安徽合肥市普通高中六校联盟2026届高三下学期开年考数学绿色评价数学试卷(含答案)

合肥市普通高中六校联盟 2026 届高三下学期开年考数学绿 色评价
(考试时间: 120 分钟 满分: 150 分)
一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则 ( )
A. B.
C. D.
2. “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为 之间的三角函数值,下表是部分 的奇数倍锐角的正切值 (用字母代替),则 ( )
5°
A. B. C. D.
4. 已知 是关于 的实系数方程 的一个复数根，则 ( )
A. -5 B. -1 C. 1 D. 5
5. 记 为等差数列 的前 项和,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 图①是底面边长为 的正三棱柱,直线 经过上下底面的中心,将图①中三棱柱的上底面绕直线 逆时针旋转 得到图②，若 为正三角形，则图②所示几何体的外接球的表面积为( )
图①
图②
A. B. C. D.
7. 已知椭圆 . ,若椭圆 上存在 3 个不同的点 满足 ,则椭圆 离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 向量 与 在单位向量 上的投影向量均为 ,且 ,当 与 的夹角最大时,
A. 8 B. 5
C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个 选项中, 有多项符合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分.
9. 如图,直线 与函数 的图象依次交于 三点,若 ,则 ( )
A.
B.
C. 是曲线 的一条对称轴
D. 曲线 向右平移 1 个单位后关于原点对称
10. 若 ,则下列结论正确
的是( )
A. B.
C. D.
11. 下列说法中, 正确的是 ( )
A. 数据3,1,1,2,2,9,3,3,11,12的第 75 百分位数是 9
B. 样本点 的经验回归方程为 ,若样本点 与 的残差相等,则
C. 若随机变量 ,且 ,则
D. 和 的方差分别为 和 ,若 且 ,则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 设函数 ,若 的图象过点 ,且曲线 在 处的切线也过点 ,则 _____.
13. 一个正八面体，八个面分别标以数字 1 到 8 ，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字. 事件 ,事件 ,若事件 满足
,则满足条件的事件 的个数为_____.
14. 已知椭圆 的左焦点为 ,过点 且倾斜角为 的直线交 轴于点 ,交椭圆 于 两点 ), ,则椭圆 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知函数 的部分图象如图所示,图象与 轴的交点为 ,且 在区间 上恰有一个极大值和一个极小值.
(1)求 的值及 的取值范围；
(2)若 是整数，将 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象，求 的最大值.
16. 斜三棱柱 各棱长为4， ， 为棱 上的一点.
(1)求证: ；
(2)若平面 平面 ,且二面角 的余弦值为 ,求 的长.
17. 已知 .
(1)当 时，求函数 的单调区间:
(2)当 时，求证: ；
(3)当 ，试讨论函数 的零点个数.
18. 体育是培养学生高尚人格的重要途径之一. 足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱， 为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了 100 名学生作为样本，统计得到如下的列联表:
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 40
女生 25
合计 100
已知从这 100 名学生样本中随机抽取 1 个,抽到喜爱足球运动的学生的概率为 .
(1)求 ；
(2)根据小概率值 的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？
(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取 30 名， 记其中男生的人数为 ,求使事件“ ”概率最大的 的值.
附: ,
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
19. 对于数列 ,记 ,称数列 为数列 的一阶差分数列. 记 ,称数列 为数列 的二阶差分数列, 一般地,对于 ,记 ,规定: ,称 为数列 的 阶差分数列.
(1) 已知 ,求 ;
(2)已知 ，若 ，且 对 恒成立，求 的取值范围；
(3)已知数列 满足 ，且 ，数列 ， 的前 项和为 ，证明: .
1. C
,
.
故选: C.
2. A
由 得 或 ,
故“ ” 是 “ ” 的充分不必要条件.
故选: A.
3. A
.
故选: A.
4. D
因为 是关于 的实系数方程 的一个复数根,
所以 是关于 的实系数方程 的另一个复数根,
由韦达定理得 ,解得 ,
,则 ,故 D 正确.
故选: D
5. D
已知 是等差数列,根据等差数列的性质可得 ,则 .
又因为 ,所以 ,解得 .
设等差数列 的公差为 ,根据等差数列通项公式 ,可得
. 解得 .
根据等差数列的前 项和公式可得 . 将 代入 可得: .
故选: D.
6. C
初始几何体为底面边长为 的正三棱柱,设高为 ,
上底面绕直线 逆时针旋转 得到一个对称的六面体,其外接球球心必在旋转轴 上,
正三棱柱底面正三角形的外接圆半径 ,
设球心到任一底面的距离为 ,则球半径 满足:
由于几何体对称,球心在正中间,故 ,
如图,以下底面 的重心为原点建立空间直角坐标系,
则 ,
旋转后的顶点坐标为 ,
所以 ,长度 ,
所以数量积为; ,
由夹角 ,
所以 ,
球心在中间,高度 ,
半径 ,
所以表面积 ,
故选;
7.
