安徽合肥市第一中学2026届高三下学期数学素质扩展训练（三）(含答案)
文档属性
| 名称 | 安徽合肥市第一中学2026届高三下学期数学素质扩展训练（三）(含答案) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 373.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-22 00:00:00 | ||
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文档简介
合肥一中 2026 届高三第二学期 数学素质扩展训练 (三)
(考试时间:120 分钟 满分:150 分)
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 是绝对值小于 3 的整数 ， ，则 的元素个数为( )
A. 1 B. 3 C. 7 D. 8
2. 命题“ ”的否定是( )
A. B.
C. D.
3. 已知向量 满足 ，则向量 与 的夹角为( )
A. B. C. D.
4. 已知锐角 满足 ，则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知数列 为等差数列,其前 项和分别为 ,且满足 ，则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知点 是圆 上一点,直线 与圆 相交于 两点,则 的最大值为 ( )
A. B. C. D.
7. 函数 的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
8. 如果方程 能确定 是 的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数. 隐函数的求导方法如下: 在方程 中,把 看成 的函数 ,则方程可看成关于 的恒等式 ,在等式两边同时对 求导,然后解出 即可. 例如,求由方程 所确定的隐函数的导数 ,将方程 的两边同时对 求导,则 是中间变量,需要用复合函数的求导法则),得 . 那么曲线 在点 处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个 选项中, 有多项符合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分.
9. 已知 ,则( )
A. B.
C. D.
10. 如图,已知正方体 的棱长为 是正方形 (包括边界) 底面内的一动点, 则下列结论正确的有( )
A. 三棱锥 的体积为定值
B. 存在点 ,使得
C. 若 ,则 点在正方形 内的运动轨迹长度为
D. 若点 为 的中点，点 为 的中点，过 ， 作平面 平面 ，则平面 截正方体 所得截面的面积为
11. 已知椭圆 分别是椭圆 的左右焦点, 是原点, 是椭圆 上任意一点, 下列说法正确的有( )
A. 的周长是
B. 时, 的面积是
C. 的最大值是 2
D. 过 作椭圆 的切线与 轴和 轴分别交于 两点,则 面积的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 圆台母线长为 3，上、下底面半径比为1:2，当圆台体积最大时，以此圆台的上、下底面为截面的球的表面积为_____.
13. 下图是由七个圆和八条线段构成的图形 (该图形不能旋转和翻转), 其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”. 若将 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字分别填入这七个圆中, 且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字, 则符合要求的填法共有_____种.
14. 草坪上有一个带有围栏的边长为 的正三角形活动区域 ,点 在边 上,且 ，小王同学在该区域玩耍，他在 处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角(任两条光线的最大夹角)为 ，则手电筒在 内部所能照射到的地面的最大面积为
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知 为数列 的前 项和,若 ,且数列 为等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的首项为 2，且 ，求数列 的前 项和 .
16. 已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有 1 个红球和 3 个白球，乙袋内有 2 个红球和 2 个白球. 根据下列规则进行连续有放回的摸球 (每次只摸 1 个球): 先随机选择一个袋子摸球. 若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球.
(1)按照上述规则摸球 3 次. 当第 1 次选中的是甲袋，求摸到红球的个数 的分布列及期望 ;
(2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到 2 次红球则停止摸球. 求 3 次之内(含 3 次)停止摸球的概率.
17. 如图,在四棱锥 中,底面 为菱形, 分别为 的中点.
(1)证明: 平面 ;
(2)若平面 平面 ，平面 与平面 夹角的余弦值为 ,求点 到平面 的距离.
18. 已知函数 .
( 1 )若函数 过原点 的切线为 ，求实数 的值；
( 2 )若函数 的图象与 相交于两个不同点 ，记直线 的斜率为 .
(i) 当 时,求实数 取值范围;
(ii) 当 时,证明: .
