坐标为 .
① 求 的值;
②若 均在 轴右侧,且直线 过点 ,求 的取值范围.
① 求 的值；
②若 均在 轴右侧,且直线 过点 ,求 的取值范围.
19. 已知函数 .
(1)讨论 的单调性:
(2)若 恰有两个零点 ，且
(i) 求 的取值范围;
(ii) 设 在定义域内单调递增,求出 与 的函数关系式,并证明
1. B
由题知, ,则 ,故 . 故选: B.
2. D
命题“ ”是全称量词命题，其否定是特称量词，改量词否定结论. 所以命题“ ”的否定为“ ”.
故选: D.
3. A
设 ,则 .
原不等式可化为: .
因为 ,所以 .
当 时, ,所以 在 恒成立,所以 ;
当 时, ,所以 成立;
当 时, ,所以 在 上恒成立,所以 .
综上可得: .
故选: A
4. A
因为 为等差数列,设公差为 .
则 ,所以 .
所以 .
故选: A
5. D
,
由 ,得 ,则 ,即 ;
所以 .
故选: D
6. C
如图所示，
取 中点 ， 中点 ，连接 ， ， ， ，
由 是等边三角形, 是等腰直角三角形, ,
则 ,
又 ,
平面 ,
所以 平面 ,
所以平面 平面 ,平面 平面 ,平面 平面 ,
又 平面 ，且 平面 ，平面 平面 ，
所以 ,
又平面 平面 ,且平面 平面 ,平面 平面 , 所以 ,
则作出平面 如图所示,
设 ,
则 ，
所以 ，
又 ,
则 ,
由 ,
所以 ,
设过点 作 与 , 分别交于点 ,
则 即为两平面间距离,
故选: C.
7. C
因为 ,显然 均不为 0, 所以 ,即 ,所以 ,
所以 ,
因为向量 与向量 互相垂直，
所以
则 ,又 ,解得 .
故选:
8.
如图, ,解得 ,
所以 ,
因这样的点 有且仅有一个,由图知此时 ,
则圆心 到直线 的距离为 6,
即 ,化简得 ,其中 ,
,则 ,
,
所以 ,即 ,则直线 的斜率为 ,
所以直线 ,即 ,
联立 ,解得 ,即 ,
因 的中点坐标为 ,且 ,
则以 为直径的圆的方程为 ,
整理得 ,
易知直线 是圆 与以 为直径的圆的公共弦所在直线,
将两圆的方程相减得 ,
故直线 的方程为 .
故选: B.
9. BD
由题意知 ,解得 ,故 A 错误;
观众年龄的众数估计是 ,故 正确;
估计这 10000 名观众年龄的平均数为
,故 错误;
前 3 组的频率之和为 ,
前 4 组的频率之和为 ,
故第 70 百分位数位于第 4 组,设其为 ,
则 ,解得 ,
即第 70 百分位数为 38 , 故 D 正确.
故选: BD
10. ABC
A 选项, 展开式第 项 ,
时, , A 对;
选项，第 3 项二项式系数为 ，第 4 项的二项式系数为 ，两者相同， 对.
选项,所有项的二项式系数和为 对.
D 选项， 时， ，即所有项的系数和为-1，D 错；
故选: ABC
11. ACD
对于 ,由题意可得, ,
由题意可知 是 的中点,连接 ,
又 ,所以 ,
平面 ,故 平面 ,
平面 ,故 , 正确,
对于 ,由于 ,
则 ,所以 ,
又 平面 ,所以 平面 ,
故 为直线 与平面 所成角， ，故 ，故 正确， 对于 ,过 作 于 ,连接 ,
由于 平面 平面 ,故 ,
又 平面 ,故 平面 ,
因为 平面 ,故 ,
故 为平面 与平面 的夹角,
由等面积法可得 ,
又 ,故 ,故 正确,
对于 ,由于 平面 ,而 平面 ,且 与平面 不平行,
故平面 与平面 不垂直,故 错误
故选: ACD
12. 2
因为 ,由正弦定理,可得 ,
所以 ,又因为 ,所以 ,
所以 ,又由正弦定理,可得 ,即 ,
因为 ,所以 .
