安徽六安市独山中学2025-2026学年第二学期高三年级3月份月考数学试卷(含答案)
文档属性
| 名称 | 安徽六安市独山中学2025-2026学年第二学期高三年级3月份月考数学试卷(含答案) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 277.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-22 00:00:00 | ||
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文档简介
六安市独山中学 2025-2026 学年度第二学期高三年级
3 月份月考数学试卷
一、单选题(每题 5 分共 40 分)
1. 已知集合 ，集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知复数 ，则 的共轭复数 在复平面内对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
3. 已知函数 ,在下列区间中,一定包含 零点的区间是 ( ).
A. B. C. D.
4. 已知 是边长为 1 的正三角形, 是 上一点且 ，则 ( )
A. B. C. D. 1
5. 已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为( )
A. B. C. D.
6. 已知数列 满足 ,设数列 的前 项和为 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 的直线 与 在第一、四象限的交点分别为 ,与 轴交点为 ,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 葫芦曲线在数学中被明确为一种类似横放葫芦轴截面的曲线, 其方程通常表示为 ,其中 为不超过 的最大整数. 该曲线的显著特征是振幅随间隔周期性变化, 导致曲线上、下波动的幅度逐渐减小, 形成类似葫芦“腰部收窄、两端膨大”的形状. 如图, 葫芦曲线的底脐、腰、嘴的对应点分别为 ,其上肚、下肚到轴心线( 轴)的距离分别为 3, 2,若点 到轴心线的距离分别为 ,则点 与 的横坐标之差为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题(每题 6 分，部分对答部分分，多选或答错不得分总计 18 分)
9. 某次数学考试后, 为分析学生的学习情况, 某校从某年级中随机抽取了 100 名学生的成绩, 整理得到如图所示的频率分布直方图. 为进一步分析高分学生的成绩分布情况, 计算: 得到这 100 名学生中, 成绩位于 内的学生成绩方差为 12,成绩位于 内的同学成绩方差为 10. 则()
参考公式: 样本划分为 2 层,各层的容量、平均数和方差分别为: ; . 记样本平均数为 ,样本方差为 ,
A.
B. 估计该年级学生成绩的中位数约为 71.43
C. 估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的平均数为 87.50
D. 估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的方差为 30.25
10. 下列结论正确的是( )
A. 若随机变量 ，且 ，则
B. 在回归分析中, 残差图中残差比较均匀地分布在以取值为 0 的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好
C. 对 两个变量进行相关性检验,得到相关系数为 -0.8728,对 两个变量进行相关性检验,得到相关系数为 0.8278 ,则 与 负相关, 与 正相关, 其中 与 的相关性更强
D. 一组数1,2,2,2,3,3,3,4,5,6的第 80 百分位数为 4.5
11. 在长方体 中， 为 的中点， 为线段 上的动点,过点 且与直线 垂直的平面 交 于点 ,交 于点 为 内的动点, 四点均在球 的表面上,则()
A.
B. 三棱锥 的体积是定值
C. 球 与该长方体的公共部分的体积为
D. 的周长的最小值为
三、填空题(每题 5 分总计 15 分)
12. 截至到 2025 年 8 月中旬, 2025 年暑期档电影总票房突破 100 亿元.其中战争历史片《南京照相馆》与《东极岛》，国产动画片《浪浪山小妖怪》与《罗小黑战记 II》，国产古装片《长安的荔枝》，类型片《戏台》与《捕风追影》七部电影更是在票房与口碑上收获满满. 小明将这七部电影的宣传海报(各 1 份)分别赠予 2 名男生和 5 名女生，每人 1 份，其中电影《戏台》的宣传海报赠予女生甲， 2 名男生收到的电影海报不属于同一电影题材，则不同的赠予方案总数为_____.
13. 若 ，则 的值为_____.
14. 若关于 的不等式 有解，则 的取值范围是_____.
四、解答题(共 77 分)
15. 已知 分别是锐角 三个内角 的对边,且 , .
(1)求 ， 的值；
(2)求 面积的取值范围.
