安徽天一大联考2025-2026学年高二下学期3月开学考试数学试卷(含答案)

安徽天一大联考 2026 年 3 月开学考试高二数学卷 高二 3 月数学
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写 在答题卡上.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列 ,则该数列的通项公式可以为 ( )
A. B. C. D.
2. 在空间直角坐标系中,点 到 轴的距离为 ( )
A. 2 B. C. D. 3
3. 已知直线 的倾斜角分别为 ，则()
A. B. C. D.
4. 已知点 是圆 上一点，则过点 且与圆 相切的直线 的方程为( )
A. B. C. D.
5. 某质点沿直线运动,位移 (单位: ) 与时间 (单位: ) 之间的关系为 ，若质点在 这段时间内的平均速度等于 时的瞬时速度，则 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 已知 是双曲线 的下顶点,直线 与 交于 两点, 若存在 ，使得 为等边三角形，则 的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则满足 的 的最小值为( )
A. 8 B. 13 C. 14 D. 15
8. 椭圆的光学性质: 从椭圆的一个焦点发出的光线, 经椭圆反射后, 反射光线经过椭圆的另一个焦点. 设椭圆 的两个焦点分别为 ,如图,光线由点 发出射到椭圆 上的点 处,经反射后到点 ,再经过 轴反射到椭圆 上的点 ,最后反射回点 , 若光线经过的总路程为 12,且 ,则直线 的斜率为 ( )
A. B. -2 C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列求导运算正确的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
10. 如图,直四棱柱 的底面 是菱形, , 是棱 的中点,则 ( )
A.
B.
C. 在平面 内的投影向量的长度为
D. 在 上的投影向量为
11. 已知实数 满足 ,则( )
A. 的最小值为
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 当 时, 的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在等比数列 中, ,则 _____.
13. 若函数 的图象与直线 相切,则 _____.
14. 在平面直角坐标系 中,双曲线 的左、右顶点分别为 ,直线 是 的一条渐近线,将坐标平面以直线 为轴翻折,使得二面角 为 ,则翻折后线段 的长度为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知点 和 ,圆 以 为直径.
(1)求圆 的方程；
(2)已知圆 ，求圆 与圆 的公共弦长.
16. 记数列 的前 项和为 ,已知 .
(1)证明: 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
17. 如图,在三棱锥 中, 分别为 的中点.
(1)证明: ；
(2)若 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. 已知椭圆 的离心率为 分别是 的上、下顶点,且 .
(1)求 的方程.
(2)已知 是 上异于 的两个不同的点.
(i) 若 关于 轴对称,证明: 直线 与 的斜率之积为定值;
(ii) 若直线 经过点 ,证明: 直线 与 的交点在定直线上.
19. 已知 是一个项数有限的数列,从 中任意选出若干项,按原顺序组成数列 , 剩余的项按原顺序组成数列 和 都至少有 1 项, 所有项的和记为 所有项的和记为 .
(1)若 共有 3 项， ，求 的取值集合；
(2)若 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，共有 2026 项，求 的最小值；
(3)已知 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，共有 项， 有 项，求 的最大值. (结果用 表示)
1. D
根据分母 ,可知分母为 ,
观察数列各项，符号为正负交替，可表示为 ，
分子为 ,是项数的平方,即 ,
则数列的通项公式可以为 .
2. C
点 到 轴的距离为 .
3. D
由 得 ,所以 ,
又 得 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
又 ,所以 ,
所以 .
4. A
因为点 在圆 上,
所以 ,解得 ,即圆 的方程为 ,
则圆心 ，所以直线 的斜率 ，
则过点 与圆 相切的直线 的斜率为 -2,
所以直线 的方程为 ,即 .
5. B
由题意得: ,
所以质点在 这段时间内的平均速度为: ,
又 ,所以 ,解得 .
6. B
存在 为等边三角形,
则 ,
即过点 ,且斜率为 的直线与双曲线上支有交点,
可设 ,
解得 或 ,
当 时, ,
即 ,故 ,解得 ,
,
则 的离心率的取值范围为 .
7. C
由题意得 ,所以 , 所以 ,又 ,所以 ,故数列是递增的等差数列,
所以 ,因为 ,
所以 ,
又 ,所以满足 的 的最小值为 14 .
8. A
由题可知 ,
所以 ,
设 ,则 ,
根据反射规律可知: ,所以 ,
所以 ,
所以 ,
整理并化简得 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,所以直线 的斜率为
9. BD
对于 A: 若 ,则 ,故 A 错误;
对于 : 若 ,则 ,故 正确;
对于 : 若 ,则 ,故 错误;
对于 : 若 ,则 ,故 正确.
