安徽省合肥市第八中学2025-2026学年高三下学期数学统一作业1（含答案）
文档属性
| 名称 | 安徽省合肥市第八中学2025-2026学年高三下学期数学统一作业1（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 529.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-22 00:00:00 | ||
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文档简介
2026 届合肥八中高三下学期数学统一作业 1
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.)
1. 设集合 ，则 ()
A. B.
C. D.
2. 设 为单位向量,且 ,则 ( )
A. 1 B. C. D. 2
3. 已知直线 平面 ,则“直线 平面 ” 是 “平面 平面 ” 的()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某地区有 20000 名考生参加了高三第二次调研考试. 经过数据分析,数学成绩 近似服从正态分布 ，则数学成绩位于 的人数约为( )
参考数据: ,
A. 455 B. 2718 C. 6346 D. 9545
5. 设等差数列 的前 项和为 ,已知 ,则 ( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
6. 已知圆 ,直线 ,则直线 被圆 截得的弦长的最小值为( )
A. B. C. D.
7. 中，三边之比 ，则 等于( )
A. B. C. 2 D. -2
8. 若将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转 可以得到另一个函数的图象,则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 下列计算结果与 相等的是( )
A. B. C. D.
10. 公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把 称为黄金数. 离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线. 若黄金双曲线 的左，右顶点分别为 ,虚轴的上端点为 ,左焦点为 ,离心率为 ,则( )
A.
B.
C. 顶点到渐近线的距离为
D. 的外接圆的面积为
11. 已知四棱柱 的底面 为正方形， ， ，则( )
A. 点 在平面 内的射影在 上
B. 平面
C. 与平面 的交点是 的重心
D. 二面角 的大小为
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.)
12. 在二项式 的展开式中，系数最大的项的系数为_____(结果用数值表示).
13. 椭圆 的焦点 ，点 为其上的动点，当 为钝角时，点 横坐标的取值范围是_____.
14. 一颗质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6. 随机地抛掷该骰子三次(各次抛掷结果相互独立)，所得的点数依次为 ， ， ，则事件 ”发生的概率为_____.
四、解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.)
15. 已知函数 .
(1)求 的最小正周期和最大值;
(2)讨论 在 上的单调性.
16. 在四棱棱 中,底面 是矩形, 平面 为线段 上一点 ,且 .
(1)证明: 为 的中点；
(2)若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 .
17. 已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值,记 的极小值为 ,证明: .
18. 已知抛物线 的焦点为 ,过点 的直线 与 相交于 两点,点 关于 轴的对称点为 .
(1)证明:点 在直线 上；
(2)设 ，求 的内切圆 的方程.
19. 编号为 的 个球依次被等可能地涂成黑色或白色,设编号为奇数的黑色球的个数为 ,编号为偶数的白色球的个数为 ,记事件 “ ”为
(1) 求 ；
( 2 )当 时，求 ；
(3)当 时,设 ,证明: .
1. A
依题意, ,
所以 .
故选: A
2. B
因为 为单位向量,所以 ,
因为 ,平方得 ,即 ,
所以 ,即 .
故选: B.
3. A
若“直线 平面 ”成立,设 ,且 ,又 平面 ,所以 平面 ,又 ,所以 “平面 平面 ” 成立;
若“平面 平面 ” 成立,且直线 平面 ,可推出 平面 或 平面 ,
所以“直线 平面 ”不一定成立.
综上,“直线 平面 ”是“平面 平面 ”的充分不必要条件.
故选: A.
4. B
由题意可知, 则数学成绩位于 的人数约为 .
故选: B
5. B
设设等差数列 的公差为 ,因为 , 所以 ,所以 ,解得 .
故选: B.
6. D
因为圆 ,圆心 ,半径 ,
直线 过定点 ,
则定点到圆心的距离 ,
故定点在圆内, 定点与圆心连线垂直时, 此时弦长最小,
故最小值为 .
故选: D.
7. C
因为 ,不妨设 ,
则 ,
所以 .
故选: C.
8. A
原命题等价于 ,直线 与曲线 最多有一个交点,
所以直线 与曲线 最多有一个交点,
所以函数 必为单调函数,否则必存在直线 与其有多个交点.
求导得到 ,
又因为 ,所以只能 ,即 ,
设曲线 与直线 相切时切点的横坐标为 ,
则 ，解得 ，
所以 ,
则 的取值范围为 .
故选: A.
9. ACD
设 ,则 ,
所以 ,同理可得 ,
因此, ,
故选: ACD.
10. ABD
设双曲线的半焦距为 ,则 ,
由题意知 , A 正确.
正确.
对于 ,双曲线 的渐近线方程为 ,
所以顶点到渐近线距离 ， 错误.