16. 如图所示的几何体中，平面 为正方形，四边形 为等腰梯形， .
(1)求证: 平面 ；
(2)求 与平面 夹角的正弦值；
(3)线段 上是否存在点 ，使平面 与平面 夹角的余弦值为 ，若存在， 求出 的值；若不存在，请说明理由.
17. 已知椭圆 过点 ，两个焦点坐标分别为 .
(1)求椭圆 的方程.
(2)已知 为椭圆 上异于 的两点，且直线 与 轴围成一个以 为顶点的等腰三角形.
(i) 求证: 直线 的斜率为定值;
(ii) 求 面积的最大值.
18. 已知某工厂有 两个车间生产某种产品,该产品的售价 (元)与产品月销量 (万件) 间的几组数据如下:
售价 (元) 1 2 3 4 5
月销量 (万件) 10.9 10.2 9.0 7.8 7.1
(1)若可用线性回归模型拟合 与 的关系，根据表格数据，求 关于 的线性回归方程 ；
(2)当该产品的售价为 6 元时，请估计该产品的月销量；
(3)若 两个车间的月产量之比为3:2，且这些产品会全部随机发放到该地区的销售网点，现有 3 名顾客每人购买一件该产品，记这三件产品中来自 车间的件数为 ,求 的分布列和数学期望 .
附:参考数据: .
19. 已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)证明: ；
(3) 设 ,若存在 ,使得 ,证明: .
1. D
可化为 ,解得 ,故 , 又 ,故 .
故选: D
2. B
因为复数 .
所以共轭复数 .
所以共轭复数 在复平面内对应的点的坐标为 .
故选: B.
3. B
因为 与 均在 上单调递增,所以 在 上单调递增,
又 ,
所以 的唯一零点在 内.
故选: B.
4. A
由 ,得 ,且 ,
而 三点共线,则 ,即 ,
所以 ,
所以 .
故选: A.
5. D
由于圆锥的轴截面是等腰直角三角形, 那么圆锥的外接球的球心和底面圆心重合, 不妨设底面直径为 2,则圆锥的高为 1,外接球的半径为 1,
外接球的体积是 ,圆锥的体积为 ,
于是圆锥的体积与其外接球的体积之比为 .
故选: D.
6. D
数列 中, ,当 时, ,
则当 时, ,
而 满足上式,因此 ,
则 ,
所以 .
故选: D
7. B
如下图:
易知 ,所以 ,且 为 的中点, 又 ,所以 ,因此可得 ,
代入双曲线方程可得 ,整理并化简可得 ,即
解得 或 (舍);
因为双曲线离心率 ,所以 .
8. A
由题意得,点 和 在曲线上,
则 ,解得 ,
所以 .
当 时, ,令 ,则 ,得 ,
则 ,解得 ,即 ;
当 时, ,令 ,则 ,得 ,
则 ,解得 ,即 , 所以点 与 的横坐标之差为 .
故选:A.
9. ACD
对于 A 选项, 在频率分布直方图中, 所有直方图的面积之和为 1 ,
则 ,解得 ,故 A 正确;
对于 选项,前两个矩形的面积之和为 ,
前三个矩形的面积之和为 ,
设该年级学生成绩的中位数为 ,则 ,
根据中位数的定义可得 ,解得 ,
所以，估计该年级学生成绩的中位数约为 77.14 ，故 B 错误；
对于 选项，估计成绩在 80 分以上的同学的成绩的平均数为
分,故 正确;
对于 选项，估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的方差为
,故 D 正确.
故选: ACD.
10. ABD
由题意得 , 则 ,故选项 A 正确; :在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，
表明数据越集中, 模型的拟合效果越好, 故选项 B 正确;
,且 , 与 负相关, 与 正相关,且 与 的相关性更强,故选项 错误.
对于 D, ,所以一组数1,2,2,2,3,3,3,4,5,6的第 80 百分位数为第 8 个数字和第 9 个数字的平均值,即 正确;
故选: ABD.
11. BCD
对于 ,以 为原点,分别以 所在直线为 轴,建立空间直角坐标系.
已知 ,则 .
