安徽桐城中学2025-2026学年高二年级下学期第一次学情调研数学试题(含答案)

桐城中学 2025-2026 学年度第二学期第一次学情调研 高二数学学科试卷
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 设向量 ,当 与 满足下列哪种关系时,向量 与 轴垂直 ( )
A. B.
C. D.
2. 在 1 与 81 之间插入 3 个正数，使这 5 个数成等比数列，则该数列的公比为( )
A. B. 9 C. D. 3
3. 若函数 在 处的切线平行于直线 ,则 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知空间向量 ，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5. 设等差数列 的前 项和为 ,且 ,若 ,则()
A. 的最大项是 B. 的最小项是
C. 的最大项是 D. 的最小项是
6. 已知数列 的通项公式为 为其前 项和,则 ( )
A. 1012 B. -1012 C. 1013 D. -1013
7. 已知直线 过抛物线 的焦点 ,与 交于 两点, 若线段 的中点 的横坐标为 2,则下列结论正确的是 ( )
A. B. C. D.
8. 函数 有两个零点,则 的取值范围是()
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中, 正确的是 ( )
A. 若两个不重合的平面法向量平行, 则这两个平面平行
B. 若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行
C. 两条不重合直线 的方向向量分别是 ,则
D. 直线 的方向向量 ,平面 的法向量是 ,则
10. 设数列 前 项和为 ,关于数列 有下列命题,其中正确的命题有( )
A. 若 ,则 既是等差数列又是等比数列
B. 若 ,则 为等差数列
C. 若 为等差数列,则 是等差数列
D. 若 ，则 为等比数列
11. 已知有如下定义: 设 是 的导函数, 是函数 的导函数. 若方程 有实数解 ,则称点 ,为函数 的“拐点”,经过探究发现: 任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心. 若三次函数 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 的值域为
B. 在区间 上单调递增
C. 点 是曲线 的对称中心
D. 若方程 有三个不同实根,则实数 的取值范围为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 直线 经过点 ,则点 到 的距离为_____.
13. 已知数列 的前 项和 ,设 为数列 的前 项和,若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为_____.
14. 已知点 不在函数 的图象上,且过点 有三条直线与 的图象相切，则实数 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15. 如图,在四棱锥 中, 底面 平面 .
(1)证明:平面 平面 .
(2)若 ， ，且异面直线 与 所成角的正切值为 ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
16. 已知圆 ,直线 过点 .
(1)当 与圆 相切时，求 的方程；
(2)设线段 的端点 在圆 上运动，求线段 的中点 的轨迹方程，并说明动点 的轨迹
17. 在数列 中, .
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和为 ，求 ；
(3)若 ，求数列 的前 项和 .
18. 已知椭圆 的离心率为 ,过椭圆 的右焦点并垂直于 轴的直线 交椭圆 于 (点 位于 轴上方)两点，且 ( 为坐标原点)的面积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 交椭圆 于 ( 异于点 )两点，且直线 与 的斜率之积为 ， 求点 到直线 距离的最大值.
19. 已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 .
(i) 讨论 在 内的零点个数;
(ii) 证明: .
1. A
因为 ,所以 , 取 轴的方向向量为 ,
若向量 与 轴垂直,则 ,解得 .
故选: A.
2. D
这 5 个数分别为 ,则 ,
又这 5 个数成等比数列, .
故选: D.
3. A
由函数 ,得 ,
因为函数在 处的切线平行于直线 ,
所以 且 ,得 .
4. C
在 上的投影向量为 .
故选: C
5. D
,
对于等差数列, ,代入得: ,
又因为 ,代入化简可得: ,
对所有 成立,故公差 ;
因为 ,数列递增,故 ,由 ,且 ;
因此: 当 时, ,当 时, ;
前 项和 在 由负转正时取得最小值,即 是最小项.
故选: D
6. D
,
.
则
,
故选: D.
7. B
因为抛物线 的焦点 ,所以 ,所以 ,故 A 错误; 抛物线为 ,焦点为 ,
因为抛物线 的准线为 ,则 ,
所以 ,故 B 正确;
设直线 的方程为 ,与抛物线 联立,
消去 可得 ,可得 ,故 D 错误;
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,故 错误.
故选: B
8. B
由题函数定义域为 ,
函数有两个零点,等价于方程 有两个解,
即 与直线 有两个交点.
因为 ,所以 ,
令 ,
易知 在 单调递增,
当 时, ,当 时, ,
令 ,则存在唯一的 ,
所以 ,即 ,
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
在 处取得最小值,
代入 ， ， ，
当 时 ,当 时 ,
所以大致图象如图所示,
所以 ,
即 .
故选: B.
9.
对于 A，因为两个不重合的平面法向量平行，则其中一个平面的法向量也垂直于另一个平面, 即可得一平面的法向量垂直于两个不同平面, 所以这两个平面平行, 故 A 正确; 对于 B, 因为两直线的方向向量不平行, 所以这两直线不平行, 故 B 正确;
对于 ,因为 ,所以 ,所以 ,故 正确;
对于 ,因为 ,所以 ,所以 ,所以 或 ,故 错误.
故选: ABC
10.
