安徽安庆市桐城市鲟鱼学校等校2026届高三年级“成英皖才”学情调研数学试题(含答案)

2026 年“成英皖才”高三年级学情调研 数学
本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准条形码上的以上信息, 将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑, 非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答，字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后, 请将试卷和答题卡一并上交.
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 复数 满足 ( 为虚数单位),则 的虚部为( )
A. B. C. D.
2. 已知全集 ，集合 ，集合 ，则 等于( )
A. {3} B.
C. D.
3. 已知 为双曲线 的两个焦点， 为 上一点，若 ，且 为等腰三角形，则 的离心率为( )
A. B. 2
C. 或 D. 2 或 3
4. 下列函数中,以点 为对称中心的函数是( )
A. B. C. D.
5. 已知函数 的定义域为 为奇函数， 为偶函数，若 ,则 ( )
A. 1 B. -1 C. 0 D. -2
6. 帆船比赛中, 运动员可借助风力计测定风速的大小与方向, 测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和, 其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反. 图 1 给出了部分风力等级、 名称与风速大小的对应关系. 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图 2 所示 (线段长度代表速度大小,单位: ),则该时刻的真风为 ( )
级数 名称 风速大小 (单位:m/s)
2 轻风 1.6~3.3
3 微风 3.4~5.4
4 和风 5.5~7.9
5 劲风 8.0~10.7
A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风
7. 点 到直线 的最大距离是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D.
8. 已知函数 ,若满足 ,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列命题正确的有( )
A. 若直线 的方向向量与平面 的法向量垂直，则
B. 若 为空间的一个基底,则 可构成空间的另一个基底
C. 已知向量 ，若 ，则 为钝角
D. 已知直线 的一个方向向量为 且过点 ，则 的方程为
10. 已知抛物线 的焦点为 ,圆 ,过点 的直线 与抛物线 交于 两点，下列结论正确的是( )
A. 当直线 的倾斜角为 时，
B.
C. 已知点 ,则对任意过点 的直线 ,都有
D. 已知圆 上有一动点 ,抛物线 上有一动点 ,若 ,则 的纵坐标的取值范围为 或
11. 下列不等式关系成立的是( )
A.
B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 曲线 在点 处的切线方程为 ，则实数 的值为_____.
13.《九章算术》中有一题:今有牛、马羊食人苗，苗主贵之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马，”马主曰:“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说: “我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说: “我马所吃的禾苗只有牛的一半”，打算按此比例偿还，则牛主人比羊主人多赔偿_____ 斗粟
14. 一个不透明的袋子里有 10 个除颜色外完全相同的球, 其中 4 个红球, 3 个白球, 3 个黑球. 现从袋中随机摸出 3 个球,记摸到红球的个数为 ,摸到白球的个数为 ,摸到黑球的个数为 ,若 ,且 均为非负整数.设随机变量 ,则 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 第二十二届卡塔尔世界杯足球赛(FIFA World Cup Qatar 2022)决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活, 组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关, 随机抽取了男、女同学各 100 名进行调查, 部分数据如表所示:
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 40
女生 30
合计
(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？ (2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了 2 名男生和 1 名女生示范点球射门，已知男生进球的概率为 ,女生进球的概率为 ,每人射门一次,假设各人射门相互独立,求 3 人进球总次数的分布列和数学期望.
附: ，其中 .
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16. 已知数列 的前 项和 ,数列 满足 .
(1)求证:数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
17. 在三棱柱 中， 底面 ，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点， 且 .
(1)求证: 平面 ；
(2)求证:平面 平面 .
18. 已知椭圆 与抛物线 在第一象限交于点 ， 分别为 的左、右顶点.
(1)若 ，且椭圆 的焦距为 2，求 的准线方程；
(2)设点 是 和 的一个共同焦点，过点 的一条直线 与 相交于 两点，与 相交于 两点, ,若 ,求直线 的方程;
(3)若 ，设直线 ， 分别与直线 交于 ， 两点， 与 的面积分别为 ,若 ,求点 的坐标.