13. 216
将这 7 个小球编号如下图所示:
分以下两种情况讨论:
第一种,第一步,先取 号球,第二步,再取 号球依次取 2 个球,
最后一步,从剩余两球依次摸取,此时不同的抽法种数为 种;
第二种,将 视为三个整体,
前三个球从其中一个整体和每支不与 3 号球相邻的小球中依次摸取, 有 6 种,
以 1、2、5 为例，可依次为 ,共 3 种,
剩余 3、4、6、7 号球, 先从 4、7 号球中摸一个, 有 2 种情况,
比如先取 7 号球, 剩余三个相邻的小球, 接下来从 4、6 号球中取一个, 有 2 种情况,
最后剩余两球摸取的先后顺序任意,
此时,不同的取法种数为 .
综上所述，不同的取法种数为 种.
故答案为: 216 .
14.
由斐波那契数列规律可知,集合 中的元素有 675 个偶数,1350 个奇数,记 A 中所有偶数组成的集合为 ,所有奇数组成的集合为 ,集合 的子集为 , 集合 中含有奇数个元素的子集为 ,则所有元素之和为奇数的集合 ,可看成 ,显然集合 共有个 ,集合 共有 个,
所以所有元素之和为奇数的集合 共有 个,
又集合 的非空子集共有 个,
所以 中所有元素之和为奇数的概率为 .
故答案为: .
15.
(2)
(1)由正弦定理可得 ，即 ，
因为 ,所以 ,
又 ,即 ,
展开可得 ,
即 ,即 ,
又 ,所以 ,且 ,
所以 为等边三角形，
则 .
(2)由正弦定理可得
又因为 为锐角三角形，则 ，解得 ， 则 ,
其中 ,
所以 ,
所以 的周长 .
16. (1)在甲先摸球的情况下, 记甲摸到的三种颜色的球的数量由多到少分别为
,则 ,且 可能的取值有 ,
则 ,
故 的分布列为
1 2 3
9 14
在甲先摸球的情况下,记乙摸到的三种颜色的球的数量由多到少分别为 , 则 ,且 可能的取值有 ,
则 ,
故 的分布列为
1 2 3
9 28 9 14
(2)在甲先摸球的情况下，由题意，
则 ,即先摸球和后摸球获胜的概率一样,
故参赛者获胜的概率不受摸球先后顺序的影响.
17.(1)
证明: 取 的中点 ,连 交 于 .
在正方形 中,由于 为 的中点,
可得 ，则 ，
因为 ，所以 ，
得到 ,即 .
因为 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,故 .
由于平面 平面 ,平面 平面 ,
,故 平面 ,又 平面 ,则 .
因为 平面 ,
所以 平面 ,又因为 平面 ,
则 ,又点 是 的中点,故 .
(2)由于圆 的半径为 ，则正方形 的边长为 2,
又 ,则 .
以 为坐标原点,过点 作 平行的直线分别为 轴, 轴, 所在的直线为 轴建立如图空间直角坐标系.
则 ,
易求上底面圆的半径为 1,故 .
故 .
设平面 的法向量为 ,由 ,得
取 ,故 ,
设 与平面 所成角为 ,则 ,
令 得 ,
所以 在 上单调递增,
故 .
所以 与平面 所成角正弦值的最大值为 .
18.
(2)①4 ; ②
( 1 ) 的圆心为 ，半径 ，因为点 在线段 的垂直平分线上,所以 ,由题意,点 在线段 的延长线或反向延长线上,
所以 ,
所以动点 在以 为焦点的双曲线上,设双曲线方程为 ,
则 ,所以 ,
所以点 的轨迹方程,即曲线 的方程为 ;
(2)① 设 ， ， ，则 ， 所以 ,即 , 即 ,因为 关于直线 对称,所以 ,所以 , 即 ,因为 ,所以 ,所以 ;
②依题意直线 的斜率存在，设其方程为 ，由 ，
整理得 ,由 ,
所以 ,
则 ,所以 ,
则 ,因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
在 Rt 中, ,
又 均在 轴的右侧,所以 ,
解得 ,所以 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
即 的取值范围为 .
19. (1)因为 的定义域为 ,所以
当 时, 在 上单调递增,
当 时, 在 上单调递增,
在 上单调递减,
综上所述,当 时, 在 上单调递增,当 时, 在 上单调递增, 在 上单调递减.
(2)(i)由(1)知，需满足 ， 在 处取得极大值，且 ， ,令 ,显然 在 上单调递减,
所以 ,又因为 ,
所以 在 和 上各有一个零点,且 ,
综上所述, .
