安徽省肥东县第一中学2026届高三毕业班第一轮质量检测数学试题（含答案）

2026 届高三毕业班第一轮质量检测 数学
满分 150 分. 考试用时 120 分钟. ※祝大家学习生活愉快※
注意事项:
1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上.
2. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色签字笔书写；答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案. 不按以上要求作答的答案无效.
4. 保持卡面清洁, 不要折叠、不要弄破、弄皱, 不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
5. 考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分. 每小题给出的四 个选项中, 只有一个选项是正确的.
1. 已知复数 ，则 ( )
A. B. C. D. 1
2. 已知集合 是绝对值小于 3 的整数 ,则 的元素个数为( )
A. 1 B. 3 C. 7 D. 8
3. 已知双曲线 的一条渐近线的斜率为 ,则双曲线的离心率为( )
A. B. 2 C. D. 3
4. 函数 的图象向左平移 后关于 轴对称,则 的最小值为
( )
A. B. C. D.
5. 设函数 在定义域 上满足 ,且当 时, , 则当 时， 的最大值是( )
A. 16 B. 4 C. 2 D. 1
6. 已知向量 在正方形网格中的位置如图所示,用基底 表示 ,则( )
A. B.
C. D.
7. 点 是圆 上两点, ,若在圆 上存在点 恰为线段 的中点,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 若实数 满足 ,则 的大小关系不可能是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共计 18 分. 每小题给出的四 个选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 如图,正方体 中，点 分别为 的中点，则( )
A. B. 平面
C. D. 平面
10. 已知抛物线 的焦点为 ,以 为圆心, 为半径得到圆 , 圆上有一点 . 过点 的直线与 交于 两点，与圆 另交于点 ，则()
A.
B. 当 时, 的横坐标为
C. 当 时,
D.
11. 在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知集合 ，同时满足 ， ，则 _____.
13. 互不相等的正实数 是 的任意顺序排列, 设随机变量 满足: ,满足 的概率为_____.
14. 设集合 ，满足下列性质的集合称为“TB 集合”:集合内至少含有 2 个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于 3，则 的子集中有_____个 “TB 集合”.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性, 现有 A 合金部件样本 900 件, B 合金部件样本 500 件, 采用分层抽样抽取 140 件做耐热疲劳测试, 以部件能承受 1000 次热循环不失效为合格标准, 得到以下部分列联表:
材料配方类型 耐热疲劳性能 合计
测试合格 测试不合格
A 配方材料试样 75
B 配方材料试样 20
合计 140
(1)请完成上述列联表;
(2)依据 的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？ 附: ,其中 ,
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
16. 已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明:对 .
17. 如图,在梯形 中, ,过点 作 于点 ,
将 沿 翻折到 的位置，使得平面 平面 . 已知四棱锥 的体积为 8 .
(1)证明: .
(2)若 在同一个球面上,设该球面的球心为 ,证明: 在平面 上. (3)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
18. 已知 为抛物线 上一点.
(1)求 的准线方程；
(2)若点 与 关于 轴对称，过点 且斜率为 2 的直线交 于另一点 ，设 .
(i) 求数列 的前 项和 ;
(ii) 求 的面积.
19. 已知一副不含大小王的 52 张扑克牌, 共包含 4 种花色 (黑桃、红桃、方片、梅花), 每种花色各有 13 张牌, 牌点大小排序从大到小依次为 、
3、2，其中 可参与组成顺子或金花 ，且满足 . 现从该副扑克牌中随机抽取 3 张, 定义如下牌型:
豹子:三张牌的牌点完全相同，例如:AAA、KKK、222；
顺金: 花色相同且牌点构成顺子,例如: 黑桃 、红桃 、方片 ;
金花: 花色相同但牌点不构成顺子,例如: 黑桃 、红桃 、方片 ;
顺子:牌点构成顺子但花色不全相同，例如:黑桃 5 红桃 6 方片 7;
对子:恰好有两张牌的牌点相同，第三张牌的牌点与前两张不同，例如:223、334；
散牌: 不构成上述任何一种牌型的 3 张牌组合.