19. 已知定义在区间 上的函数 ,若对 ,存在一个正实数 ,满足 ,则称 是 的“ -陪伴函数”.
(1)已知 ，判断函数 是否为函数 的“ -陪伴函数”，并说明理由,若为“ -陪伴函数”,求 的最小值;
(2)证明:任何一给定闭区间 上的函数 是函数
的“ -陪伴函数”;
(3)已知 ,若函数 是函数 的 “3-陪伴函数”,求实数 的取值范围.
1. D
,
则复数 的虚部为 .
故选: D
2. D
全集 ,而 ,则 , 又 ,所以 .
故选: D
3. C
因为 ,所以可设 ,
依题意可得: ,则 的离心率 ;
或 ,则 的离心率 .
故选: C
4. C
的对称中心为 , A 错误;
的对称中心为 , B 错误;
的对称中心为 , C 正确;
令 ,不恒等于 0,
的图象不关于 成中心对称, 错误,
故选: C.
5. D
由 为奇函数,则 ,
即 ,则 ,
由 为偶函数,则 ,
则 ,则 ,
则 ,则 ,
故 周期为 4,则 ,
由 ,则 ,
则 .
故选: D.
6. A
由题意及图得,
视风风速对应的向量为: ,
视风风速对应的向量, 是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,
船速方向和船行风速的向量方向相反,
设真风风速对应的向量为 ，船行风速对应的向量为 ，
,船行风速: ,
,
,
由表得,真风风速为轻风,
故选: A.
7. B
把直线 的方程重新整理得: ,
因为该等式对任意 都成立,所以 ,解得 ,
即直线 恒过定点 .
当直线 绕点 旋转时,点 到直线的距离会发生变化,
而当 时，距离达到最大值，即点 到直线 的最大距离，就是点 到定点 的距离,
此时 .
8.
的定义域为 ,
为偶函数,
当 时, ,
在 上单调递增,
,
即 ,
即 ,也就是 ,
在 单调递增且为偶函数,
,即 ,解得 .
实数 的取值范围为 .
故选: B.
9. BD
选项 A: 直线 的方向向量与平面 的法向量垂直,直线 可能在平面 内,故 A 错误;
选项 B: 若 为空间的一个基底,则 不共面,
假设 共面,则 ,
此时 共面,与已知条件矛盾,故假设不成立,
即 不共面,则 可构成空间的另一个基底,故 B 正确;
选项 C: 当 时, ,
此时 ,即 ,夹角为 ,不符合题意,故 错误;
选项 D: 因为直线 的一个方向向量为 ,
所以斜率 ,又过点 ,
所以 的方程为 ,整理得 ,故 正确;
故选: BD
10. ABD
由 ,得 ,则抛物线 的方程为 .
对于 ,当直线 的倾斜角为 时,直线 的方程为 ,代入 ,
消去 得 . 设 ，则 ，
从而 ，A 正确.
对于 ,当直线 的斜率不存在时,易得 ,则 .
当直线 的斜率存在时,设它的方程为 ,代入 ,消去 得
,则 故
, B 正确.
对于 ,结合 的解答,设 ,由 ,只要 , 当直线 的斜率不存在时,结论显然成立.
当直线 的斜率存在时,
对任意的 成立,所以 ,即定点 ,所以 错误.
对于 ,则 可转化为 .
设 ,所以 ,
解得 ,所以 或 , D 正确.
故选: ABD.
11. BCD
A 选项: 当 且 时,
有 ,
进一步可得 ,
从而得当 且 时,有 ,
所以 ,故 A 选项不成立.
B 选项: 令 ,则 ,所以在 上函数 单调递减,所以 ,也即在 上, ,即 ,所以当 时, ,
即 ,在上式中取 ,得 ,
即 ,故 选项成立.
选项: 因为 ,所以 ,故 选项成立.
D 选项: 当 时, ,取 ,得 ,即 ,故 D 选项成立.
12.
由 ,则 ,即 ,
的斜率 ,则 ,
,
故实数 的值为 .
故答案为: .
13.
