安徽安庆市桐城市杨公中学等校2026年“徽聚百强”高三年级学科综合评价数学试题(含答案)
文档属性
| 名称 | 安徽安庆市桐城市杨公中学等校2026年“徽聚百强”高三年级学科综合评价数学试题(含答案) |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 405.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-22 00:00:00 | ||
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文档简介
2026 年“微聚百强”高三年级学科综合评价 数学
本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息, 将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答, 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑, 非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答，字体工整，笔迹清楚.
4. 考试结束后, 请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 下列函数中,在区间 上单调递减的是 ( )
A. B. C. D.
3. 已知复数 ，则 ()
A. B. C. D.
4. 已知 为空间中四点,任意三点不共线,且 , 若 四点共面，则 的最小值为( )
A. 4 B. 5
C. D. 9
5. 将1,1,2,2,3,3六张数字牌按顺序进行排列,其中相同的数字牌不相邻的排法总数为( )
A. 12 B. 30 C. 60 D. 90
6. 已知 ,若函数 恰有 1 个零点,则 ( )
A. e B. C. 1 D. 3
7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,过 的直线与椭圆 交于 两点,若 ,且 ,则椭圆 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
8. A 系列纸张是生活中最常用规格的纸, A 系列纸张命名规则: ① 一张 型号纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张 型号纸张; ②一张 型号的纸张面积是 1 平方米；③所有 型号的纸的长宽比相等. 现从 A0 到 A9，每种型号的纸各取一张，则所有纸张的周长之和为( ) (单位:米)
A. B.
C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 的最小正周期为 ，则 图象的对称中心的坐标可能为( )
A. B. C. D.
10. 某地区 2025 年 2 月至 10 月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下 (条形图为月累计值, 折线图为与上年同月累计值的环比增长率):
累计 -o-同比增长
月份 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月
累计收入 (亿元) 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39
同比增长率 (%) 2 2.1 2.1 3 1 -0.4 -0.3 4.2 4.8
根据图表, 下列说法正确的是 ( )
A. 该地区 2025 年每月的地方一般公共预算收入一直递增
B. 2025 年 8 月该地区的地方一般公共预算收入超过 22 亿元
C. 2025 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入比 2024 年 9 月高
D. 2024 年前 9 个月, 该地区地方一般公共预算收入平均数高于 20 亿元
11. 已知定义域为 的函数 ,对任意实数 都有 ,
且 ，则以下结论一定正确的有( )
A.
B. 是偶函数
C. 的图象关于点 中心对称
D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 的面积为 ， ， ，则 _____.
13. 设随机变量 ,且 ,则
14. 动直线 与动直线 相交于点 ,则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 如图,在平面四边形 中, .
(1)证明: ；
(2)已知 的外接圆半径为 ，求 面积的最大值.
16. 如图, 是圆柱 下底面圆的两条直径,点 是该圆柱上底面圆周上一点, 的中点为 .
(1)证明: 平面 ；
(2) 是该圆柱的母线，若四边形 CDEF 是正方形，且该圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 设 为数列 的前 项和,已知 ,且 .
(1)求数列 的通项公式:
(2)设数列 满足 ，证明: ，并求 的最大项.
18. 已知椭圆 的焦距为 ，点 在椭圆 上. (1)求椭圆 的方程；
(2)点 是椭圆 上一点,过点 作圆 的两条切线分别交椭圆 于 两点,若直线 的斜率都存在,且分别记为 .
① 求 的值:
②试问: 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
19. 已知函数 .
(1)证明: ；
(2)证明: 存在唯一极值点；
(3)记(2)中的极值点为 ，证明: .
1. B
因为 , ,所以
2. D
对于 在 单调递增,故 错误,
对于 ,则 ,故 ,因此 在 不是单调递减, B 错误,
对于 ,由于函数 在 单调递减,则 在 单调递增, 错误, 对于 ,由于 均在 单调递减,故 在 单调递减, 正确.
3. C
因为 ,
所以 .
4. C
因为 四点共面,则有
由共面定理可得, ,即 ,
所以 ,
当且仅当 ,即 ,即 时,等号成立.
故选: C.
5. B
总排列数: ,
两个 1 相邻的排列数: ,
两个 2 相邻的排列数: ,
两个 3 相邻的排列数: ,
两个 1 相邻且两个 2 相邻的排列数: ,
两个 1 相邻且两个 3 相邻的排列数: ,
两个 2 相邻且两个 3 相邻的排列数: ,
两个 1,两个 2,两个 3 都相邻的排列数: ,
由容斥原理得:两个 1 相连或两个 2 相连或两个 3 相邻的排列数为:
所以相同的数字牌不相邻的排法总数为 .