对于 ,因为 ,所以 ,所以 为直角三角形,且
所以 的外接圆半径为 ,故 外接球面积
正确.
故选: ABD.
11. ACD
设 ，正方形的边长为 1，
则 ,
对选项 A: ,根据对称性知,点 在平面 内的射影在 的角平分线上,即在 上,正确;
对选项 B: ,
,错误;
对选项 C:设 ， 相交于 ， 与 交于 点，
即为 与平面 的交点，
则 ， 为 中 边上的中线，故 为 的重心，正确；
对选项 D: 连接 与 相交于 ,连接 ,根据对称性知 ,
又 平面 平面 ,
故 为二面角 的平面角,
故 ,故 ,
,故 ,正确
故选: ACD.
12. 462
二项式 的展开式的通项公式为 ,
所以当 或 时,其系数最大,
则最大系数为 ,
故答案为: 462 .
13.
在 中,由余弦定理知 ,因为 为钝角,所以 ,即 ,化简得 ,设 ,因为在椭圆上,所以 ,解不等式得: ,所以答案应填: .
14.
所有投掷结果共有 种,
由 ,不妨设 ,
则 ,
事实上,对于其他排序可得类似结果,则
所以
我们不妨设 ,则 ,还有一个数为
显然
当 时,三个数为, 对应 有 种方法;
当 时,三个数为, 对应 有 种方法;
当 时,三个数为, 对应 有 种方法;
当 时,三个数为, 对应 有 种方法;
当 时,三个数为, 对应 有 种方法;
所以一共有 种;
故事件“ ” 发生的概率为
故答案为:
15. (1)最小正周期为 ，最大值为 ；(2)在 单调递增，在 单调递减.
(1)
,
则 的最小正周期为 ,
当 ,即 时, 取得最大值为 ;
(2)当 时， ，
则当 ,即 时, 为增函数;
当 时,即 时, 为减函数,
在 单调递增,在 单调递减.
16.(1)证明: 因为 平面 平面 ,所以 .
因为 ,
平面 平面 ,
所以 平面 .
因为 平面 ,所以 .
又 平面 平面 ,
所以 平面 .
又 平面 ,所以 .
又因为 ,所以 为 的中点.
(2)以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设 ,则 .
设平面 的法向量 ,
因为 ,
所以 ,令 ,则 .
设平面 的法向量为 ,
因为 ,
所以 ,令 ,得 .
设平面 与平面 夹角为 ,则 , 解得 ,即 .
17.(1) 当 时, ,
所以 的定义域为 ,
所以 ,即在点 处的切线斜率为 0 .
由点斜式可知曲线 在点 处的切线方程为 ,即 .
(2)由 知 的定义域为 ，且 .
① 当 时， 恒成立， 是增函数，没有极小值，不符合题意.
② 当 时,若 ,则 ,所以 在 上单调递减;
若 ,则 ,所以 在 上单调递增,
所以 有极小值,且极小值为 ,所以 .
要证 ,即 ,只需证 .
令 ,则 ,
由复合函数的单调性知 在 上单调递增,
又 ,
所以当 时， 单调递减；
当 时, 单调递增,
所以 在 时取得极小值,也是最小值,
所以 ,即 ,
即 .
18.(1) 设 ,已知点 关于 轴的对称点为 ,
则点 的坐标为 ,由 ,可得
整理可得 ,即 .
则 ,
由 ,可知点 在直线 上.
(2)由 ，可得 ，即可得 ，
由于 在抛物线上, ,所以 ,
不妨设 在 轴上方,则 ,可知 的直线方程为 ,
而 ,故 ,
则 的直线方程为 ,由于 轴是 的角平分线,可知内切圆的圆心必然在 轴上,
故设圆心坐标为 ,由于角平分线上的点到角的两边距离相等,
则 ,解得 或 (舍),则可得 ,
的内切圆 的方程为 .
19.(1)记事件“编号为 的球被涂黑色”为 ，则
,且 相互独立,所以 ,
同理,可得 ,
所以
事件 ,
所以 ,
故 .
(2)记事件“编号为奇数的 个球中，被涂成黑色的球的个数为 ”为 ， 事件“编号为偶数的 个球中,被涂成白色的球的个数小于 ”为 ,
则 ,
且 两两互斥,
所以
设 ,
则 ,
故 ,
从而 ,所以 .
(3)设 ，则 可取 ，故 可取 ，
根据对称性 ,
且 ,
根据组合数的对称性 ,
可得 ,
因为 展开式中 的系数为 ,
展开式中 的系数为 ,
故 ,
故
从而 ,
整理,得
又
所以 ,
所以 ,
又
根据 ,可得 .
可得 .