解: 由题意得,羊马牛的主人需赔偿的粟,依次成等比数列 ,且公比 , 因为一共赔偿五斗粟,所以 ,即 ,即 , 所以 ,
因此 ,
所以 .
即牛主人比羊主人多赔偿 斗粟.
故答案为:
14. 3.3
已知 表示摸到红球的个数， 表示摸到白球的个数， 表示摸到黑球的个数， 且 均为非负整数， 的可能取值为0,1,2,3； 的可能取值为 的可能取值为0,1,2,3.
因为 ,所以当 时,有 ;
当 时,有 ;
当 或 时,有 ;
当 或 时，有 ；
当 或 时，有 ；
当 时,有 ;
当 时,有 .
所以 的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,
从 10 个球中随机取出 3 个球的组合数为 .
所以 ;
所以
故答案为: 3.3 .
15. (1)
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
有;
(2)
0 1 2 3
1 00 11 00 2 5 12 25
数学期望 .
( 1 )依题意，得到 列联表如下:
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
于是 ,
所以有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.
(2)依题意，3 人进球总次数 的所有可能取值为 0,1,2,3，
则 ,
所以随机变量 的分布列为:
0 1 2 3
11 00 2 5 12 25
所以 的数学期望为 .
16.(1)由 ，得 ， 当 时， ，
,化为 ,
,
即当 时, ,
令 ,可得 ,即 .
又 ,
数列 是首项和公差均为 1 的等差数列.
于是 .
(2)由(1)知
故 ,
令 ,
,
.
17. (1) 证明: 连接 ,
因为三棱柱 ，所以侧面 为平行四边形，
又因为 为 中点,所以 ,所以 为 中点,
因为 为 中点， 中，所以 ，
又因为 平面 平面 ,所以 平面 .
(2)证明:因为 底面 ， 平面 ，所以 ， 又因为底面三角形 中， ， 是 的中点，所以 ， 因为 ,且 平面 ,所以 平面 , 又因为 平面 ,所以平面 平面 .
18. ;
(2) ;
(3) .
(1) 由椭圆 的焦距为 2,得椭圆 的半焦距 ,则 , 因此椭圆 的方程为 ,由 为椭圆 与抛物线 的交点,且在第一象限, 得 ,又 ,则 ,而 ,于是 , 抛物线 的方程为 ,所以抛物线 的准线方程为 .
(2)点 是 和 的一个共同焦点，由(1)知椭圆 的方程为 ， 由 ,得 ,抛物线 的方程为 ,设直线 的方程为 ,
由 消去 得 ,设 ,
则
,由 得 ,
设 ,则
,由 ,得 ,
因此 ,解得 ,
所以直线 的方程为 ,即 .
(3)当 时，椭圆 ，则 ， 直线 ,点 ,直线 ,点 , , ,由 ,得 ,即 , 整理得 ,而 ,解得 , 所以 点坐标为 .
19. (1)假设 是 的“ –陪伴函数”，
则 ,
即 ,
则 .
因为 且 ,所以 ,则 ,
因此 ,因此 是 的 “ 一陪伴函数”,且 的最小值是 .
(2)已知 ，
记 ,则 .
记 ,则 ,
即 成立,
因此 是 的“ -陪伴函数”,
即在同一给定闭区间 上的函数 是函数 的 " -陪伴函数".
(3)由题知 ,
即 ,不妨假设 ,
则 ,
则 ,且 ,
所以函数 在 上单调递增,函数 在 上单调递减,
所以 ,
则 . 又 ,
所以 ,
故 ,且 ,
即 ,且 ,
由于 在 上单调递增,故 ,则
可得 ,且 ,
即 ,
令 ,则
令 ,结合 ,显然 ,
即 ,则 在 上单调递减,
故 ,故 ;
令 ,则
令 ,则 ,
令 ,则 ,
该函数在 上单调递减， ，
故存在 ,使得 ,即 ,
当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,
故 ,
而 ,
故 ,则 在 上单调递增,
即得 ,故 ,
则 在 上单调递增,故 ,
则 ,综合可得 ,
即 的取值范围为 .