6. B
由 ,可得 恒为 的一个零点,
令 ,则 恰有 1 个零点,
等价于 的唯一零点是 ,或 无零点.
因为 ,且 ,
所以 恒成立, 在 上单调递增.
又 时 时 ,因此 必然存在唯一零点.
当 的零点是 时,可得
即 ,解得 .
7. A
如图,因为 ,所以 ,
所以 .
因为 ,所以 是等腰三角形,则
又因为 ,所以 ,所以 ,则
过 作 其中 为垂足,则 为 中点,所以 .
在 中,由余弦定理得 , 整理得 ,所以离心率为 .
8. C
设 纸的宽和长分别为 ,
则 .
因为 ,又 ,所以 ,解得
又 ，所以 .
根据题意, ,又 ,即 ,
所以 ,则 ,
所以 是首项为 ,公比为 的等比数列,通项公式为 , 同理, 是首项为 ,公比为 的等比数列.
因此 ,
故所有纸张的周长之和为 .
9. BD
由题意可得 ,解得 (负值舍去),则 ,
令 ,则 ,
当 时, ,当 时, ,故 都是 图象的对称中心, 故 正确;
令 ,解得 ,由 不符,故 不是 图象的对称中心, 令 ,解得 ,由 不符,故 不是 图象的对称中心,故 错误.
10. CD
对于 A，由图表可知，3 月的地方一般公共预算收入为 (亿元),
4 月的地方一般公共预算收入为 (亿元),故 A 错误;
对于 B，8 月该地区的地方一般公共预算收入为 (亿元)，故 B 错误； 对于 C，由图表可知，2025 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入为 (亿元),
而 2025 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长 4.2%,
所以 2024 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入累计为 191.67 ÷ (1 + 4.2%) = 183.94 (亿元),
2025 年 8 月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长 -0.3%,
所以 2024 年 8 月该地区的地方一般公共预算收入累计为 (亿元),
所以 2024 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入为 (亿元),比 2025 年 9 月少，故 C 正确；
对于 D，由 C 选项可知，2024 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入累计为 183.94(亿元),
所以 2024 年前 9 个月,该地区地方一般公共预算收入平均数为 (亿元), 故 D 正确.
11. ABD
对于 ,令 ,则 ,又 ,
所以 ,解得: ,故 正确;
对于 ,令 ,则 ,
即 ,
又函数 的定义域为 关于原点对称,所以 是偶函数,故 正确;
对于 ,若 的图象关于点 中心对称,则 ,
由 ,不符合题意,故 错误;
对于 ,令 ,则 ,
即 ,
所以 ,
......,
所以
,故 D 正确.
12.
如图所示,过 作 交 于点 .
则有 ,
因为 的面积为 ,
所以 ，解得 .
所以
.
解得 ,即 .
13. 0.9772
由 ,得 ,
根据 ,得 ,
所以 .
14.
根据题意,动直线 经过定点 ,
动直线 经过定点 ，则有 ，
所以 ,又点 是两条直线的交点,所以有 ,
所以点 的轨迹方程为 ,
其轨迹是以 为圆心,以 为半径的圆,不含点 .
又 ,
故只需求 的最小值,令 可看作点 与点 的斜率,
求出过点 与圆 相切的切线斜率即可,
设切线为 ,即 .
根据切线条件构造方程,即 ,解得 ,
所以 的最小值为 ,所以 的最小值为 .
15.(1)在 中， ，
在 中, ,
因为 ,所以 ,且 ,
所以 .
(2)在 中，设
.
所以 .
所以
设 ,
设 ,则 ,
由 ; 由 .
所以 在 上单调递增,在 上单调递减.
所以 .
所以 .
16.(1)由已知点 为线段 的中点,点 为线段 的中点,
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ;
(2)设圆柱的底面半径为 ,母线长为 ,
因为圆柱的侧面积等于其两底面面积之和,
所以 ,所以 ,
由已知, ,
因为 是该圆柱的母线,所以 平面 ,
因为四边形 是正方形,所以 ,
故 平面 ，又 平面 ，
所以 ,
又 为圆 的直径， 为圆 上异于 的点，
所以 ,
以点 为坐标原点, 为 轴正方向建立空间直角坐标系, 则 , 故 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,故 ,
取 ,则 ,
故 为平面 的一个法向量,
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17.(1)由 ,得 ,
当 时, ,
则 ,
即 ,则 ,
所以数列 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,
则 .