记“偶数号白球个数与奇数号黑球个数相等”为事件 ,其概率为
由(2)知 ，所以 ，
又由(2)知 ，可得 ，
所以
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.)
1. 设集合 ，则 ()
A. B.
C. D.
2. 设 为单位向量,且 ,则 ( )
A. 1 B. C. D. 2
3. 已知直线 平面 ,则“直线 平面 ” 是 “平面 平面 ” 的()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某地区有 20000 名考生参加了高三第二次调研考试. 经过数据分析,数学成绩 近似服从正态分布 ，则数学成绩位于 的人数约为( )
参考数据: ,
A. 455 B. 2718 C. 6346 D. 9545
5. 设等差数列 的前 项和为 ,已知 ,则 ( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
6. 已知圆 ,直线 ,则直线 被圆 截得的弦长的最小值为( )
A. B. C. D.
7. 中，三边之比 ，则 等于( )
A. B. C. 2 D. -2
8. 若将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转 可以得到另一个函数的图象,则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 下列计算结果与 相等的是( )
A. B. C. D.
10. 公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把 称为黄金数. 离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线. 若黄金双曲线 的左，右顶点分别为 ,虚轴的上端点为 ,左焦点为 ,离心率为 ,则( )
A.
B.
C. 顶点到渐近线的距离为
D. 的外接圆的面积为
11. 已知四棱柱 的底面 为正方形， ， ，则( )
A. 点 在平面 内的射影在 上
B. 平面
C. 与平面 的交点是 的重心
D. 二面角 的大小为
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.)
12. 在二项式 的展开式中，系数最大的项的系数为_____(结果用数值表示).
13. 椭圆 的焦点 ，点 为其上的动点，当 为钝角时，点 横坐标的取值范围是_____.
14. 一颗质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6. 随机地抛掷该骰子三次(各次抛掷结果相互独立)，所得的点数依次为 ， ， ，则事件 ”发生的概率为_____.
四、解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.)
15. 已知函数 .
(1)求 的最小正周期和最大值;
(2)讨论 在 上的单调性.
16. 在四棱棱 中,底面 是矩形, 平面 为线段 上一点 ,且 .
(1)证明: 为 的中点；
(2)若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 .
17. 已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值,记 的极小值为 ,证明: .
18. 已知抛物线 的焦点为 ,过点 的直线 与 相交于 两点,点 关于 轴的对称点为 .
(1)证明:点 在直线 上；
(2)设 ，求 的内切圆 的方程.
19. 编号为 的 个球依次被等可能地涂成黑色或白色,设编号为奇数的黑色球的个数为 ,编号为偶数的白色球的个数为 ,记事件 “ ”为
(1) 求 ；
( 2 )当 时，求 ；
(3)当 时,设 ,证明: .
1. A
依题意, ,
所以 .
故选: A
2. B
因为 为单位向量,所以 ,
因为 ,平方得 ,即 ,
所以 ,即 .
故选: B.
3. A
若“直线 平面 ”成立,设 ,且 ,又 平面 ,所以 平面 ,又 ,所以 “平面 平面 ” 成立;
若“平面 平面 ” 成立,且直线 平面 ,可推出 平面 或 平面 ,
所以“直线 平面 ”不一定成立.
综上,“直线 平面 ”是“平面 平面 ”的充分不必要条件.
故选: A.
4. B
由题意可知, 则数学成绩位于 的人数约为 .
故选: B
5. B
设设等差数列 的公差为 ,因为 , 所以 ,所以 ,解得 .
故选: B.
6. D
因为圆 ,圆心 ,半径 ,
直线 过定点 ,
则定点到圆心的距离 ,
故定点在圆内, 定点与圆心连线垂直时, 此时弦长最小,
故最小值为 .
故选: D.
7. C
因为 ,不妨设 ,
则 ,
所以 .
故选: C.
8. A
原命题等价于 ,直线 与曲线 最多有一个交点,
所以直线 与曲线 最多有一个交点,
所以函数 必为单调函数,否则必存在直线 与其有多个交点.
求导得到 ,
又因为 ,所以只能 ,即 ,
设曲线 与直线 相切时切点的横坐标为 ,
则 ，解得 ，
所以 ,
则 的取值范围为 .
故选: A.
9. ACD
设 ,则 ,
所以 ,同理可得 ,
因此, ,
故选: ACD.
10. ABD
设双曲线的半焦距为 ,则 ,
由题意知 , A 正确.
正确.
对于 ,双曲线 的渐近线方程为 ,
所以顶点到渐近线距离 ， 错误.
对于 ,因为 ,所以 ,所以 为直角三角形,且
所以 的外接圆半径为 ,故 外接球面积
正确.
故选: ABD.