19. 已知经过定点 的动圆 与直线 相切,记圆心 的轨迹为曲线 ,直线 与曲线 交于不同的两点 ,以 分别为切点作曲线 的切线 与 的交点为 .
(1)求点 的轨迹方程；
(2)设点 ，连接 ，分别与曲线 的另一个交点为 ，直线 与 轴相交于 ,连接 ,分别与曲线 的另一个交点为 ,直线 与 轴相交于 ,连接 ,分别与曲线 的另一个交点为 ,直线 与 轴相交于 ,已知 .
(i) 求数列 的通项;
(ii) 已知 为数列 的前 项和,求使不等式 成立时, 的最小值.
1. C
是绝对值小于 3 的整数,即满足 ( 为整数),可得 , 已知 ,根据并集定义,得: 因此， 共 7 个元素.
2. A
根据存在量词命题的否定为全称量词命题,
则命题“ ”的否定为“ ”,
故选: A.
3. B
因为 ,
所以 ,解得 ,
所以 ,
所以 ,又 ,
所以向量 与 的夹角为 ,
故选: B
4. C
由 , 可得 为锐角,
可得 .
故选: C.
5. C
等差数列前 项和 ,
所以 ,
由等差数列性质知 ,
所以 .
又 ,
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
令等差数列 的公差为 ,等差数列 的公差为 ,
则 ①， ②， ③，
由②得, ,由③得, ,
代入①中，整理得， ，所以 ，故 .
故选: C.
6. D
依题意,直线 可化为 ,所以直线 过定点 ; 圆 的圆心为 ,半径为 ,所以 ,所以定点 在圆 的内部;
如上图 (左),作 的中点 ,则 ,所以 ;
如上图 (中),在 中, ,当 与 重合时取等号,此时 ; 如上图 (右),在 中, ,当 与 共线时取等号;
所以 . 当 与 重合,且 共线时取等号.
故选: D.
7. D
,
,则 ,即定义域为 ,
设 ,则 ,
故 为偶函数,图象关于 轴对称,排除 BC,
当 时, ,排除 ,
所以选项 D 正确.
8. B
由给定定义得,对 左右两侧同时求导,
可得 ,将点 代入,得 ,
解得 ,故切线斜率为 ,得到切线方程为 ,
化简得方程为 ,故 B 正确.
故选: B
9. AD
由 ,
令 得 , A 选项正确.
令 得 , B 选项错误.
二项式 展开式的通项公式为 ,
由此可知 是负数, 为正数,
所以令 得 ,
即 , 选项错误
由 ,
两边求导得 ,
令 得 ,所以 选项正确.
故选: AD
10. ACD
对于 ,在正方体 中,平面 平面 ,
则点 到平面 距离为定值, 的面积为定值, 为定值, 正确;
对于 ,建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,
设 , 不垂直,因此不存在点 ,使 , B 错误;
对于 ,连接 平面 平面 ,则 ,而 , 又 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，则 .
同理得 ,又 平面 ,则 平面 , 由 ,得 平面 ,又 平面 ,因此点 轨迹为平面 与底面 交线,即为线段 ,又 , C 正确;
对于 ,取 中点为 ,连接 平面 ,
由 平行于 平面 ,得 ,又 ,则 平面 ,
又取 中点为 ,则 ,有 四点共面,则平面 平面 .
平面 即为平面 ,设平面 分别与 交于 ,
由平面 平面 ,平面 ,平面 ,
则 ,又 都是中点,则 是 中点,同理 是 中点,
于是平面 截正方体 所得截面为正六边形,又正方体棱长为 2,则 ,
所以截面面积为 ，D 正确.
