安徽安庆市桐城市杨公中学等校2025-2026学年下学期“徽聚百强”高二年级寒假开学学业检测数学（A)(含答案)

2026 年“徽聚百强”高二年级寒假开学学业检测 数 学 (A)
本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息, 将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答, 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑, 非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答，字体工整，笔迹清楚.
4. 考试结束后, 请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求.
1. 已知数列 的首项为 ,对于任意的 都有 ,则 “ 为单调递增的数列”是 “ ” 的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 直线 的倾斜角为 ( )
A. B. C. D.
3. 在棱长为 2 的正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 的中点， 则直线 到平面 的距离为( )
A. 1 B. C. D.
4. 已知双曲线 的左、右顶点分别为 ，点 是 上异于 的一点,若直线 的斜率之积为 的离心率的 倍,则 的渐近线方程为 ( )
A. B. C. D.
5. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,则使得 的 的最小值为( )
A. 4050 B. 4051 C. 4052 D. 4053
6. 已知实数 ,若对任意的 恒成立,则 的最大值为 ( )
A. B. C. D.
7. 如图,在长方体 中, ,点 分别在四边形 、四边形 内运动(不与长方体的顶点重合)，若 ，且 都在球 上,则球 的表面积的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8. 已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 . 椭圆 的离心率为 ,双曲线 的离心率为 ,点 为椭圆 与双曲线 的交点, 且 ，则 的最小值为( )
A. B. C. 1 D. 2
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 如图,在平行六面体 中,以顶点 为端点的三条棱长都为 2,且 ，则下列说法中正确的有( )
A. B.
C. 异面直线 与 所成的角为 D.
10. 在数列 中, ,则下列结论成立的是( )
A. 数列 是等比数列
B. 当 时,数列 的前 项和小于 1
C. 当 时，
D. 当 时,
11. 已知 为坐标原点,抛物线 的焦点为 ,准线为 ,分别过 上的点 作 的垂线,垂足分别为 ,线段 的中点为 ,若直线 不与坐标轴垂直，则下列结论正确的是( )
A. 若 ,则
B.
C. 若直线 过点 ，则直线 与 的交点为
D. 若直线 过点 ，且 ，则四边形 的面积为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，则 _____.
13. 已知曲线 在 处的切线与曲线 相切,则 的值为_____.
14. 记 为数列 的前 项和,已知 ,且 ,则 _____; 若对于任意 ，都有 ，则实数 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知点 ，点 为圆 上的动点， 为 的中点，记 的轨迹为曲线 .
(1)求过点 且与曲线 相切的直线方程；
(2)若点 在直线 上,求 的最小值.
16. 已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)是否存在正实数 ，使得 仅有 1 个零点？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
17. 已知数列 的首项 ,且满足 .
(1)求证: 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
18. 如图,两个正方形 的边长都是 1,平面 平面 , ,其中 .
(1)当 时，证明: 平面 ；
(2)是否存在实数 ，使得平面 与平面 的夹角为 若存在，求出 的值；若不存在, 请说明理由;
(3)求 的最小值.
19. 已知公比为 的正项等比数列 ,满足离心率均为 2 的序列双曲线 的方程. 在 中,点 到 一条渐近线的距离为 ,过 上一点 作 的两条弦 ,交 于另两点 ,且 的平分线垂直于 轴.
(1)求 的通项公式；_____
(2)求直线 的斜率；
(3)当 ( 为坐标原点)的面积为 时，直线 交 轴于 ，证明:
1. C
因为 ,
所以数列 的奇数项、偶数项分别构成等差数列,且公差均为 1 .
若数列 为单调递增的数列,则 ;
所以“ 为单调递增的数列” 是 “ ” 的充分条件,
若 ,要证明数列 单调递增,
只需证明 对任意 恒成立,
当 为奇数时,设 ,
,
当 为偶数时,设 ,
综上, 恒成立,故数列 是单调递增数列,
“ 为单调递增的数列”是“ ”的充要条件.
故选: C.
2. C
直线 的斜率 ,
设直线 的倾斜角为 ,
则 ,
又 ,所以 ,
即直线 的倾斜角为 .
故选: C.
3. D
建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
所以 ,
设平面 的一个法向量为 ,
由 ,取 ,得 ,
则 ,即 ,
又 平面 ,则 平面 ,
所以直线 到平面 的距离等于 到平面 的距离,
则 到平面 的距离为 ,
所以直线 到平面 的距离为 .
故选: D
4. B
由题知 ,设 ,
点 是 上异于 的一点,故 ,即
因为 ,
所以 ,
因为直线 的斜率之积为 的离心率的 倍,离心率 ,
所以 ,
令 ,则 ,
即 ,解得 或 (舍),故 ,即 ,
所以 的渐近线方程为 .
故选: B
5. B
设等差数列 的公差为 ,由 ,得 ,则
而 ,解得 ,则 , 由 和 ,得 ,则 , ,由 ,得数列 单调递减,当 时, ,
则当 时, ,所以使得 的 的最小值为 4051 .
故选: B
6. B
由题意可知 整理得 , 又因为 ,所以 要想最大,则有 ,并且 ,即 ,所以
设函数 ,令 ,解得 或 (舍去).
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 ,所以 的最大值为 .
故选: B
7. D
因为 ，所以 是直角三角形，其外接圆的圆心为 的中点，
所以球 的球心 在过 的中点且垂直于平面 的直线上.
又 ,所以 为四边形 内以 为直径,以 的中点 为圆心,2 为半径的半圆上一点,
如图,以 为原点, 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系 ,
则 ,设 ,
因为球 的半径 ,即 , 化简得 ,
因为 ,所以 ,即 , 所以 ,
而球 的表面积为 , 所以 ，即球 的表面积的取值范围为 . 故选: D.