11. ACD
设 ，正方形的边长为 1，
则 ,
对选项 A: ,根据对称性知,点 在平面 内的射影在 的角平分线上,即在 上,正确;
对选项 B: ,
,错误;
对选项 C:设 ， 相交于 ， 与 交于 点，
即为 与平面 的交点，
则 ， 为 中 边上的中线，故 为 的重心，正确；
对选项 D: 连接 与 相交于 ,连接 ,根据对称性知 ,
又 平面 平面 ,
故 为二面角 的平面角,
故 ,故 ,
,故 ,正确
故选: ACD.
12. 462
二项式 的展开式的通项公式为 ,
所以当 或 时,其系数最大,
则最大系数为 ,
故答案为: 462 .
13.
在 中,由余弦定理知 ,因为 为钝角,所以 ,即 ,化简得 ,设 ,因为在椭圆上,所以 ,解不等式得: ,所以答案应填: .
14.
所有投掷结果共有 种,
由 ,不妨设 ,
则 ,
事实上,对于其他排序可得类似结果,则
所以
我们不妨设 ,则 ,还有一个数为
显然
当 时,三个数为, 对应 有 种方法;
当 时,三个数为, 对应 有 种方法;
当 时,三个数为, 对应 有 种方法;
当 时,三个数为, 对应 有 种方法;
当 时,三个数为, 对应 有 种方法;
所以一共有 种;
故事件“ ” 发生的概率为
故答案为:
15. (1)最小正周期为 ，最大值为 ；(2)在 单调递增，在 单调递减.
(1)
,
则 的最小正周期为 ,
当 ,即 时, 取得最大值为 ;
(2)当 时， ，
则当 ,即 时, 为增函数;
当 时,即 时, 为减函数,
在 单调递增,在 单调递减.
16.(1)证明: 因为 平面 平面 ,所以 .
因为 ,
平面 平面 ,
所以 平面 .
因为 平面 ,所以 .
又 平面 平面 ,
所以 平面 .
又 平面 ,所以 .
又因为 ,所以 为 的中点.
(2)以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设 ,则 .
设平面 的法向量 ,
因为 ,
所以 ,令 ,则 .
设平面 的法向量为 ,
因为 ,
所以 ,令 ,得 .
设平面 与平面 夹角为 ,则 , 解得 ,即 .
17.(1) 当 时, ,
所以 的定义域为 ,
所以 ,即在点 处的切线斜率为 0 .
由点斜式可知曲线 在点 处的切线方程为 ,即 .
(2)由 知 的定义域为 ，且 .
① 当 时， 恒成立， 是增函数，没有极小值，不符合题意.
② 当 时,若 ,则 ,所以 在 上单调递减;
若 ,则 ,所以 在 上单调递增,
所以 有极小值,且极小值为 ,所以 .
要证 ,即 ,只需证 .
令 ,则 ,
由复合函数的单调性知 在 上单调递增,
又 ,
所以当 时， 单调递减；
当 时, 单调递增,
所以 在 时取得极小值,也是最小值,
所以 ,即 ,
即 .
18.(1) 设 ,已知点 关于 轴的对称点为 ,
则点 的坐标为 ,由 ,可得
整理可得 ,即 .
则 ,
由 ,可知点 在直线 上.
(2)由 ，可得 ，即可得 ，
由于 在抛物线上, ,所以 ,
不妨设 在 轴上方,则 ,可知 的直线方程为 ,
而 ,故 ,
则 的直线方程为 ,由于 轴是 的角平分线,可知内切圆的圆心必然在 轴上,
故设圆心坐标为 ,由于角平分线上的点到角的两边距离相等,
则 ,解得 或 (舍),则可得 ,
的内切圆 的方程为 .
19.(1)记事件“编号为 的球被涂黑色”为 ，则
,且 相互独立,所以 ,
同理,可得 ,
所以
事件 ,
所以 ,
故 .
(2)记事件“编号为奇数的 个球中，被涂成黑色的球的个数为 ”为 ， 事件“编号为偶数的 个球中,被涂成白色的球的个数小于 ”为 ,
则 ,
且 两两互斥,
所以
设 ,
则 ,
故 ,
从而 ,所以 .
(3)设 ，则 可取 ，故 可取 ，
根据对称性 ,
且 ,
根据组合数的对称性 ,
可得 ,
因为 展开式中 的系数为 ,
展开式中 的系数为 ,
故 ,
故
从而 ,
整理,得
又
所以 ,
所以 ,
又
根据 ,可得 .
可得 .
记“偶数号白球个数与奇数号黑球个数相等”为事件 ,其概率为
由(2)知 ，所以 ，
又由(2)知 ，可得 ，
所以
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