(2)由(1)知， ，
则 ，所以 .
由于数列 为递减数列,则 时, 取得最大值 ,即 的最大项为 .
18.
(2)① ；② 是，
(1)法一:
由题意椭圆的焦点在 轴上,且 ,则
由椭圆的定义 得
解得 ,则 ,
则椭圆 方程为 ;
法二:
因为 ,所以 ,即椭圆方程为 ,
又 在椭圆上,所以 ,解得
则椭圆 方程为 .
(2)易知圆 的圆心为 ,且原点在圆外,即 ,如下图:
① 令 ,则直线 方程为 ,即 ,
因为直线 与圆 相切,所以圆心到直线的距离为 2,即 ,
化简得 ,同理得 ,
则 是方程 的两根,显然 ,
由韦达定理可知 ,
因为点 在椭圆 上,所以 ,则 则 ,即
②法一:
设 ,
则 ,点 到直线 的距离为
因为 ,所以 ,则 ,
由 ,得 ,同理 ,
则 ,则 ,
所以 .
②法二:
设 ,则 ,
因为 ,所以直线 方程为 ,
所以 ,
因为 两点在椭圆上,所以 ,
则 ,
所以 ,
又 ,
所以
,
则 .
②法三:
设
(i) 若直线 与 轴平行,由对称性 ,
因为 ,所以不妨设有 ,则 ,
则 ,解得 ,即 ,
则 .
(ii) 若直线 不与 轴平行,设直线 方程为 ,直线 与 轴交点为 ,
则 ,
由 ,得 ,
由 ,得 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
即 ,得 ,
显然 ,即 ,
综上
19.(1) 易得 ,此时 .
设函数 ,
则 时, 单调递减,
时, 单调递增.
于是 ,故原不等式成立.
(2) ，定义域为 ，
显然当 时, ;
当 时, .
当 时,设 ,则 ,
因为 ,所以 ,
故 ,
所以 即 在区间 上单调递增,而 ,
所以存在 使得 ,
所以当 时 ,当 时 ,
所以 存在唯一极值点.
(3)注意到 , 又 ,故 ,故
在 (1) 中已证明 ,故 ,因此 ,故原不等式得证.
本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息, 将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答, 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑, 非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答，字体工整，笔迹清楚.
4. 考试结束后, 请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 下列函数中,在区间 上单调递减的是 ( )
A. B. C. D.
3. 已知复数 ，则 ()
A. B. C. D.
4. 已知 为空间中四点,任意三点不共线,且 , 若 四点共面，则 的最小值为( )
A. 4 B. 5
C. D. 9
5. 将1,1,2,2,3,3六张数字牌按顺序进行排列,其中相同的数字牌不相邻的排法总数为( )
A. 12 B. 30 C. 60 D. 90
6. 已知 ,若函数 恰有 1 个零点,则 ( )
A. e B. C. 1 D. 3
7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,过 的直线与椭圆 交于 两点,若 ,且 ,则椭圆 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
8. A 系列纸张是生活中最常用规格的纸, A 系列纸张命名规则: ① 一张 型号纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张 型号纸张; ②一张 型号的纸张面积是 1 平方米；③所有 型号的纸的长宽比相等. 现从 A0 到 A9，每种型号的纸各取一张，则所有纸张的周长之和为( ) (单位:米)
A. B.
C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 的最小正周期为 ，则 图象的对称中心的坐标可能为( )
A. B. C. D.
10. 某地区 2025 年 2 月至 10 月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下 (条形图为月累计值, 折线图为与上年同月累计值的环比增长率):
累计 -o-同比增长
月份 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月
累计收入 (亿元) 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39
同比增长率 (%) 2 2.1 2.1 3 1 -0.4 -0.3 4.2 4.8
根据图表, 下列说法正确的是 ( )
A. 该地区 2025 年每月的地方一般公共预算收入一直递增
B. 2025 年 8 月该地区的地方一般公共预算收入超过 22 亿元
C. 2025 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入比 2024 年 9 月高
D. 2024 年前 9 个月, 该地区地方一般公共预算收入平均数高于 20 亿元
11. 已知定义域为 的函数 ,对任意实数 都有 ,
且 ，则以下结论一定正确的有( )
A.