(ii) ,
所以 恒成立,
当 时, 不能恒成立,所以 ,
由均值不等式知: ,且 时等号成立,
所以 ,(*)
当因为 ,则 ,所以不等式 (*) 要成立,则 ,
得 ,此时 .
因为 ,所以
整理得 ,即 ,又 ,
所以 ,由 (1) 得, .
(考试时间: 120 分钟满分: 150 分)
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 命题“ ”的否定为( )
A. B.
C. D.
3. 若不等式 恒成立，则 的取值集合为( )
A. B.
C. D.
4. 已知 为等差数列， ，则 ( )
A. 12 B. C. D.
5. 已知 ，则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
6. 如图,四边形 为矩形, . 是等边三角形, 是等腰直角三角形， . 将 和 分别沿虚线 和 翻折，且保持平面 平面 . 当 平面 时，平面 与平面 的距离等于( )
A. B. C. D.
7. 已知 ,若向量 与向量 互相垂直,则 ( )
A. B. C. 5 D.
8. 已知直线 ,圆 ,过 上一点 作 的两条切线,切点分别为 ,使四边形 的面积为 的点 有且仅有一个,则此时直线 的方程为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选 项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分.
9. 据网络平台最新数据, 截止到 2025 年 4 月 20 日 14 时 10 分, 电影《哪吒之魔童闹海》 总票房(含点映、预售及海外票房)已超 149.81 亿元，成为首部进入全球票房榜前六. 登顶动画票房榜榜首的亚洲电影. 一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取 10000 人为样本, 统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，则()
A.
B. 观众年龄的众数估计为 35
C. 观众年龄的平均数估计为 30.2
D. 观众年龄的第 70 百分位数估计为 38
10. 的展开式中，则( )
A. 的系数为 -10 B. 第 3 项与第 4 项的二项式系数相等
C. 所有项的二项式系数和为 32 D. 所有项的系数和为 32
11. 如图,长方形的长为 ,宽为 分别为长方形四条边中点,沿 , 折叠，使长方形的四个顶点重合于点 ，所得四面体 称为“萨默维尔”四面体，在此四面体中，下列结论正确的是( )
A.
B. 平面 平面
C. 直线 与平面 所成角为
D. 平面 与平面 的夹角为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 在 中，角 的对边分别是 ，若 ，则 _____.
13. 某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有1个或0个相邻的装饰品, 则不同的取法数有_____种.
14. 斐波那契数列,又称黄金分割数列,指的是这样一个数列: ,在数学上,斐波那契数列以如下递推的方式定 ,已知 且 ，则 中所有元素之和为奇数的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 在锐角 中，角 、 、 所对应的边分别为 、 、 . 已知 ， .
(1)若 ，求 的面积；
(2)求 的周长的取值范围.
16. 有一摸球游戏如下:盒子中有红、黄、绿三种颜色的球各 3 个，球除颜色外其他均相同，
两人摸球，规定每人一次从盒中摸 3 个球，第二人从第一人摸球后剩余的 6 个球中再摸 3 个球.记每个人摸到的 3 个球中颜色相同的球的最大数量为其得分, 规定得分高者获胜.现有甲、 乙二人参与此摸球游戏,记甲、乙的得分分别为 .
(1)若甲先摸球，求 的分布列及其数学期望；
(2)在甲先摸球的情况下，分别计算甲获胜的概率 和乙获胜的概率 ，并判断参赛者获胜的概率是否受摸球先后顺序的影响.
17. 如图,圆台的下底面圆 的半径为 为圆 的内接正方形. 为上底面圆 上两点, 为 的中点,且平面 平面 .
(1)求证: ；
(2)若 ，求 与平面 所成角正弦值的最大值.
18. 已知 ,点 是 上的任意一点，线段 的垂直平分线与直线 相交于点 ,设点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2) 与 轴不重合的直线 过点 ,曲线 上存在两点 关于直线 对称,且 的中点 的横坐标为 .
① 求 的值;
②若 均在 轴右侧,且直线 过点 ,求 的取值范围.
① 求 的值；
②若 均在 轴右侧,且直线 过点 ,求 的取值范围.
19. 已知函数 .
(1)讨论 的单调性:
(2)若 恰有两个零点 ，且
(i) 求 的取值范围;
(ii) 设 在定义域内单调递增,求出 与 的函数关系式,并证明
1. B
由题知, ,则 ,故 . 故选: B.