对于 ,若 ,则 是等差数列,但不是等比数列, 错误; 对于 ,当 时, ,
当 时, ,
当 时,适合上式,
所以 ,则 为常数,
所以 为等差数列,故 正确;
对于 ,设等差数列 的公差为 ,
则 ,所以 ,
所以 为常数,
所以 是等差数列, 正确;
对于 ,当 时, ,
当 时, ,
所以 ,
所以 ,所以数列 不是等比数列, D 错误;
故选: BC
11. ACD
由函数 ,可得 ,且 ,
对于 A: 当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增;
且当 时, ,当 时, ,
所以函数的值域为 ,所以 正确;
对于 ,函数 在 单调递减,在 单调递增,所以 错误;
对于 ,令 ,可得 ,解得 ,且 ,
所以点 是曲线 的对称中心,所以 正确;
对于 ,由 在 单调递增,在 单调递减,在 上单调递增,
所以函数 的极大值为 ,极小值为 ,
且当 时, ,当 时, ,
要使方程 有三个不同实根,即方程 有三个不同实根,
即函数 与 的图像有三个不同的交点,所以 ,
所以实数 的取值范围为 ,所以 正确.
故选: ACD.
12.
因为 ,
所以 ,
所以 即为点 到 的距离, .
故答案为:
13.
由 ,
,
,
则 ,
由函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
又 时, 时, ,
所以当 时, 取最小值 的取值范围是 .
故答案为: .
14.
点 不在函数 的图象上,则 ,即 ,
设过点 的直线与 的图象相切于 ,
则切线的斜率 ,整理可得 ,
则问题可转化为 有三个零点,
且 ,令 ,可得 或 ,
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时, ,则 在 上单调递增,
即当 时, 有极大值,当 时, 有极小值,
要使 有三个零点,
则 ,即 ,解得 ,
所以实数 的取值范围为 .
故答案为: .
15. (1) 底面 平面 ，
平面 平面 ，
平面 ,平面 平面 平面 ,
， 平面 ，
又 平面 平面 平面 .
(2) ， 直线 与直线 所成的角为 ，
底面 ， 平面 ，
，即 ，
设 ,则 ,
以 为原点, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ,
,
设平面 的法向量为 ,则 ,
取 ,则 ,得 ,
易知平面 的一个法向量为 ,
则 ,
故平面 与平面 所成二面角的正弦值为 .
16. (1) 或
(2) ，轨迹为以 为圆心，1 为半径的圆
(1)已知圆 的圆心是 ,半径是 2,
当直线 的斜率存在时,直线 的方程为 ,符合题意;
当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 ,即 ,
则圆心 到直线 的距离为 ,解得 ,
故直线 的方程为 .
综上,直线 的方程为 或 .
(2)(解法 1)设点 ， ，则由点 是线段 的中点得 ， 所以 ①,
因为点 在圆 上运动,所以 ②,
将①代入②得 ，
化简得点 的轨迹方程是 .
所以点 的轨迹为以 为圆心,1 为半径的圆.
(解法 2) 连接 ,取 中点 ,连接 ,
因为 为 中点,所以 ,
因为 ,所以 ,
所以动点 的轨迹为以 为圆心,1 为半径的圆,
所以动点 的轨迹方程为
17.
(2)
(3)
(1)当 时， ，得 .
当 时， ，
两式相减得 ,则 .
当 时, 符合上式,
所以 .
(2)由(1)得 ,
所以 ,
故 .
(3)由(1)得 ，
则 ,
两式相减得,
,
所以 .
18.
(2)
(1)由题意可得 解得 所以椭圆 的标准方程为 .
(2)解法 1: 韦达定理
设点 ,由 (1) 易求得 ,
当直线 的斜率不存在时,设其方程为 ,
所以由 ,且 ,得到 ,
即 ,解得 或 (舍)
此时点 到直线 的距离为 ,
当直线 的斜率存在时,设其方程为 ,
联立 消去 并整理得 .
则 ,
所以 ,即 .
所以 ,
整理得 ,即 ,
所以 或 .
若 ,则直线 的方程为 ,
所以直线 过点 ,不合题意;
若 ,则直线 的方程为 ,
所以直线 过定点 .
又因为 ,所以点 在椭圆 内.
则点 到直线 的距离为 .
所以点 到直线 距离的最大值为 .
解法 2: 齐次式法
易求得 ,设点 ,则 ,
椭圆 的方程为 ,即 ,
设直线 的方程为 ,联立并齐次化,得
整理得 ,
即 ，
方程的两根为 ,由韦达定理得 ,
从而 ,与 对照,
则解 得 故直线 过定点 ,
、JKK; 显然,点 到直线 距离的最大值为 .
19.(1) 因为 ,所以 ,
因为 ,所以切线斜率为 1,
由 ,则曲线 在 处的切线方程为 ,即 .
(2)(i)因为 ，所以 . 令 ,则 .
a. 当 时,因为 ,所以 ,所以 恒成立, 此时, 在 内无零点.
b. 当 时，因为 ，所以 ，则 单调递增.
因为 ,所以 单调递增. ,
此时, 在 内无零点.
c. 当 时,因为 ,所以 ,则 单调递增.
因为 ,所以存在 ,使得 , 所以当 时， 单调递减，当 时， 单调递增.
因为 ,所以 .
因为 ,所以 在区间 内有 1 个零点,
所以当 时， 在 内的零点个数为 0 ,
当 时, 在 内的零点个数为 1 .
(ii) 证明: 由 (i) 知,当 且 时, ,所以
即 .
令 ,则 ,
所以 ,
所以 .