可得 ,
设 ，则 .
因为平面 过点 与直线 垂直并交于点 ,所以 ,
又 ,则 , 化简得: ,解得 ,即 ,可得 ,故 A 错误; 对于 ,在长方体 中,易得 ,因 ,则 平面 ,
又因 ,则点 到平面 的距离为定值,而点 的位置固定,即 的面积
为定值，故三棱锥 的体积是定值，故 正确；
对于 ,由 ,则 ,又 在平面 上的射影为 ,
在正方形 中, ,故 ,即点 为 的交点,
下面证明 的中点 即经过 四点的球的球心 .
如图,因 是 的中点,则 ,由上分析已得 ,
又 ,则 ,即 ,
故 的中点 即经过 四点的球面的球心,
由图知,该球与长方体公共部分的体积为球体积的 ,即 ,故 正确;
对于 ,因 的周长为 ,因 为 的中点,则 ,
于是 ，依题意，只需求 的最小值.
由上分析知点 与点 关于平面 对称, 为平面 内的动点,则 ,
因点 与点 在平面 的两侧,故当且仅当 三点共线时, 取得最小值为
此时, 的周长取得最小值 . 故 D 正确.
故选: BCD
12. 624
当 2 名男生收到的电影海报分别为战争历史片和国产动画片,则有 种情况,
又电影《戏台》的宣传海报赠予女生甲，故剩余的 4 个人与 4 张宣传海报进行全排列， 有 种情况,故此时共有 种情况;
当 2 名男生收到的电影海报分别为战争历史片和国产古装片,则有 种情况, 同理可得此时共有 种情况;
当 2 名男生收到的电影海报分别为战争历史片和类型片,则有 种情况,
同理可得此时共有 种情况;
当 2 名男生收到的电影海报分别为国产动画片和国产古装片，则有 种情况，
同理可得此时共有 种情况;
当 2 名男生收到的电影海报分别为国产动画片和类型片,则有 种情况,
同理可得此时共有 种情况;
当 2 名男生收到的电影海报分别为国产古装片和类型片,则有 种情况, 同理可得此时共有 种情况;
综上, 共有 种情况.
故答案为: 624
13. 0
由 ,令 ,
则有 ,
即 .
故答案为: 0
14.
不等式 ,
令 ,而函数 在 上都为增函数,
则 在 上单调递增,其值域为 ,
令函数 ,求导得 ,当 时, ; 当 时, ,
函数 在 上单调递减,在 上单调递增, ,
依题意,不等式 有解,因此 ,解得 ,
所以 的取值范围是 .
故答案为:
15. (1)
(2)
(1) 在锐角 中,由正弦定理得 ,
,
又 ,
,
所以 ,
则 ,
在锐角 中, ,
,即 .
,
(2)由(1)得
由正弦定理: ,得
因为 为锐角三角形，所以 ，所以 ，
所以 ,所以 ,
所以 ,
故 面积的取值范围为 .
16.(1) 由题知 ,
由余弦定理得 ,
,
又 平面 ,
平面 ;
(2)如图，过 作 的垂线，垂足为 ，则 ， 四边形 为等腰梯形, .
由( 1 )知， 平面 ，
，又 ， 平面 ， ，
平面 ， ， 两两互相垂直，
以 为坐标原点,分别以 为 轴建立空间直角坐标系,
则 ,
,
设平面 的法向量为 ,
由 得 ,
令 ,得 ,
,
故 与平面 夹角的正弦值为 ;
(3)存在.
假设存在 ,设 ,
则 ,
设平面 的法向量为 ,
由 得 ,
令 ,得 ,
,
由题知 ,解得 .
综上,存在点 符合,且 .
17.
(2) (i) 证明见解析; (ii) 2 .
(1)设椭圆 的方程为 ,
显然 ,
将点 代入椭圆方程 ,即 ,解得 或 (舍去) 所以椭圆 的方程为 .
(2)(i)法一:
设直线 的方程为 (由对称性知 存在)，如下图:
联立 得 ,化简得 ,
由 知 ,则 ,
因为 ,所以 ,即 ,
化简得 ,因为直线 不过点 ,所以 ,
故 .