B. 是偶函数
C. 的图象关于点 中心对称
D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 的面积为 ， ， ，则 _____.
13. 设随机变量 ,且 ,则
14. 动直线 与动直线 相交于点 ,则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 如图,在平面四边形 中, .
(1)证明: ；
(2)已知 的外接圆半径为 ，求 面积的最大值.
16. 如图, 是圆柱 下底面圆的两条直径,点 是该圆柱上底面圆周上一点, 的中点为 .
(1)证明: 平面 ；
(2) 是该圆柱的母线，若四边形 CDEF 是正方形，且该圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 设 为数列 的前 项和,已知 ,且 .
(1)求数列 的通项公式:
(2)设数列 满足 ，证明: ，并求 的最大项.
18. 已知椭圆 的焦距为 ，点 在椭圆 上. (1)求椭圆 的方程；
(2)点 是椭圆 上一点,过点 作圆 的两条切线分别交椭圆 于 两点,若直线 的斜率都存在,且分别记为 .
① 求 的值:
②试问: 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
19. 已知函数 .
(1)证明: ；
(2)证明: 存在唯一极值点；
(3)记(2)中的极值点为 ，证明: .
1. B
因为 , ,所以
2. D
对于 在 单调递增,故 错误,
对于 ,则 ,故 ,因此 在 不是单调递减, B 错误,
对于 ,由于函数 在 单调递减,则 在 单调递增, 错误, 对于 ,由于 均在 单调递减,故 在 单调递减, 正确.
3. C
因为 ,
所以 .
4. C
因为 四点共面,则有
由共面定理可得, ,即 ,
所以 ,
当且仅当 ,即 ,即 时,等号成立.
故选: C.
5. B
总排列数: ,
两个 1 相邻的排列数: ,
两个 2 相邻的排列数: ,
两个 3 相邻的排列数: ,
两个 1 相邻且两个 2 相邻的排列数: ,
两个 1 相邻且两个 3 相邻的排列数: ,
两个 2 相邻且两个 3 相邻的排列数: ,
两个 1,两个 2,两个 3 都相邻的排列数: ,
由容斥原理得:两个 1 相连或两个 2 相连或两个 3 相邻的排列数为:
所以相同的数字牌不相邻的排法总数为 .
6. B
由 ,可得 恒为 的一个零点,
令 ,则 恰有 1 个零点,
等价于 的唯一零点是 ,或 无零点.
因为 ,且 ,
所以 恒成立, 在 上单调递增.
又 时 时 ,因此 必然存在唯一零点.
当 的零点是 时,可得
即 ,解得 .
7. A
如图,因为 ,所以 ,
所以 .
因为 ,所以 是等腰三角形,则
又因为 ,所以 ,所以 ,则
过 作 其中 为垂足,则 为 中点,所以 .
在 中,由余弦定理得 , 整理得 ,所以离心率为 .
8. C
设 纸的宽和长分别为 ,
则 .
因为 ,又 ,所以 ,解得
又 ，所以 .
根据题意, ,又 ,即 ,
所以 ,则 ,
所以 是首项为 ,公比为 的等比数列,通项公式为 , 同理, 是首项为 ,公比为 的等比数列.
因此 ,
故所有纸张的周长之和为 .
9. BD
由题意可得 ,解得 (负值舍去),则 ,
令 ,则 ,
当 时, ,当 时, ,故 都是 图象的对称中心, 故 正确;
令 ,解得 ,由 不符,故 不是 图象的对称中心, 令 ,解得 ,由 不符,故 不是 图象的对称中心,故 错误.
10. CD
对于 A，由图表可知，3 月的地方一般公共预算收入为 (亿元),
4 月的地方一般公共预算收入为 (亿元),故 A 错误;
对于 B，8 月该地区的地方一般公共预算收入为 (亿元)，故 B 错误； 对于 C，由图表可知，2025 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入为 (亿元),
而 2025 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长 4.2%,
所以 2024 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入累计为 191.67 ÷ (1 + 4.2%) = 183.94 (亿元),
2025 年 8 月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长 -0.3%,
所以 2024 年 8 月该地区的地方一般公共预算收入累计为 (亿元),
所以 2024 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入为 (亿元),比 2025 年 9 月少，故 C 正确；
对于 D，由 C 选项可知，2024 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入累计为 183.94(亿元),
所以 2024 年前 9 个月,该地区地方一般公共预算收入平均数为 (亿元), 故 D 正确.