故选: ACD
11. ACD
对于 ,由椭圆 知椭圆焦点在 轴上,且 ,
则 的周长是 ,故 正确;
对于 ,由椭圆的定义得 ,
由余弦定理得, ,
则 ,即 ,则 ,
所以 的面积为 ,故 B 错误;
对于 ,由 ,则 ,
当且仅当 时等号成立,故 正确;
对于 ,先证明: 椭圆 上的一点 处的切线方程为
联立 ,得 ,
点 在椭圆上, ,
,即 ,
,得 ,故直线和椭圆仅有一个公共点,
则椭圆 上的一点 处的切线方程为 .
设 ,由题意知 的切线斜率存在,则切线方程为 ,
令 ,得 ,令 ,得 ,即 ,
又 ,则 ,
即 ,当且仅当 时等号成立,
则 面积为 ，
即 的面积的最小值为 ，故 D 正确.
12.
设圆台上底半径为 ,则其下底半径为 ,高 ,
此圆台的体积 ,
求导得 ,当 时, ; 当 时, ,
函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
则当 ,即 时,此圆台体积取得最大值,
设球的半径为 ,则球心到两个截面距离分别为 ,
显然此圆台的外接球球心在两底圆心确定的直线上,
则 或 ,
解 ,无解; 解 ,得 ,
所以此圆台的外接球的表面积为 .
13. 200
将有阴影的圆分别标为 ,
由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字,
当阴影的圆中的数字为 7,6,5 时,则将 7,6,5 填在 中有 种方法,接着剩下的 4 个数字填到圆中有 种方法,所以共有 种方法;
当阴影的圆中的数字为7,6,4时,若将 4 填到 ,则接着安排 7,6 有 种方法,与 相邻的两个圆只能从1,2,3中选两个有 种方法,剩下两个数有 种填法,所以共有 种方法;
若将 4 填到 或 ,有 2 种方法,则接着安排 7,6 有 种方法,与 4 相邻的三个圆只能填1,2,3
有 种方法,剩下一个数有 1 种填法,所以共有 种方法;
当阴影的圆中的数字为 7,6,3 时,则 3 只能填到 ,则接着安排 7,6 有 种方法,与 相邻的两个圆只能安排1,2有 种方法,剩下两个数有 种填法,所以共有 种方法; 所以总共有 种填法.
故答案为: 200
14.
依题意,要使手电筒在 内部所能照射到的地面的面积最大,则光线必须经过 边,如图,在正 中, ,设 ,
由正弦定理得: ，则 ，
,则 ,
当且仅当 ,即 时取等号, 所以，最大值为 .
若 ,
若 ,
所以，最大值为 .
15.
(2)
(1)由题意: ， ，
又数列 为等差数列,设数列 的公差为 ,
由 .
所以 .
所以 .
当 时, ,
当 时, .
时,上式也成立.
所以 .
(2)因为 ，
所以 .
以上各式相乘,可得当 时, ,
又 ,所以 ,
所以 .
16.(1)法一:由题意得 的可能取值为0,1,2,3.
0 1 2 3
27 64 27 64
因此 .
法二: 由题意得 的可能取值为0,1,2,3.
又 ,故 .
因此 .
(2)设事件 “3次之内(含3次)停止摸球”，
事件 “第 1 次摸到红球,第 2 次摸到红球”;
事件 “第 1 次摸到红球,第 2 次摸到白球,第 3 次摸到红球”;
事件 “第 1 次摸到白球,第 2 次摸到红球,第 3 次摸到红球”;
事件 “首次选择甲袋是第 次摸球” ,
事件 “一直没有选择甲袋”.
则
.
.
因此 .
17.(1) 取 中点 ,连接 ,
分别为 的中点,
且 且 ,
，且 ，则四边形CEFG为平行四边形，
平面 平面 ,
平面 .
(2)取 中点 ，连接
因为 ，所以 ，
平面 平面 ， 面 ， 为交线，
平面 ，
为正三角形， ，
以 为原点，分别以 为 轴建系，如图，
设
则 ,
所以 ,
易知平面 的法向量可取 ,
设平面 的法向量为 ,
因为 ,令 ,可取 ,
所以 ,解得 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 ,
因为 ,令 ,可得 ,
所以 .
