安徽六安市独山中学2025-2026学年第二学期3月份月考高二数学试卷(含答案)

六安市独山中学 2025-2026 学年度第二学期 3 月份月考 高二数学试卷
一、单选题
1. 已知数列 的首项 ,则 为( )
A. 7 B. 15 C. 30 D. 47
2. 抛物线 的准线方程为( )
A. B. C. D.
3. 已知 ，且 ，则 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 已知圆 与直线 相切，则 的值为( )
A. -6 或 2 B. 6 或 -2 C. 2 D. 6
5. 设直线 与圆 交于 两点，则 ()
A. B. C. 1 D.
6. 已知双曲线 的一条渐近线的斜率为 ,则双曲线的离心率为( )
A. B. 2 C. D. 3
7. 若一动圆的圆心在抛物线 上,且与直线 相切,则此圆恒过定点( )
A. B. C. D.
8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,过 且垂直于长轴的直线交 于 两点,若 ,则 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知双曲线的标准方程为 ,则( )
A. 其实轴长为 2 B. 其离心率为
C. 其渐近线方程为 D. 其焦点到渐近线的距离为
10. 如图,在棱长为 2 的正方体 中, 为线段 中点,则下列说法正确的是( )
A. 直线 与 是异面直线 B. 平面
C.
D. 三棱锥 的体积为
11. (多选) 设 为正项等差数列 的公差,若 ,则 ( )
A.
B.
C. D.
三、填空题
12. 已知数列 为等差数列， ， ，则 _____.
13. 已知向量 是平面 的一个法向量，向量 为直线 的一个方向向量,若 ,则 的值为_____.
14. 与椭圆 的焦点相同,且离心率为 的双曲线的方程为_____.
四、解答题
15. 如图,在长方体 中, 是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
16. 湖北新冶钢有限公司(简称为“新冶钢”)是中国现存最早的钢铁企业之一，素有中国“钢铁工业的摇篮”之称. 该公司今年年初用 192 万元购进一台机器投入生产，每年可以给公司带来 69 万元的收入, 但该台机器每年需要进行维护, 第一年需要维护费用 12 万元, 从第二年起每年的维护费用比上一年增加 6 万元, 求购买该台机器若干年后的年平均利润的最大值.
17. 已知圆 内有一点 ， 为过点 的弦.
(1)当 时，求直线 的方程；
(2)求弦 中点 的轨迹方程.
18. 已知椭圆 ,椭圆 与 有公共焦点,点 在 上.
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线与 相交于 ， 两点， 为 的中点，求直线 的方程.
19. 已知 ,动点 满足 ,设 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)设直线 与曲线 有两个交点 ,求 的取值范围;
(3)设直线 与曲线 交于 两点，求证: 为定值.
1. D
已知数列首项 ,递推关系为 ,
依次计算:
2. C
依题意,将抛物线的方程 变形为 ,所以 , 所以准线方程为 .
3. B
因为 ,且 ,则 ,解得 ,
所以 ,故 ,故 ,
故选: B.
4. D
将圆的方程化成标准方程为 ,
因为圆 与直线 相切,
则有 ,解得 .
5. A
由圆 ,即 ,则圆心为 ,半径 ,
则圆心 到直线 的距离为 ,
所以 .
6.
由双曲线 得双曲线的渐近线方程为 . ,所以离心率 .
7. B
如图,作出符合题意的图形,
抛物线 的焦点坐标为 ,准线方程为 .
动圆的圆心在抛物线 上,且与直线 相切,
则动圆圆心到 的距离等于到准线 的距离,
由抛物线定义可知,动圆恒过定点 .
8. A
设焦点 ,则过 且垂直于长轴的直线为 ,
将 代入 ，得到 ，
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,即 ,
化简得到 ,
因为 ,解得 .
故选: A.
9. AD
双曲线的标准方程 ,则 ,
所以实轴长为 2, A 正确;
离心率为 , B 错误;
渐近线方程为 , C 错误;
一个焦点为 ,其到一条渐近线的距离为 , D 正确.
故选: AD
10. BCD
对于 ,直线 平面 平面 ,则易得直线 与 不为
异面直线, 故 A 不正确;
对于 ,因为 平面 平面 ,所以 平面 ,故 正确;
对于 ,连接 ,因为正方体 中, 平面 平面 ,
所以 ,又 平面 ,
所以 平面 平面 ,所以 ,故 正确;
对于 ,三棱锥 的体积 ,故 正确.
故选: BCD.
11.
由题知, ,所以 .
,所以 A 正确;
,
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 成立,所以 正确;
因为 在 上单调递减,所以 ,所以 ,所以 正确;
,所以 ,所以 错误. 故选: ABC.
12.
设 的公差为 ,则 ,
解得 ,
所以 .
故答案为: .
13.
已知 ,
若 ,则 与 平行,
所以 ,则 ,即 .
14.
由题设知椭圆中 ,则 ,则焦点为 ,
所以双曲线中 ,且焦点在 轴上,
又离心率 ,解得 ,
故 ,
所以双曲线的方程为 .
故答案为:
15. (1)建立如下图所示的空间直角坐标系,
,
设平面 的法向量为 ,
,取 ,则 ,
所以 ,
因为 ,
所以 ,又因为 平面 ,
所以 平面 ;
(2)由(1)可知平面 的法向量为 ， 所以点 到平面 的距离为 .
16. 12 万元.
由题意可知各年的维护费用(单位:万元)构成以 12 为首项，6 为公差的等差数列,
设购买该台机器 年后的盈利为 万元,
则 .
令 ,则 ,解得 .
设购买该台机器 年后的年平均利润为 万元,
则 ,
当且仅当 时取 “ ”,
因此, 购买该台机器 8 年后的年平均利润最大, 最大年平均利润是 12 万元.
17. (1) 或
(2)
(1)当直线 的斜率不存在时, 的方程为 ,代入 ,
此时 ,符合题意;
当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 ,即
设原点 到直线 的距离为 ,则 ,解得
的方程为 ,即
综上,直线 的方程为 或
(2)方法一: 是 的中点，由垂径定理得
的轨迹是以 为直径的圆. 的中点为 ,
即圆心为 ,半径
的轨迹方程为
方法二: 设 ,由垂径定理得 ,
,得
当 时, 时, ,也满足上式,
的轨迹方程为
方法三: 设 ,由垂径定理得
即 ,即 的轨迹方程为 .
18.
(2)
(1)依题意设椭圆 的方程为 ,
则 ,解得 ,
所以椭圆 的方程为 .
(2)因为 ，所以点 在椭圆内，直线 与椭圆相交，
设 ,则 ,
所以 ,即 ,
又点 为 的中点,所以 ,
所以 ,则 ,
即 ,所以直线 的方程为 ,即 .
19. ;
;
(3)
(1)设 ， 为定值，所以点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支,
设双曲线方程为: ,
所以,曲线 的轨迹方程是 ;
(2)设 ，
由 ,消去 得 ,
则 .
整理得
解得 .
(3)设 ，
由 ,消去 得, ,
则 .
所以 ,