法二:
设直线 的方程为 ,
联立 ,得 ,化简 ,
得 ,
由 知 ,即 ,则 ,
又 ,所以 ,
因为直线 与 轴围成一个以 为顶点的等腰三角形,所以 , 同理可得 ,
由此可知 ,
则直线 的斜率 ,
故直线 的斜率为定值 .
法三:
因为直线 与 轴围成一个以 为顶点的等腰三角形,所以 , 因为 为椭圆上异于 的两点,
所以可设直线 为 不同时为 0,
联立 与 ,
得 ,
等式两边同时除以 ,记 ,
化简得 ,
由于 ,所以 ,说明直线 的斜率为定值 .
(ii) 设直线 为 ,
联立 与 ,得 ,
因为 ,所以 .
由韦达定理知
法一:
过点 作 轴的垂线交直线 于点 ,则点 的坐标为 ,
,即 ,
化简得 .
当且仅当 时, 的面积取最大值 2 .
法二:
易知 ,
点 到直线 的距离 ,
所以 ,
当且仅当 时, 的面积取最大值 2 .
18.( 1 )由题意，可得 ,
则 ,
故线性回归方程为 .
(2)令 ，可得 ，所以当该产品的售价为 6 元时，估计该产品的月销量为 6 万件.
(3)因为 两个车间月产量之比为3:2，所以每一件产品来自 车间的概率为 ，
依题意, 的可能取值为0,1,2,3,可得 的分布列为
0 1 2 3
8 125 36 125 54 125 27 125
19. (1) 由 ,得 , 令 ,解得 ; 令 ,解得 ,或 , 故 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 和 .
(2)证明:设 ，
则 ,
因为 ,则 ,所以 ,
所以 ,
所以 在 上单调递增,又 ,所以当 时, ,
所以当 时, ,
所以 ,即 .
(3)证明:由 ，得
则 ,
即 .
由(2)知， 在 上单调递增，所以 ，
即 ,所以 ,
所以 ,
设 ,则 ,
所以 在 上单调递增,则 ,即 ,
又 ，所以 ，即 .
又 ,所以 ,所以 .
3 月份月考数学试卷
一、单选题(每题 5 分共 40 分)
1. 已知集合 ，集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知复数 ，则 的共轭复数 在复平面内对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
3. 已知函数 ,在下列区间中,一定包含 零点的区间是 ( ).
A. B. C. D.
4. 已知 是边长为 1 的正三角形, 是 上一点且 ，则 ( )
A. B. C. D. 1
5. 已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为( )
A. B. C. D.
6. 已知数列 满足 ,设数列 的前 项和为 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 的直线 与 在第一、四象限的交点分别为 ,与 轴交点为 ,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 葫芦曲线在数学中被明确为一种类似横放葫芦轴截面的曲线, 其方程通常表示为 ,其中 为不超过 的最大整数. 该曲线的显著特征是振幅随间隔周期性变化, 导致曲线上、下波动的幅度逐渐减小, 形成类似葫芦“腰部收窄、两端膨大”的形状. 如图, 葫芦曲线的底脐、腰、嘴的对应点分别为 ,其上肚、下肚到轴心线( 轴)的距离分别为 3, 2,若点 到轴心线的距离分别为 ,则点 与 的横坐标之差为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题(每题 6 分，部分对答部分分，多选或答错不得分总计 18 分)
9. 某次数学考试后, 为分析学生的学习情况, 某校从某年级中随机抽取了 100 名学生的成绩, 整理得到如图所示的频率分布直方图. 为进一步分析高分学生的成绩分布情况, 计算: 得到这 100 名学生中, 成绩位于 内的学生成绩方差为 12,成绩位于 内的同学成绩方差为 10. 则()
参考公式: 样本划分为 2 层,各层的容量、平均数和方差分别为: ; . 记样本平均数为 ,样本方差为 ,
A.