18.(1)设切点为 ,所以 ,所以 , 所以函数 在 处的切线为 , 将 代入得 ,解得
(2)(i)当 时，原问题 有两个不等实根.
法一: 设 ,
则
当 时, ,当 时,
在 递减, 递增,
法二:
,令 ,
则 在 上递增,
,使得 当 时, ,当 时,
在 上单调递减,在 上单调递增,
又 ,
设 ,则
当 时, ,当 时, ,
.
(ii) 设 ,不妨设
则 ,即
令
则 是方程 两个根.
又
欲证 ,只需证
设
则
当 时, ; 当 时, ;
在 递减, 递增,
设
下面证明
设 ,则
故 .
在 递增, ,
,
又 在 递减, ,故 .
19. (1) ;
(2) (i) ; (ii) 的最小值为 9 .
(1)依题意可知，动圆 的圆心 到点 与到直线 的距离相等， 根据抛物线定义可得曲线 是以 为焦点, 为准线的抛物线, 所以曲线 的方程为 ,则直线 经过抛物线的焦点,
设 ,联立 ,整理得 恒成立, 则 ,又 可化为 ,则 ,
所以 ,联立 ,
消 可得 ,
又因为 ,所以点 的轨迹方程为 .
(2)
(i) 设 ,则 ,
又 ,则 ,又 ,
所以 ,即直线 的方程为 ,
整理得 ,令 ,可得 ,①
同理得 的方程为 ,令 ,可得 ,②
又直线 的斜率为 ,
所以直线 的方程为 ,令 ,得 , 由①可知， ，
① ② 可得 .
于是可得 ,即 ,又因为 ,则 ,
于是 ,即 ,即 ,
即 ,又 ,
所以数列 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,
则 ,所以 ,所以 .
(ii) 由 (i) 可知, ,则 ,
所以 ,
则 ,
两式作差可得 所以 .
令 ,即 .
当 时，显然不合题意；
当 时, 随着 的增大而增大,
又 ,
则满足不等式 的 的最小值为 9 .
(考试时间:120 分钟 满分:150 分)
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 是绝对值小于 3 的整数 ， ，则 的元素个数为( )
A. 1 B. 3 C. 7 D. 8
2. 命题“ ”的否定是( )
A. B.
C. D.
3. 已知向量 满足 ，则向量 与 的夹角为( )
A. B. C. D.
4. 已知锐角 满足 ，则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知数列 为等差数列,其前 项和分别为 ,且满足 ，则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知点 是圆 上一点,直线 与圆 相交于 两点,则 的最大值为 ( )
A. B. C. D.
7. 函数 的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
8. 如果方程 能确定 是 的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数. 隐函数的求导方法如下: 在方程 中,把 看成 的函数 ,则方程可看成关于 的恒等式 ,在等式两边同时对 求导,然后解出 即可. 例如,求由方程 所确定的隐函数的导数 ,将方程 的两边同时对 求导,则 是中间变量,需要用复合函数的求导法则),得 . 那么曲线 在点 处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个 选项中, 有多项符合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分.
9. 已知 ,则( )
A. B.
C. D.
10. 如图,已知正方体 的棱长为 是正方形 (包括边界) 底面内的一动点, 则下列结论正确的有( )
A. 三棱锥 的体积为定值
B. 存在点 ,使得
C. 若 ,则 点在正方形 内的运动轨迹长度为
D. 若点 为 的中点，点 为 的中点，过 ， 作平面 平面 ，则平面 截正方体 所得截面的面积为
11. 已知椭圆 分别是椭圆 的左右焦点, 是原点, 是椭圆 上任意一点, 下列说法正确的有( )
A. 的周长是
B. 时, 的面积是
C. 的最大值是 2
D. 过 作椭圆 的切线与 轴和 轴分别交于 两点,则 面积的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 圆台母线长为 3，上、下底面半径比为1:2，当圆台体积最大时，以此圆台的上、下底面为截面的球的表面积为_____.