10. BCD
以 为空间向量的一组基底,根据题意,
对 A: ,故 A 错误;
对 B: 因为 ,
所以
,故 B 正确;
对 : 取 的中点 ,连接 ,则 .
因为 ,
所以 ,
又 平面 ,所以 平面 .
所以 是平面 的法向量,且 .
又 ,
所以 .
因为 .
所以 在 上的投影为: ,
在平面 内的投影向量的长度为 . 故 正确；
对 : 因为 ,且 ,
,
所以 在 上的投影向量为 ,故 正确.
11. ACD
对 配方得, ,
即点 在以 为圆心,1 为半径的圆上.
选项 A: 设 ,即 ,
可得 的最值对应直线与圆有交点时的截距最值,即圆心 到直线的距离 .
又 ,所以 ,即 , 解得 ,故最小值为 ,选项 正确.
选项 B: 根据圆的位置(第一象限)可知, ,故 ,
表示圆上的点到原点的距离的平方,最值对应的点位于过原点与圆心 的直线与圆的交点上.
故最小值为 ,选项 B 错误.
选项 C: 令 ,则 ,
因此求 的最小值等价于求 的最大值,即求 的最小值.
又 表示圆上的点与原点连线的斜率,可设过原点的直线为 ,即 .
又该直线与圆有交点,所以圆心 到直线的距离 ,即 ,即 ,
整理得 ,解得 .
当 时, ,
即 的最小值为 选项正确.
选项 D: 表示圆上的点到点 的距离,记为 .
令 ,点 ,即抛物线 右半支上的点,
故原式可表示为圆上的点到抛物线 上点 的距离.
而 表示 到点 的距离.
所以 的最小值即为圆上的点到点 的距离的最小值.
又圆心到点 的距离 ,
所以圆上的点到点 的距离的最小值为 ,选项 D 正确.
故选: ACD.
12.
设等比数列 的公比为 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,
所以 .
13. 2
根据导数的意义列方程组求解即可.
因为 ,所以 .
设切点为 ,由题意知, ,解得
所以 .
14.
如图:
因为 ,直线 ,即 ,
过 作 ,垂足为 ,则 ,
所以 .
过 作 ,垂足为 ,根据双曲线的对称性,可知 , 所以 . 将坐标平面以直线 为轴翻折,使得二面角 为 ,如图:
则 , 所以 .
15. (1) ;
(2) .
(1)因为圆 以 为直径，则圆 的方程为 , 即 .
( 2 )将两圆方程作差得 ，
,其圆心 ,
则圆心到直线 的距离为 ,
则两圆的公共弦长为 .
16.
(1) 由题意得: 当 时, ,
当 时,由 有: ,
所以 ,即 ,所以 ,
所以 ,
所以数列 是以 为公比,首项为 的等比数列;
(2)由(1)有 ，
所以 ,
所以 ①,
由①-②有:
所以 .
17.(1)证明:设 中点为 ，连接 ，
， ，
,
,
分别为 中点,
,
,
又 平面 ,
平面 ,又 平面 ,
;
(2)由(1)知 ，
又 平面 ,
平面 ,
故以 为原点建立如图空间直接坐标系,过 作 的平行线为 轴,
则 ,
设平面 的一个法向量 ,
,不妨取 ,则 ,
设平面 的一个法向量 ,
,不妨取 ,则 ,
设平面 与平面 夹角为 ,
,
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18.(1) ,解得 ,
离心率 ,解得 ,
;
(2)(i)证明:设 ， ，则 ， ，
即 ,又 ,
,
故直线 与 的斜率之积为定值;
(ii) 证明: 由题可知直线 斜率存在,
设直线方程为 ,
直线 的方程为 ①,
则直线 的方程为 ②,
由①②两式解得 所以直线 与 的交点在定直线 上.
19. (1)
(2)2
(3)
(1)设原数列总和为 ,则 ,因此 ,
由题意, 都至少有 1 项,故 可取所有非零且不等于 6 的和,
枚举得 的所有可能值为1,2,3,4,5,对应 为 ,
故 的取值集合为: .
(2)原数列 ，共 2026 项，总和 ，因此 ， 该数列的前 2025 项和为 ，末项 ，
若 ,则 ;
因原数列所有项都是正偶数, 必为偶数,不可能更小,故 的最小值为 2 .
(3)原数列 ，总和 ， ，
代入化简: ,
是从 中选 项的和,最小值为 ,
最大值为 ,
分别代入得: ，
代入原式化简得最大值为 , 故 的最大值为 .