8. B
不妨设 在第一象限,由椭圆和双曲线的定义可得: ,
所以 .
在 中，由余弦定理可得 ，
化简得 ，所以 ，
则 ,等号成立时 ,
则 ,则 的最小值为 .
故选: B
9. AD
对于 ,故 正确；
对于 B: 因为 ,
所以
,
所以 ，即 ，故 B 错误；
对于 因为 ,所以 ,
所以 为异面直线 与 所成的角,即异面直线 与 所成的角为 ,故 错误;
对于 D: 因为 ,
所以 ,
所以 ,即 ,故 D 正确.
故选: AD
10. BD
对于 选项,当 时可得 ,所以 ,此时 不是等比数列,
当 ，时因为 ，所以 ， ，
两式相除,得 ,此时 是以 为公比的等比数列,故 A 错误;
对于 选项,当 时, ,
故 ,
所以 ,
所以数列 的前 项之和为
,故 B 正确;
对于 选项,当 时记 ,
则 ,
则 ,
所以 ,故 错误;
对于 选项,
令 ,原式可化为
所以 ,
故原式 ,
即 ,故 D 正确.
故选: BD.
11. BCD
选项 A: 由抛物线的定义可知, ,故 , 故 ,即 错误.
选项 B:由题意知， ，设 ， ，则 ，
则直线 的斜率为 .
直线 的斜率为 ,
因为 ,所以 , B 正确.
选项 C: 当直线 过点 时,设直线方程为 ,
与抛物线方程联立整理得 ,则 .
,则直线 方程为 ,
令 ,则 .
直线 方程为 ,
令 ,则 .
故直线 与 的交点为 正确.
选项 D: 由 ,可得 ,得 .
又 ,所以 .
由题意可知,四边形 为直角梯形,
所以其面积为
，D 正确.
故选: BCD.
12.
正项数列 中,当 时, ,
整理得 ,则数列 是首项 ,公差为 1 的等差数列,
,当 时, ,因此 ,而 不满足上式,
所以 .
故答案为:
13.
由 ,得 .
因为 ,所以曲线 在 处的切线方程为 .
设直线 与曲线 相切于点 ,
所以 ,解得 ,所以 ,
所以 .
故答案为:
14.
,
所以数列 是以 为首项,1 为公差的等差数列,
所以 ;
当 时, ,
显然 也适合,所以 ,
设 ,要想对于任意 ,都有 ,
只需 ,设 ,
所以 ,
由对勾函数的单调性可知:
当 时,该函数单调递减,当 ,该函数单调递增,
所以当 时,该函数有最小值,此时 ,
所以 ,
所以 ,因此实数 的取值范围为 .
故答案为:
15. (1) 或
(2)
(1) 设 ,则 ,代入圆 的方程整理可得曲线 的方程为
由题可知切线的斜率必存在,设切线方程为 ,即 ,
则圆心 到切线距离 ,解得 或 ,
所求直线方程为 或 ;
(2)设点 关于直线 的对称点为 ，
则有 ,解得 ,
曲线 的圆心为 ,半径为 ,
,
当且仅当 四点共线时, 取得最小值为 .
16.(1) 的定义域为 ,
① 当 时，因为 ，所以 .
所以 的单调递增区间为 ,无单调递减区间;
② 当 时,令 ,
解得 或 (舍去),
当 时, ,所以 的单调递增区间为 ,
当 时, ,所以 的单调递减区间为 ,
综上所述,当 时, 的单调递增区间为 ,无单调递减区间;
当 时, 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
( 2 )由( 1 )知，当 时， 在 上单调递减，
在 单调递增,
当 时, ,当 时, ,
由题意,当 仅有 1 个零点时, ,
令 ,则
即 ,
化简得: ,
令 ,则 ,
所以 在 上单调递增,且 ,
所以方程 的解为 ,
从而 ,解得 ,
所以,存在满足条件的 ,且 .
17.(1) 由 ,得 ,
又 ,所以数列 是以 -1 为首项, -1 为公比的等比数列.
(2)由(1)得, ,则 ,
所以 .
18. (1) 当 时, ,则 为 的中点,
连接 ,在正方形 中, ,
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,所以 ,
因为 平面 ,
所以 平面 .
(2)以 为原点，以 所在直线 轴建立空间直角坐标系，
则 ,
所以 ,
则 ,
即 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,取 ,得 ,
易得平面 的一个法向量为 ,
因为平面 与平面 的夹角为 ,
所以 ,解得 ,
所以存在实数 ,使得平面 与平面 的夹角为 .
(3)由(2)知， ， ， ， ，
则 ,
所以 ,
函数 (看作关于 的二次函数) 开口向上,对称轴为 ,
则 时,函数取得最小值为 ,
此时函数 (看作关于 的二次函数) 开口向上,对称轴为 ,
则 时,函数取得最小值为 ,
所以 的最小值为 .
19. (1)因双曲线的离心率为 2，故 ，
即 ,故公比 .
在 中,由点 到 一条渐近线的距离为 的短半轴长 ,
得 是 的一个焦点,故 ,即 ,解得 ,
故 .
(2)
由(1)知 ,
由题易知直线 的斜率存在,设直线 的方程为 , 将 代入 中整理得, ,
且 .
的平分线垂直于 轴, ,
得 ,即 ,
将 和 代入整理得,
或 (舍,此时直线 .
(3)
直线 的方程为 到直线 的距离 ,
的面积 ,
或 (舍), ,
,
.
【点睛】关键点点睛: 本题第三问由 进而根据放缩得 ,即 ,进而可证.