2. D
命题“ ”是全称量词命题，其否定是特称量词，改量词否定结论. 所以命题“ ”的否定为“ ”.
故选: D.
3. A
设 ,则 .
原不等式可化为: .
因为 ,所以 .
当 时, ,所以 在 恒成立,所以 ;
当 时, ,所以 成立;
当 时, ,所以 在 上恒成立,所以 .
综上可得: .
故选: A
4. A
因为 为等差数列,设公差为 .
则 ,所以 .
所以 .
故选: A
5. D
,
由 ,得 ,则 ,即 ;
所以 .
故选: D
6. C
如图所示，
取 中点 ， 中点 ，连接 ， ， ， ，
由 是等边三角形, 是等腰直角三角形, ,
则 ,
又 ,
平面 ,
所以 平面 ,
所以平面 平面 ,平面 平面 ,平面 平面 ,
又 平面 ，且 平面 ，平面 平面 ，
所以 ,
又平面 平面 ,且平面 平面 ,平面 平面 , 所以 ,
则作出平面 如图所示,
设 ,
则 ，
所以 ，
又 ,
则 ,
由 ,
所以 ,
设过点 作 与 , 分别交于点 ,
则 即为两平面间距离,
故选: C.
7. C
因为 ,显然 均不为 0, 所以 ,即 ,所以 ,
所以 ,
因为向量 与向量 互相垂直，
所以
则 ,又 ,解得 .
故选:
8.
如图, ,解得 ,
所以 ,
因这样的点 有且仅有一个,由图知此时 ,
则圆心 到直线 的距离为 6,
即 ,化简得 ,其中 ,
,则 ,
,
所以 ,即 ,则直线 的斜率为 ,
所以直线 ,即 ,
联立 ,解得 ,即 ,
因 的中点坐标为 ,且 ,
则以 为直径的圆的方程为 ,
整理得 ,
易知直线 是圆 与以 为直径的圆的公共弦所在直线,
将两圆的方程相减得 ,
故直线 的方程为 .
故选: B.
9. BD
由题意知 ,解得 ,故 A 错误;
观众年龄的众数估计是 ,故 正确;
估计这 10000 名观众年龄的平均数为
,故 错误;
前 3 组的频率之和为 ,
前 4 组的频率之和为 ,
故第 70 百分位数位于第 4 组,设其为 ,
则 ,解得 ,
即第 70 百分位数为 38 , 故 D 正确.
故选: BD
10. ABC
A 选项, 展开式第 项 ,
时, , A 对;
选项，第 3 项二项式系数为 ，第 4 项的二项式系数为 ，两者相同， 对.
选项,所有项的二项式系数和为 对.
D 选项， 时， ，即所有项的系数和为-1，D 错；
故选: ABC
11. ACD
对于 ,由题意可得, ,
由题意可知 是 的中点,连接 ,
又 ,所以 ,
平面 ,故 平面 ,
平面 ,故 , 正确,
对于 ,由于 ,
则 ,所以 ,
又 平面 ,所以 平面 ,
故 为直线 与平面 所成角， ，故 ，故 正确， 对于 ,过 作 于 ,连接 ,
由于 平面 平面 ,故 ,
又 平面 ,故 平面 ,
因为 平面 ,故 ,
故 为平面 与平面 的夹角,
由等面积法可得 ,
又 ,故 ,故 正确,
对于 ,由于 平面 ,而 平面 ,且 与平面 不平行,
故平面 与平面 不垂直,故 错误
故选: ACD
12. 2
因为 ,由正弦定理,可得 ,
所以 ,又因为 ,所以 ,
所以 ,又由正弦定理,可得 ,即 ,
因为 ,所以 .
13. 216
将这 7 个小球编号如下图所示:
分以下两种情况讨论:
第一种,第一步,先取 号球,第二步,再取 号球依次取 2 个球,
最后一步,从剩余两球依次摸取,此时不同的抽法种数为 种;
第二种,将 视为三个整体,
前三个球从其中一个整体和每支不与 3 号球相邻的小球中依次摸取, 有 6 种,
以 1、2、5 为例，可依次为 ,共 3 种,
剩余 3、4、6、7 号球, 先从 4、7 号球中摸一个, 有 2 种情况,
比如先取 7 号球, 剩余三个相邻的小球, 接下来从 4、6 号球中取一个, 有 2 种情况,
最后剩余两球摸取的先后顺序任意,
此时,不同的取法种数为 .