B. 估计该年级学生成绩的中位数约为 71.43
C. 估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的平均数为 87.50
D. 估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的方差为 30.25
10. 下列结论正确的是( )
A. 若随机变量 ，且 ，则
B. 在回归分析中, 残差图中残差比较均匀地分布在以取值为 0 的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好
C. 对 两个变量进行相关性检验,得到相关系数为 -0.8728,对 两个变量进行相关性检验,得到相关系数为 0.8278 ,则 与 负相关, 与 正相关, 其中 与 的相关性更强
D. 一组数1,2,2,2,3,3,3,4,5,6的第 80 百分位数为 4.5
11. 在长方体 中， 为 的中点， 为线段 上的动点,过点 且与直线 垂直的平面 交 于点 ,交 于点 为 内的动点, 四点均在球 的表面上,则()
A.
B. 三棱锥 的体积是定值
C. 球 与该长方体的公共部分的体积为
D. 的周长的最小值为
三、填空题(每题 5 分总计 15 分)
12. 截至到 2025 年 8 月中旬, 2025 年暑期档电影总票房突破 100 亿元.其中战争历史片《南京照相馆》与《东极岛》，国产动画片《浪浪山小妖怪》与《罗小黑战记 II》，国产古装片《长安的荔枝》，类型片《戏台》与《捕风追影》七部电影更是在票房与口碑上收获满满. 小明将这七部电影的宣传海报(各 1 份)分别赠予 2 名男生和 5 名女生，每人 1 份，其中电影《戏台》的宣传海报赠予女生甲， 2 名男生收到的电影海报不属于同一电影题材，则不同的赠予方案总数为_____.
13. 若 ，则 的值为_____.
14. 若关于 的不等式 有解，则 的取值范围是_____.
四、解答题(共 77 分)
15. 已知 分别是锐角 三个内角 的对边,且 , .
(1)求 ， 的值；
(2)求 面积的取值范围.
16. 如图所示的几何体中，平面 为正方形，四边形 为等腰梯形， .
(1)求证: 平面 ；
(2)求 与平面 夹角的正弦值；
(3)线段 上是否存在点 ，使平面 与平面 夹角的余弦值为 ，若存在， 求出 的值；若不存在，请说明理由.
17. 已知椭圆 过点 ，两个焦点坐标分别为 .
(1)求椭圆 的方程.
(2)已知 为椭圆 上异于 的两点，且直线 与 轴围成一个以 为顶点的等腰三角形.
(i) 求证: 直线 的斜率为定值;
(ii) 求 面积的最大值.
18. 已知某工厂有 两个车间生产某种产品,该产品的售价 (元)与产品月销量 (万件) 间的几组数据如下:
售价 (元) 1 2 3 4 5
月销量 (万件) 10.9 10.2 9.0 7.8 7.1
(1)若可用线性回归模型拟合 与 的关系，根据表格数据，求 关于 的线性回归方程 ；
(2)当该产品的售价为 6 元时，请估计该产品的月销量；
(3)若 两个车间的月产量之比为3:2，且这些产品会全部随机发放到该地区的销售网点，现有 3 名顾客每人购买一件该产品，记这三件产品中来自 车间的件数为 ,求 的分布列和数学期望 .
附:参考数据: .
19. 已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)证明: ；
(3) 设 ,若存在 ,使得 ,证明: .
1. D
可化为 ,解得 ,故 , 又 ,故 .
故选: D
2. B
因为复数 .
所以共轭复数 .
所以共轭复数 在复平面内对应的点的坐标为 .
故选: B.
3. B
因为 与 均在 上单调递增,所以 在 上单调递增,
又 ,
所以 的唯一零点在 内.
故选: B.
4. A
由 ,得 ,且 ,
而 三点共线,则 ,即 ,
所以 ,
所以 .
故选: A.
5. D
由于圆锥的轴截面是等腰直角三角形, 那么圆锥的外接球的球心和底面圆心重合, 不妨设底面直径为 2,则圆锥的高为 1,外接球的半径为 1,
外接球的体积是 ,圆锥的体积为 ,
于是圆锥的体积与其外接球的体积之比为 .
故选: D.