13. 下图是由七个圆和八条线段构成的图形 (该图形不能旋转和翻转), 其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”. 若将 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字分别填入这七个圆中, 且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字, 则符合要求的填法共有_____种.
14. 草坪上有一个带有围栏的边长为 的正三角形活动区域 ,点 在边 上,且 ，小王同学在该区域玩耍，他在 处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角(任两条光线的最大夹角)为 ，则手电筒在 内部所能照射到的地面的最大面积为
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知 为数列 的前 项和,若 ,且数列 为等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的首项为 2，且 ，求数列 的前 项和 .
16. 已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有 1 个红球和 3 个白球，乙袋内有 2 个红球和 2 个白球. 根据下列规则进行连续有放回的摸球 (每次只摸 1 个球): 先随机选择一个袋子摸球. 若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球.
(1)按照上述规则摸球 3 次. 当第 1 次选中的是甲袋，求摸到红球的个数 的分布列及期望 ;
(2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到 2 次红球则停止摸球. 求 3 次之内(含 3 次)停止摸球的概率.
17. 如图,在四棱锥 中,底面 为菱形, 分别为 的中点.
(1)证明: 平面 ;
(2)若平面 平面 ，平面 与平面 夹角的余弦值为 ,求点 到平面 的距离.
18. 已知函数 .
( 1 )若函数 过原点 的切线为 ，求实数 的值；
( 2 )若函数 的图象与 相交于两个不同点 ，记直线 的斜率为 .
(i) 当 时,求实数 取值范围;
(ii) 当 时,证明: .
19. 已知经过定点 的动圆 与直线 相切,记圆心 的轨迹为曲线 ,直线 与曲线 交于不同的两点 ,以 分别为切点作曲线 的切线 与 的交点为 .
(1)求点 的轨迹方程；
(2)设点 ，连接 ，分别与曲线 的另一个交点为 ，直线 与 轴相交于 ,连接 ,分别与曲线 的另一个交点为 ,直线 与 轴相交于 ,连接 ,分别与曲线 的另一个交点为 ,直线 与 轴相交于 ,已知 .
(i) 求数列 的通项;
(ii) 已知 为数列 的前 项和,求使不等式 成立时, 的最小值.
1. C
是绝对值小于 3 的整数,即满足 ( 为整数),可得 , 已知 ,根据并集定义,得: 因此， 共 7 个元素.
2. A
根据存在量词命题的否定为全称量词命题,
则命题“ ”的否定为“ ”,
故选: A.
3. B
因为 ,
所以 ,解得 ,
所以 ,
所以 ,又 ,
所以向量 与 的夹角为 ,
故选: B
4. C
由 , 可得 为锐角,
可得 .
故选: C.
5. C
等差数列前 项和 ,
所以 ,
由等差数列性质知 ,
所以 .
又 ,
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
令等差数列 的公差为 ,等差数列 的公差为 ,
则 ①， ②， ③，
由②得, ,由③得, ,
代入①中，整理得， ，所以 ，故 .
故选: C.
6. D
依题意,直线 可化为 ,所以直线 过定点 ; 圆 的圆心为 ,半径为 ,所以 ,所以定点 在圆 的内部;
如上图 (左),作 的中点 ,则 ,所以 ;
如上图 (中),在 中, ,当 与 重合时取等号,此时 ; 如上图 (右),在 中, ,当 与 共线时取等号;
所以 . 当 与 重合,且 共线时取等号.
故选: D.
7. D
,
,则 ,即定义域为 ,
设 ,则 ,
故 为偶函数,图象关于 轴对称,排除 BC,
当 时, ,排除 ,
所以选项 D 正确.