设 ,由 ,得 ,化简得 , 即点 的轨迹是以点 为圆心,1 为半径的圆,则该圆与椭圆 有 3 个交点,
由 消去 得 ,即 ,
显然 -2 是方程的一个解,点 是圆与椭圆的 1 个公共点,因此 必为方程的另一个解,
则 ,解得 ,所以椭圆 的离心率 .
故选:
8. D
设 为 轴正半轴上的单位向量,
令 ,
如图所示,设 与 的夹角为 ,若 ,
在 中,由余弦定理有: 则 ,
而 ,
所以 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
有根据正弦定理有: ,即 ,
整理有: ,所以 ,
当 与 的夹角最大时， 最大， 取最小值，
因为 ,
当且仅当 时,取等号,所以当 与 的夹角最大时, .
故选: D
9. AC
因为 ,所以 ,所以函数 的周期为
所以 ,故选项 B 错误;
则函数 ,当函数 取最大值时, ,
解得 ,故函数 位于 轴右侧的第一个最大值点的横坐标为 ,
又 ,所以 ,所以 ,故选项 正确;
当 时, 为函数 最小值,
故 是曲线 的一条对称轴,故选项 正确;
曲线 向右平移 1 个单位后 ,
显然不关于原点对称, ,故 错误.
故选: AC
10. BD
对于 ,令 ,得 ; 令 ,得 , 因此 , A 错误;
对于 ,因此 , B 正确;
对于 ,令 ,即 ,得 错误;
对于 ,原等式两边求导得
令 ,得 , D 正确.
故选: BD
11. AB
A:1,1,2,2,3,3,3,9,11,12共 10 个数则 , 所以第 75 百分位数是 9, A 正确.
B: 样本点 的残差为 的残差为 ,
由残差相等得 正确.
C: 由 知对称轴为 1,根据 得 ,
所以 ,故 错误.
D: 由 ,且 ,
则 ,故 错误.
故选: AB
12. -2
函数 ,求导得 ,则 ,而 ,
因此曲线 在 处的切线方程为 ,
依题意, ,所以 .
故答案为: -2
13. 8
事件 ,事件 ,故 ,
又 ,故 ,即 ,
因为 ,
所以 ,故 ,即 ,
又 ,
故 ,所以 ,
即 ,所以 ,故 ,
其中 ,则 或 2,
若 ,则 ,
又 ,故 ,
,故 ,
若 ,可令 或 或 或 ;
若 ,可令 或 或 或 ,
事件 ,事件
若 ,则 ,此时 ,
此时 ,故 ,不合要求,舍去,
综上,满足条件的事件 的个数为 8 .
故答案为: 8
14.
由题设,令直线为 ,
易得
因为
可得 ,又 ,
可得: ,再结合 ,
可得
代入椭圆方程 ,又 ,
所以
化简可得: ,因为 ,
易知
所以 ,即
所以
故答案为: .
15. ;
(2)2
(1) 将 代入解析式得 ,
又 ,故 ,又 ,当 时, ,
因为 在区间 上恰有一个极大值和一个极小值,
故 ,解得 ;
(2) 是整数，又 ，故 ，所以 ，
的图象向右平移 个单位长度得到 ,
所以 ,
,
又 ,故当 ，即 时，
取得最大值,最大值为 .
16.(1)取 中点 ，在 中， ， 为 中点，所以 ，在 中, ,由余弦定理可得 ,
所以有 ,即 ,所以 ,
又因为 平面 平面 ,
平面 ,又因为 平面 ,所以 ;
(2)由(1)知 且平面 平面 ，平面 (平面 平面 ,所以 平面 ,
则 ,如图以 两两垂直,以 为坐标原点,以 方向为 轴, 轴, 轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系.
设 ,
设平面 法向量为 ,
可取 ,
平面 的法向量为 ,
所以有 ,化简得 ,
所以有 (舍) 或者 ,所以 .
17(1) 当 时,利用函数的单调性与导数的关系可求出函数 的增区间和减区间;
(2)当 时，分析得出 ，令 ，可得 ，结合(1) 中的结论可证得 ；
(3)解法一:对实数 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数 的单调性，结合零点存在定理可得出函数 在不同情况下的零点个数;
解法二: 求得 ,令
,令 ,对实数 的取值进行分类讨论,利用导数分析函数 的单调性,结合零点存在定理可得出函数 在不同情况下的零点个数;
解法三: 将函数解析式变形为 ,设 ,则 ,则有 ,设 ,则 ,对实数 的取值进行分类讨论,分析 的符号变化,可得出 的单调性,再结合零点存在定理可得出函数 的零点个数.