6. D
数列 中, ,当 时, ,
则当 时, ,
而 满足上式,因此 ,
则 ,
所以 .
故选: D
7. B
如下图:
易知 ,所以 ,且 为 的中点, 又 ,所以 ,因此可得 ,
代入双曲线方程可得 ,整理并化简可得 ,即
解得 或 (舍);
因为双曲线离心率 ,所以 .
8. A
由题意得,点 和 在曲线上,
则 ,解得 ,
所以 .
当 时, ,令 ,则 ,得 ,
则 ,解得 ,即 ;
当 时, ,令 ,则 ,得 ,
则 ,解得 ,即 , 所以点 与 的横坐标之差为 .
故选:A.
9. ACD
对于 A 选项, 在频率分布直方图中, 所有直方图的面积之和为 1 ,
则 ,解得 ,故 A 正确;
对于 选项,前两个矩形的面积之和为 ,
前三个矩形的面积之和为 ,
设该年级学生成绩的中位数为 ,则 ,
根据中位数的定义可得 ,解得 ,
所以，估计该年级学生成绩的中位数约为 77.14 ，故 B 错误；
对于 选项，估计成绩在 80 分以上的同学的成绩的平均数为
分,故 正确;
对于 选项，估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的方差为
,故 D 正确.
故选: ACD.
10. ABD
由题意得 , 则 ,故选项 A 正确; :在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，
表明数据越集中, 模型的拟合效果越好, 故选项 B 正确;
,且 , 与 负相关, 与 正相关,且 与 的相关性更强,故选项 错误.
对于 D, ,所以一组数1,2,2,2,3,3,3,4,5,6的第 80 百分位数为第 8 个数字和第 9 个数字的平均值,即 正确;
故选: ABD.
11. BCD
对于 ,以 为原点,分别以 所在直线为 轴,建立空间直角坐标系.
已知 ,则 .
可得 ,
设 ，则 .
因为平面 过点 与直线 垂直并交于点 ,所以 ,
又 ,则 , 化简得: ,解得 ,即 ,可得 ,故 A 错误; 对于 ,在长方体 中,易得 ,因 ,则 平面 ,
又因 ,则点 到平面 的距离为定值,而点 的位置固定,即 的面积
为定值，故三棱锥 的体积是定值，故 正确；
对于 ,由 ,则 ,又 在平面 上的射影为 ,
在正方形 中, ,故 ,即点 为 的交点,
下面证明 的中点 即经过 四点的球的球心 .
如图,因 是 的中点,则 ,由上分析已得 ,
又 ,则 ,即 ,
故 的中点 即经过 四点的球面的球心,
由图知,该球与长方体公共部分的体积为球体积的 ,即 ,故 正确;
对于 ,因 的周长为 ,因 为 的中点,则 ,
于是 ，依题意，只需求 的最小值.
由上分析知点 与点 关于平面 对称, 为平面 内的动点,则 ,
因点 与点 在平面 的两侧,故当且仅当 三点共线时, 取得最小值为
此时, 的周长取得最小值 . 故 D 正确.
故选: BCD
12. 624
当 2 名男生收到的电影海报分别为战争历史片和国产动画片,则有 种情况,
又电影《戏台》的宣传海报赠予女生甲，故剩余的 4 个人与 4 张宣传海报进行全排列， 有 种情况,故此时共有 种情况;
当 2 名男生收到的电影海报分别为战争历史片和国产古装片,则有 种情况, 同理可得此时共有 种情况;
当 2 名男生收到的电影海报分别为战争历史片和类型片,则有 种情况,
同理可得此时共有 种情况;
当 2 名男生收到的电影海报分别为国产动画片和国产古装片，则有 种情况，
同理可得此时共有 种情况;
当 2 名男生收到的电影海报分别为国产动画片和类型片,则有 种情况,
同理可得此时共有 种情况;
当 2 名男生收到的电影海报分别为国产古装片和类型片,则有 种情况, 同理可得此时共有 种情况;
综上, 共有 种情况.
故答案为: 624
13. 0
由 ,令 ,
则有 ,
即 .