请回答下列问题:
(1)在一次游戏中，记事件 为“抽到的三张牌牌点构成顺子”，事件 为“抽到的牌型为顺金”， 求 ;
(2)已知该游戏各牌型的大小规则为:豹子>顺金>金花>顺子>对子>散牌，且不按照花色区分大小. 请从概率的角度，分析该游戏的规则是否合理、公平(结果精确到小数点后四位);
(3)玩家初始持有 次抽牌机会 ，每消耗 1 次抽牌机会，就从 52 张扑克牌中随机抽取 3 张，观察牌型；若抽到顺金，则游戏获胜，立即终止；若抽到顺子但非顺金，则将当前剩余的抽牌机会数翻倍; 若抽到非连续的牌型, 则剩余抽牌机会数保持为消耗 1 次后的数量; 若剩余抽牌机会数为 0,则游戏失败,立即终止. 设单次抽牌抽到顺子的概率为 ,初始持有 次抽牌机会时,玩家最终获胜的概率为 . 试证明:
(i) 证明: 数列 是严格递增数列;
(ii) 证明: 对任意 ,都有 .
1. B
复数 ,则 .
2. C
是绝对值小于 3 的整数,即满足 ( 为整数),可得 , 已知 ,根据并集定义,得: 因此， 共 7 个元素.
3. B
由双曲线 得双曲线的渐近线方程为 . ,所以离心率 .
4. C
向左平移 后解析式为 , 若其图象关于 轴对称,则 , 则 ,又因为 ,则当 时, 取得最小值,为 . 故选: C.
5. D
因为 ,则当 时, , 因为当 时, ,又因为当 时, , 则 ,
当 时, 的最大值是 1 .
故选: D.
6. D
如图建立平面直角坐标系, 设正方形网格的边长为 1 ,
则 ,
所以 ,
设向量
则
则 ,解得
所以 .
7. A
圆 ,圆心 ,半径 ,
圆 ,圆心 ,半径 ,
由 是弦 的中点,且 ,则 ,
所以 ,
故点 在以 为圆心,以 为半径的圆上.
又在圆 上存在点 恰为线段 的中点，
则两圆有公共点,可得 ,即 ,
解得 或 .
则实数 的取值范围为 .
8. C
由 可得 ,
与 互为反函数,故其交点 在直线 上,且交点横坐标小于 1,
而 与 交点的横坐标等于 1,
从而 在同一直角坐标系中的大致图象如图所示: 与 的图像交点为 与 的图像交点为 ,
且
当直线 位于点 的上方时,此时直线 与三个函数的交点横坐标满足 , 当直线 位于点 的上方, 的下方时,此时直线 与三个函数的交点横坐标满足
当直线 位于 点的上方, 的下方时,此时直线 与三个函数的交点横坐标满足 当直线 位于 点的下方时,此时直线 与三个函数的交点横坐标满足 ,
9. BCD
以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系, 设正方体棱长为 2,则 ,
对于 ,显然 与 没有倍数关系,
故 不平行,即 与 不平行,故 错误;
对于 ,平面 的一个法向量为 ,
,故 ,又 平面 ,故 平面 ,故 B 正确;
对于 ,因 ,
则 ,所以 ,故 C 正确;
对于 , 设平面 的一个法向量为 ,
则 ,故可取 ,
因 ,则 与 平行,故 平面 ,故 D 正确.
故选: BCD
10. AC
抛物线 的焦点为 ,圆 方程为 ,
对于 ,由点 在圆 上,得 ,而 ,则 正确;
抛物线 的焦点为 ,
设直线 方程为 ,
由对称性不妨令点 在第一象限,
由 ,得 ,则 ,
对于 ,由 ,得 ,解得 错误;
对于 ,由选项 得点 ,直线 斜率 ,即 ,
则 ,而 ,因此 正确;
对于 ,
又
,且圆 的弦 ,
因此 不一定小于 0, D 错误.
11. AD
对于 选项,由 ,所以 ,
得 ，A 选项正确；
对于 选项,由 ,
则 ,
得 ,由正弦定理,即 ,
代入 ，得 ，
解得 或 选项错误;
对于 ,
由 ,
选项错误;
对 选项, ,
选项正确.
故选:AD
12. 或
设 ,若 ,又 ,故 ,此时 , 与已知矛盾,
故 ,所以 ,得 ,所以 ,
即集合 中的元素互为倒数,
因为 ,
所以存在 ,使得 且 ,解得 ,
又因为 ,
所以 或 ,
若 ,则 ,则 ;
若 ,则 ,则 .
综上所述， 或 .
13.
根据题意,1,2,3,4的全排列有 种,
因为随机变量 满足: ,
所以当 或 时, ;
当 或 时, ;
当 或 时, ;
因为满足 或 ,
即满足 的排列有:1234,1243,2134,2143,3412,3421,4312,4321,共 8 种, 所以 的概率 .