8. B
由给定定义得,对 左右两侧同时求导,
可得 ,将点 代入,得 ,
解得 ,故切线斜率为 ,得到切线方程为 ,
化简得方程为 ,故 B 正确.
故选: B
9. AD
由 ,
令 得 , A 选项正确.
令 得 , B 选项错误.
二项式 展开式的通项公式为 ,
由此可知 是负数, 为正数,
所以令 得 ,
即 , 选项错误
由 ,
两边求导得 ,
令 得 ,所以 选项正确.
故选: AD
10. ACD
对于 ,在正方体 中,平面 平面 ,
则点 到平面 距离为定值, 的面积为定值, 为定值, 正确;
对于 ,建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,
设 , 不垂直,因此不存在点 ,使 , B 错误;
对于 ,连接 平面 平面 ,则 ,而 , 又 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，则 .
同理得 ,又 平面 ,则 平面 , 由 ,得 平面 ,又 平面 ,因此点 轨迹为平面 与底面 交线,即为线段 ,又 , C 正确;
对于 ,取 中点为 ,连接 平面 ,
由 平行于 平面 ,得 ,又 ,则 平面 ,
又取 中点为 ,则 ,有 四点共面,则平面 平面 .
平面 即为平面 ,设平面 分别与 交于 ,
由平面 平面 ,平面 ,平面 ,
则 ,又 都是中点,则 是 中点,同理 是 中点,
于是平面 截正方体 所得截面为正六边形,又正方体棱长为 2,则 ,
所以截面面积为 ，D 正确.
故选: ACD
11. ACD
对于 ,由椭圆 知椭圆焦点在 轴上,且 ,
则 的周长是 ,故 正确;
对于 ,由椭圆的定义得 ,
由余弦定理得, ,
则 ,即 ,则 ,
所以 的面积为 ,故 B 错误;
对于 ,由 ,则 ,
当且仅当 时等号成立,故 正确;
对于 ,先证明: 椭圆 上的一点 处的切线方程为
联立 ,得 ,
点 在椭圆上, ,
,即 ,
,得 ,故直线和椭圆仅有一个公共点,
则椭圆 上的一点 处的切线方程为 .
设 ,由题意知 的切线斜率存在,则切线方程为 ,
令 ,得 ,令 ,得 ,即 ,
又 ,则 ,
即 ,当且仅当 时等号成立,
则 面积为 ，
即 的面积的最小值为 ，故 D 正确.
12.
设圆台上底半径为 ,则其下底半径为 ,高 ,
此圆台的体积 ,
求导得 ,当 时, ; 当 时, ,
函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
则当 ,即 时,此圆台体积取得最大值,
设球的半径为 ,则球心到两个截面距离分别为 ,
显然此圆台的外接球球心在两底圆心确定的直线上,
则 或 ,
解 ,无解; 解 ,得 ,
所以此圆台的外接球的表面积为 .
13. 200
将有阴影的圆分别标为 ,
由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字,
当阴影的圆中的数字为 7,6,5 时,则将 7,6,5 填在 中有 种方法,接着剩下的 4 个数字填到圆中有 种方法,所以共有 种方法;
当阴影的圆中的数字为7,6,4时,若将 4 填到 ,则接着安排 7,6 有 种方法,与 相邻的两个圆只能从1,2,3中选两个有 种方法,剩下两个数有 种填法,所以共有 种方法;
若将 4 填到 或 ,有 2 种方法,则接着安排 7,6 有 种方法,与 4 相邻的三个圆只能填1,2,3
有 种方法,剩下一个数有 1 种填法,所以共有 种方法;
当阴影的圆中的数字为 7,6,3 时,则 3 只能填到 ,则接着安排 7,6 有 种方法,与 相邻的两个圆只能安排1,2有 种方法,剩下两个数有 种填法,所以共有 种方法; 所以总共有 种填法.
故答案为: 200
14.