11. ABD
对于 ,令 ,则 ,又 ,
所以 ,解得: ,故 正确;
对于 ,令 ,则 ,
即 ,
又函数 的定义域为 关于原点对称,所以 是偶函数,故 正确;
对于 ,若 的图象关于点 中心对称,则 ,
由 ,不符合题意,故 错误;
对于 ,令 ,则 ,
即 ,
所以 ,
......,
所以
,故 D 正确.
12.
如图所示,过 作 交 于点 .
则有 ,
因为 的面积为 ,
所以 ，解得 .
所以
.
解得 ,即 .
13. 0.9772
由 ,得 ,
根据 ,得 ,
所以 .
14.
根据题意,动直线 经过定点 ,
动直线 经过定点 ，则有 ，
所以 ,又点 是两条直线的交点,所以有 ,
所以点 的轨迹方程为 ,
其轨迹是以 为圆心,以 为半径的圆,不含点 .
又 ,
故只需求 的最小值,令 可看作点 与点 的斜率,
求出过点 与圆 相切的切线斜率即可,
设切线为 ,即 .
根据切线条件构造方程,即 ,解得 ,
所以 的最小值为 ,所以 的最小值为 .
15.(1)在 中， ，
在 中, ,
因为 ,所以 ,且 ,
所以 .
(2)在 中，设
.
所以 .
所以
设 ,
设 ,则 ,
由 ; 由 .
所以 在 上单调递增,在 上单调递减.
所以 .
所以 .
16.(1)由已知点 为线段 的中点,点 为线段 的中点,
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ;
(2)设圆柱的底面半径为 ,母线长为 ,
因为圆柱的侧面积等于其两底面面积之和,
所以 ,所以 ,
由已知, ,
因为 是该圆柱的母线,所以 平面 ,
因为四边形 是正方形,所以 ,
故 平面 ，又 平面 ，
所以 ,
又 为圆 的直径， 为圆 上异于 的点，
所以 ,
以点 为坐标原点, 为 轴正方向建立空间直角坐标系, 则 , 故 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,故 ,
取 ,则 ,
故 为平面 的一个法向量,
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17.(1)由 ,得 ,
当 时, ,
则 ,
即 ,则 ,
所以数列 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,
则 .
(2)由(1)知， ，
则 ，所以 .
由于数列 为递减数列,则 时, 取得最大值 ,即 的最大项为 .
18.
(2)① ；② 是，
(1)法一:
由题意椭圆的焦点在 轴上,且 ,则
由椭圆的定义 得
解得 ,则 ,
则椭圆 方程为 ;
法二:
因为 ,所以 ,即椭圆方程为 ,
又 在椭圆上,所以 ,解得
则椭圆 方程为 .
(2)易知圆 的圆心为 ,且原点在圆外,即 ,如下图:
① 令 ,则直线 方程为 ,即 ,
因为直线 与圆 相切,所以圆心到直线的距离为 2,即 ,
化简得 ,同理得 ,
则 是方程 的两根,显然 ,
由韦达定理可知 ,
因为点 在椭圆 上,所以 ,则 则 ,即
②法一:
设 ,
则 ,点 到直线 的距离为
因为 ,所以 ,则 ,
由 ,得 ,同理 ,
则 ,则 ,
所以 .
②法二:
设 ,则 ,
因为 ,所以直线 方程为 ,
所以 ,
因为 两点在椭圆上,所以 ,
则 ,
所以 ,
又 ,
所以
,
则 .
②法三:
设
(i) 若直线 与 轴平行,由对称性 ,
因为 ,所以不妨设有 ,则 ,
则 ,解得 ,即 ,
则 .
(ii) 若直线 不与 轴平行,设直线 方程为 ,直线 与 轴交点为 ,
则 ,
由 ,得 ,
由 ,得 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
即 ,得 ,
显然 ,即 ,
综上
19.(1) 易得 ,此时 .
设函数 ,
则 时, 单调递减,
时, 单调递增.
于是 ,故原不等式成立.
(2) ，定义域为 ，
显然当 时, ;
当 时, .
当 时,设 ,则 ,
因为 ,所以 ,
故 ,
所以 即 在区间 上单调递增,而 ,
所以存在 使得 ,
所以当 时 ,当 时 ,
所以 存在唯一极值点.
(3)注意到 , 又 ,故 ,故
在 (1) 中已证明 ,故 ,因此 ,故原不等式得证.
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