故答案为: 0
14.
不等式 ,
令 ,而函数 在 上都为增函数,
则 在 上单调递增,其值域为 ,
令函数 ,求导得 ,当 时, ; 当 时, ,
函数 在 上单调递减,在 上单调递增, ,
依题意,不等式 有解,因此 ,解得 ,
所以 的取值范围是 .
故答案为:
15. (1)
(2)
(1) 在锐角 中,由正弦定理得 ,
,
又 ,
,
所以 ,
则 ,
在锐角 中, ,
,即 .
,
(2)由(1)得
由正弦定理: ,得
因为 为锐角三角形，所以 ，所以 ，
所以 ,所以 ,
所以 ,
故 面积的取值范围为 .
16.(1) 由题知 ,
由余弦定理得 ,
,
又 平面 ,
平面 ;
(2)如图，过 作 的垂线，垂足为 ，则 ， 四边形 为等腰梯形, .
由( 1 )知， 平面 ，
，又 ， 平面 ， ，
平面 ， ， 两两互相垂直，
以 为坐标原点,分别以 为 轴建立空间直角坐标系,
则 ,
,
设平面 的法向量为 ,
由 得 ,
令 ,得 ,
,
故 与平面 夹角的正弦值为 ;
(3)存在.
假设存在 ,设 ,
则 ,
设平面 的法向量为 ,
由 得 ,
令 ,得 ,
,
由题知 ,解得 .
综上,存在点 符合,且 .
17.
(2) (i) 证明见解析; (ii) 2 .
(1)设椭圆 的方程为 ,
显然 ,
将点 代入椭圆方程 ,即 ,解得 或 (舍去) 所以椭圆 的方程为 .
(2)(i)法一:
设直线 的方程为 (由对称性知 存在)，如下图:
联立 得 ,化简得 ,
由 知 ,则 ,
因为 ,所以 ,即 ,
化简得 ,因为直线 不过点 ,所以 ,
故 .
法二:
设直线 的方程为 ,
联立 ,得 ,化简 ,
得 ,
由 知 ,即 ,则 ,
又 ,所以 ,
因为直线 与 轴围成一个以 为顶点的等腰三角形,所以 , 同理可得 ,
由此可知 ,
则直线 的斜率 ,
故直线 的斜率为定值 .
法三:
因为直线 与 轴围成一个以 为顶点的等腰三角形,所以 , 因为 为椭圆上异于 的两点,
所以可设直线 为 不同时为 0,
联立 与 ,
得 ,
等式两边同时除以 ,记 ,
化简得 ,
由于 ,所以 ,说明直线 的斜率为定值 .
(ii) 设直线 为 ,
联立 与 ,得 ,
因为 ,所以 .
由韦达定理知
法一:
过点 作 轴的垂线交直线 于点 ,则点 的坐标为 ,
,即 ,
化简得 .
当且仅当 时, 的面积取最大值 2 .
法二:
易知 ,
点 到直线 的距离 ,
所以 ,
当且仅当 时, 的面积取最大值 2 .
18.( 1 )由题意，可得 ,
则 ,
故线性回归方程为 .
(2)令 ，可得 ，所以当该产品的售价为 6 元时，估计该产品的月销量为 6 万件.
(3)因为 两个车间月产量之比为3:2，所以每一件产品来自 车间的概率为 ，
依题意, 的可能取值为0,1,2,3,可得 的分布列为
0 1 2 3
8 125 36 125 54 125 27 125
19. (1) 由 ,得 , 令 ,解得 ; 令 ,解得 ,或 , 故 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 和 .
(2)证明:设 ，
则 ,
因为 ,则 ,所以 ,
所以 ,
所以 在 上单调递增,又 ,所以当 时, ,
所以当 时, ,
所以 ,即 .
(3)证明:由 ，得
则 ,
即 .
由(2)知， 在 上单调递增，所以 ，
即 ,所以 ,
所以 ,
设 ,则 ,
所以 在 上单调递增,则 ,即 ,
又 ，所以 ，即 .
又 ,所以 ,所以 .
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