依题意,要使手电筒在 内部所能照射到的地面的面积最大,则光线必须经过 边,如图,在正 中, ,设 ,
由正弦定理得: ，则 ，
,则 ,
当且仅当 ,即 时取等号, 所以，最大值为 .
若 ,
若 ,
所以，最大值为 .
15.
(2)
(1)由题意: ， ，
又数列 为等差数列,设数列 的公差为 ,
由 .
所以 .
所以 .
当 时, ,
当 时, .
时,上式也成立.
所以 .
(2)因为 ，
所以 .
以上各式相乘,可得当 时, ,
又 ,所以 ,
所以 .
16.(1)法一:由题意得 的可能取值为0,1,2,3.
0 1 2 3
27 64 27 64
因此 .
法二: 由题意得 的可能取值为0,1,2,3.
又 ,故 .
因此 .
(2)设事件 “3次之内(含3次)停止摸球”，
事件 “第 1 次摸到红球,第 2 次摸到红球”;
事件 “第 1 次摸到红球,第 2 次摸到白球,第 3 次摸到红球”;
事件 “第 1 次摸到白球,第 2 次摸到红球,第 3 次摸到红球”;
事件 “首次选择甲袋是第 次摸球” ,
事件 “一直没有选择甲袋”.
则
.
.
因此 .
17.(1) 取 中点 ,连接 ,
分别为 的中点,
且 且 ,
，且 ，则四边形CEFG为平行四边形，
平面 平面 ,
平面 .
(2)取 中点 ，连接
因为 ，所以 ，
平面 平面 ， 面 ， 为交线，
平面 ，
为正三角形， ，
以 为原点，分别以 为 轴建系，如图，
设
则 ,
所以 ,
易知平面 的法向量可取 ,
设平面 的法向量为 ,
因为 ,令 ,可取 ,
所以 ,解得 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 ,
因为 ,令 ,可得 ,
所以 .
18.(1)设切点为 ,所以 ,所以 , 所以函数 在 处的切线为 , 将 代入得 ,解得
(2)(i)当 时，原问题 有两个不等实根.
法一: 设 ,
则
当 时, ,当 时,
在 递减, 递增,
法二:
,令 ,
则 在 上递增,
,使得 当 时, ,当 时,
在 上单调递减,在 上单调递增,
又 ,
设 ,则
当 时, ,当 时, ,
.
(ii) 设 ,不妨设
则 ,即
令
则 是方程 两个根.
又
欲证 ,只需证
设
则
当 时, ; 当 时, ;
在 递减, 递增,
设
下面证明
设 ,则
故 .
在 递增, ,
,
又 在 递减, ,故 .
19. (1) ;
(2) (i) ; (ii) 的最小值为 9 .
(1)依题意可知，动圆 的圆心 到点 与到直线 的距离相等， 根据抛物线定义可得曲线 是以 为焦点, 为准线的抛物线, 所以曲线 的方程为 ,则直线 经过抛物线的焦点,
设 ,联立 ,整理得 恒成立, 则 ,又 可化为 ,则 ,
所以 ,联立 ,
消 可得 ,
又因为 ,所以点 的轨迹方程为 .
(2)
(i) 设 ,则 ,
又 ,则 ,又 ,
所以 ,即直线 的方程为 ,
整理得 ,令 ,可得 ,①
同理得 的方程为 ,令 ,可得 ,②
又直线 的斜率为 ,
所以直线 的方程为 ,令 ,得 , 由①可知， ，
① ② 可得 .
于是可得 ,即 ,又因为 ,则 ,
于是 ,即 ,即 ,
即 ,又 ,
所以数列 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,
则 ,所以 ,所以 .
(ii) 由 (i) 可知, ,则 ,
所以 ,
则 ,
两式作差可得 所以 .
令 ,即 .
当 时，显然不合题意；
当 时, 随着 的增大而增大,
又 ,
则满足不等式 的 的最小值为 9 .
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