综上所述，不同的取法种数为 种.
故答案为: 216 .
14.
由斐波那契数列规律可知,集合 中的元素有 675 个偶数,1350 个奇数,记 A 中所有偶数组成的集合为 ,所有奇数组成的集合为 ,集合 的子集为 , 集合 中含有奇数个元素的子集为 ,则所有元素之和为奇数的集合 ,可看成 ,显然集合 共有个 ,集合 共有 个,
所以所有元素之和为奇数的集合 共有 个,
又集合 的非空子集共有 个,
所以 中所有元素之和为奇数的概率为 .
故答案为: .
15.
(2)
(1)由正弦定理可得 ，即 ，
因为 ,所以 ,
又 ,即 ,
展开可得 ,
即 ,即 ,
又 ,所以 ,且 ,
所以 为等边三角形，
则 .
(2)由正弦定理可得
又因为 为锐角三角形，则 ，解得 ， 则 ,
其中 ,
所以 ,
所以 的周长 .
16. (1)在甲先摸球的情况下, 记甲摸到的三种颜色的球的数量由多到少分别为
,则 ,且 可能的取值有 ,
则 ,
故 的分布列为
1 2 3
9 14
在甲先摸球的情况下,记乙摸到的三种颜色的球的数量由多到少分别为 , 则 ,且 可能的取值有 ,
则 ,
故 的分布列为
1 2 3
9 28 9 14
(2)在甲先摸球的情况下，由题意，
则 ,即先摸球和后摸球获胜的概率一样,
故参赛者获胜的概率不受摸球先后顺序的影响.
17.(1)
证明: 取 的中点 ,连 交 于 .
在正方形 中,由于 为 的中点,
可得 ，则 ，
因为 ，所以 ，
得到 ,即 .
因为 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,故 .
由于平面 平面 ,平面 平面 ,
,故 平面 ,又 平面 ,则 .
因为 平面 ,
所以 平面 ,又因为 平面 ,
则 ,又点 是 的中点,故 .
(2)由于圆 的半径为 ，则正方形 的边长为 2,
又 ,则 .
以 为坐标原点,过点 作 平行的直线分别为 轴, 轴, 所在的直线为 轴建立如图空间直角坐标系.
则 ,
易求上底面圆的半径为 1,故 .
故 .
设平面 的法向量为 ,由 ,得
取 ,故 ,
设 与平面 所成角为 ,则 ,
令 得 ,
所以 在 上单调递增,
故 .
所以 与平面 所成角正弦值的最大值为 .
18.
(2)①4 ; ②
( 1 ) 的圆心为 ，半径 ，因为点 在线段 的垂直平分线上,所以 ,由题意,点 在线段 的延长线或反向延长线上,
所以 ,
所以动点 在以 为焦点的双曲线上,设双曲线方程为 ,
则 ,所以 ,
所以点 的轨迹方程,即曲线 的方程为 ;
(2)① 设 ， ， ，则 ， 所以 ,即 , 即 ,因为 关于直线 对称,所以 ,所以 , 即 ,因为 ,所以 ,所以 ;
②依题意直线 的斜率存在，设其方程为 ，由 ，
整理得 ,由 ,
所以 ,
则 ,所以 ,
则 ,因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
在 Rt 中, ,
又 均在 轴的右侧,所以 ,
解得 ,所以 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
即 的取值范围为 .
19. (1)因为 的定义域为 ,所以
当 时, 在 上单调递增,
当 时, 在 上单调递增,
在 上单调递减,
综上所述,当 时, 在 上单调递增,当 时, 在 上单调递增, 在 上单调递减.
(2)(i)由(1)知，需满足 ， 在 处取得极大值，且 ， ,令 ,显然 在 上单调递减,
所以 ,又因为 ,
所以 在 和 上各有一个零点,且 ,
综上所述, .
(ii) ,
所以 恒成立,
当 时, 不能恒成立,所以 ,
由均值不等式知: ,且 时等号成立,
所以 ,(*)
当因为 ,则 ,所以不等式 (*) 要成立,则 ,
得 ,此时 .
因为 ,所以
整理得 ,即 ,又 ,
所以 ,由 (1) 得, .
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