(1) 当 时, ,
当 时, ,则 在 为增函数;
当 时, ,则 在 为减函数;
故当 时,函数 的减区间为 ,增区间内为 .
(2)因为 ，当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，所以 ，
设 ,由 (1) 可知 ,所以不等式 成立.
(3)解法一: ,
设 ,此时 ,
则 ,
因为 ,所以 ,
则 在 为减函数, ,
① 当 时， ，结合 在 为减函数，
当 时, 在 为增函数;
当 时, 在 为减函数;
所以 ,所以 ,即 在 上为减函数,
又因为 ,所以 只有一个零点;
② 当 时， ，
所以存在 ,使得 ,
当 时, ,所以 在 上增函数;
当 时, ,所以 在 上减函数.
因为 ,则 ,当 ,
使得 ,
所以 时, ,即 ,即 在 为减函数;
当 时, ,即 ,即 在 为增函数;
当 时, ,即 ,即 在 为减函数;
当 ,又因为 ,所以 .
所以 使得 ,
在 为减函数,所以 ,所以 存在两个零点.
综上所述: 当 时,函数 有 1 个零点; 当 函数 有 2 个零点.
解法二: ,
设 ,此时 ,
则 ,
设 ,所以 ,
① 当 时，此时 ，则 ，此时 ，
当 时， 在 为增函数；
当 时, 在 为减函数;
所以 ,所以 ,即 在 上为减函数.
又因为 ,所以 只有一个零点;
② 当 ,所以 ,
设 . 因为 ,
因为 时,所以存在 ,使得
当 时, ,即 ,所以 在 上增函数;
当 时, ,即 ,所以 在 上减函数.
因为 ,则 ,当 ,
使得 ,
所以 时, ,即 ,即 在 为减函数;
当 时, ,即 ,即 在 为增函数;
当 时, ,即 ,即 在 为减函数;
当 ,又因为 ,所以 .
所以 使得 ,
在 为减函数,所以 ,所以 存在两个零点.
综上所述: 当 时,函数 有 1 个零点; 当 函数 有 2 个零点.
解法三: ,设 ,则 ,
则有 ,
设 .
因为 ,所以 ,
则 在 为减函数， ，
① 当 ，即 ，结合 在 为减函数
当 时, 在 为增函数;
当 时, 在 为减函数;
所以 ,所以 ,即 在 上为减函数.
又因为 ,所以 只有一个零点;
② 当 时， ，
所以存在 ,使得 ,
当 时， ，所以 在 上增函数；
当 时, ,所以 在 上减函数.
因为 ,则 ,当 ,
使得 ,
所以 时, ,即 ,即 在 为减函数;
当 时, ,即 ,即 在 为增函数;
当 时, ,即 ,即 在 为减函数;
当 ,又因为 ,所以 .
所以 使得 ,
在 为减函数,所以 ,所以 存在两个零点.
综上所述: 当 时,函数 有 1 个零点; 当 函数 有 2 个零点.
18.(1)因为从这 100 名学生样本中随机抽取 1 个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为 ,
所以 ;
(2)零假设 :喜爱足球运动与性别无关.
作出列联表如下:
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 40 15 55
女生 20 25 45
合计 60 40 100
由题 ,
根据小概率值 的独立性检验,我们推断 成立,
也就是说没有 99% 的把握认为喜爱足球运动与性别有关.
(3)现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取 1 名学生，该学生是男生的概率是 ， 从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取 30 名时,记其中男生的人数为 ,则 , 所以 ,
令 ,解得 ,
故使事件“ ”概率最大的 的值为 20 .
19.(1)因为
所以 ;
由题意 ,则 ,
又因为 ,所以 .
综上可知, .
(2)若 ，则
.
,
因为 ,所以 ,即 ,故数列 递增,
所以要使 对 恒成立,
则必有 ,即 ,
所以 ,解得 ;
故 是 对 恒成立的必要条件.
下面证明充分性: 若 ,即 ,又 ,即 , 又 ,故 成立;
由 ,又 递增, ,
则 ,故 ;
故满足 对 恒成立,即 是 对 恒成立的充分条件.
综上所述,要使 对 恒成立,
则 的取值范围为 .
(3)由 ，即 则 为等差数列，又 得 . 所以 , 因为 , 且 , 可得 . 由 ,得 ,则 ,则 ,即 ,且 , 得 ,所以 .