14. 16
解方程 ,解得 ,结合 ,
因此: ,集合 共 9 个元素.
(1)2 个元素的“ 集合”:设为 ，
当 时， 可取5,6,7,8,9，共 5 个；
当 时， 可取6,7,8,9，共 4 个；
当 时， 可取7,8,9，共 3 个；
当 时， 可取 8,9，共 2 个；
当 时， 可取 9，共 1 个；当 时，无满足条件的 .
则 2 个元素的“ 集合”总数: .
(2)3 个元素的“ 集合”:要选出 3 个元素，需满足任意两个元素至少相差 4.
最小的 3 个满足条件的元素为 1,5,9,则 3 个元素的“ 集合”仅 1 个:1,5,9.
(3)若尝试选出 4 个元素，最小的 4 个满足条件的数为1,5,9,13，而 13 超出集合 的范围,
因此不存在 4 个及以上元素的“ 集合”.
综上,“ 集合”总数 个元素的数量 +3 个元素的数量: .
15.(1)由已知 合金部件应抽取 件, 合金部件应抽取 件,由此可得列联表如下
材料配方类型 耐热疲劳性能 合计
测试合格 测试不合格
A 配方材料试样 75 15 90
B 配方材料试样 30 20 50
合计 105 35 140
(2)零假设为 :材料配方与耐热疲劳性能无关联，
由表知, ,
代入公式得 ,
根据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立, 即认为材料配方与耐热疲劳性能有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.05 .
16.(1) 由 可得 ,
,依此类推,
,
数列 是首项为 3,公差为 1 的等差数列,
,即 ,
(2) ，故 对
.,
因为 ,
所以
即
17.(1)设 ，因为 ，所以 .
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,
由四棱锥 的体积为 ,
得 ,解得 ,即 ,
连接 ,在 中, .
在 中， ，所以 .
因为 ，所以 ，即 ，
因为 平面 平面 ,所以 ,
因为 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ,所以 ;
(2)在平面 内作 的垂直平分线，交 于 ，连接 ， .
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ,所以 ,
所以 在以 为球心,3 为半径的球面上,
即 与 重合,故 在平面 上.
(3)以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
所以 .
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,则 .
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,则 .
因为 ,
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
18.
(2) (i) ; (ii) 8
(1) 由题意知 ,则 ,
所以 的准线方程为 .
(2)由(1)知 的方程为 ，
(i) ,
所以 ,
所以 ,
所以数列 是以 为首项,以 4 为公差的等差数列,
所以 ,所以 .
(ii) 将 代入 得 ,
则 ,
法一:
直线 的方程为 ,
点 到直线 的距离 ,
的面积 .
法二:
19.( 1 )顺子的牌点组合共 12 种( A23、234、...、 )，每种牌点组合对应 种花色组合,故 .
顺金要求花色相同且牌点为顺子,共 种,故 .
由条件概率公式, .
(2)分别计算各牌型的概率:
,
概率从小到大排序: ,与规则的牌型大小顺序不一致:
顺金比豹子更稀有, 却被规定为更小的牌型;
顺子比金花更稀有, 却被规定为更小的牌型.
因此，该游戏规则不符合“稀有度与牌型大小正相关”的公平性原则，规则不合理、不公平.
(3)首先明确核心概率:抽到顺金的概率: ，
抽到顺子但非顺金的概率: ,抽到非顺子的概率: ,
初始 1 次机会, 抽 1 次后剩余机会为 0 , 仅抽到顺金可获胜,
故 .
初始 2 次机会,抽 1 次后剩余 1 次机会,递推得:
代入 ，整理得: ，即 .
(i) 用数学归纳法证明:
(一) 归纳奠基: 时, ,
因 ,故 .
(二) 归纳推理: 假设对任意 ,都有 ,即数列前 项严格递增.
对任意 ，递推公式为: ，
因此 ,
由归纳假设, ,且系数均为正,故
由数学归纳法,对任意 ,即数列 严格递增.
(ii) 令 ,不等式转化为证明 .
将 代入原递推公式,化简得: ,边界条件 .
令 ,求导得: ,故 在 上严格递减,
因此对任意 .
下面用数学归纳法证明 :
(一) 归纳奠基: 当 时, ,成立;
(二) 归纳推理: 假设对任意 .
对 ,由递推公式和归纳假设: ,
只需证明 ,两边除以 得: ,
代入 ，右边化简为 ，
左边减右边得: (因 ),
故不等式成立,即 .
由数学归纳法,对任意 ,即 ,移项得: ,得证.