2025-2026学年下学期陕西榆林高二数学3月质量检测试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期陕西榆林高二数学3月质量检测试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 511.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-22 00:00:00 | ||
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文档简介
2024 级 2025~2026 学年度第二学期 高二数学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:人教 A 版选择性必修第一册第二章 ～第三章，选择性必修第二册。
一、选择题;本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。
1. 一作直线运动的质点的位移 (单位: ) 与时间 (单位: ) 之间的关系为 ，则该质点在 时的瞬时速度为
A. B. C. D.
2. 过点 且与直线 垂直的直线 的方程是
A. B. C. D.
3. 函数 的最大值是
A. -9 B. 0
C. D. 3
4. 已知等比数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 32 B. 64 C. 128 D. 256
5. 以 为直径的两个端点的圆的方程为
A. B.
C. D.
6. 已知 ,双曲线 的两个焦点为 ,若椭圆 的两个焦点是线段 的三等分点,则该双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
7. 某无人机爱好者组织小规模无人机表演，按照如图所示规律排列图形，若从第一组开始依次排列, 则 210 架无人机可以同时排出的图形组数是
A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
8. 已知点 是椭圆 的下顶点， 是 的右焦点，延长 交 于点 ， 若 ,则 的离心率为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 顶点在原点,对称轴是坐标轴,并且经过点 的抛物线的标准方程是
A. B. C. D.
10. 记 为各项均为正数的数列 的前 项和,且 ,则
A. B. 是递增数列
C. 是递增数列 D.
11. 已知函数 与其导函数 的定义域均为 ,且 与 均为偶函数,则
A. 为偶函数 B. 为奇函数
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 函数 的图象在 处的切线方程是_____.
13. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 _____.
14. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、 推理论证、思维方法等之中, 揭示了规律性, 是一种科学的真实美. 在平面直角坐标系中, 曲线 就是一条形状优美的曲线,若 是曲线 上任意一点,则 |4a+3b-18|的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
已知圆 的圆心 在直线 上.
(1)求圆 的方程；
(2)已知直线 过点 且与圆 相切,求直线 的方程.
16.(本小题满分 15 分)
已知函数 在 处取得极大值 .
(1)求 ， 的值；
(2)求函数 的零点的个数.
17. (本小题满分 15 分)
已知公比为正数的等比数列 的前 项和为 ,且 ,数列 满足 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
18. (本小题满分 17 分)
设 为抛物线 的焦点， 为 上三个不同的点，且
(1)求 的方程；
(2)设过点 的直线 交 于 ， 两点.
①若直线 交圆 于 ， 两点，其中 ， 位于第一象限，求 的最小值;
②过点 作 的垂线 ，直线 交 于 ， 两点，设线段 ， 的中点分别为 ， ， 求证:直线 过定点.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)若 ，讨论 在 上的单调性；
(2)若 ， ，证明: ；
(3)当 时,若 ,且 在 处取得极值,求证: .
参考答案、提示及评分细则
1. 由题意得 ,所以 ,即该质点在 时的瞬时速度为 . 故选 A.
2. 设直线 的方程是 ,因为直线 过点 ,所以 ,解得 ,所以直线 的方程是 . 故选 D.
3. C 因为 ,所以 ,令 ,得 ,令 , 得 ,所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 的最大值是 . 故选 C.
4. B 设等比数列 的公比为 ,由 ,得 ,由 ,得 ,解得 2,所以 . 故选 B.
5.D 易知该圆圆心为 的中点 ,半径 ,所以该圆的方程为: . 故选 D.
6. A 由题意知,双曲线的焦距是椭圆焦距的 3 倍,则 ,化简得 ,则 ,所以该双曲线的渐近线为 ,即 . 故选 A.
7. C 记第 组中无人机的架数为 ,由图形可得 ,所以 是首项为 1,公差为 3 的等差数列,所以 的前 项和 ,令 ,得 ,解得 (舍) 或 ,所以210架无人机可以同时排出的图形组数是 12 . 故选 C.
8. 设椭圆 的焦距为 ,设 ,所以 ,因为 ,所以 即 即 ,因为点 在椭圆 上,所以 ,所以 ，所以 的离心率为 . 故选 B.
9.BC 因为抛物线经过 ,所以抛物线开口向左或开口向上,设开口向左的抛物线方程为 ,将点 代入,得 ,所以开口向左的抛物线方程为 ,故 正确; 设开口向上的抛物线方程为 ,将点 代入,得 ,所以开口向上的抛物线方程为 ,故 正确. 故选 BC.
10. 由 ,得 ,解得 或 ,又 ,所以 ,故 正确; 所以 ,当 时, ,两式作差得 ,即 时, ,所以 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,故 . 易得其是递增数列,故 正确; 此时 为定值, 故 C 错误; 易得 ,故 D 错误. 故选 AB.
11.BC 对于 A，因为 为偶函数，所以 ，即， ，所以 关于 对称,若 为偶函数,则 ,所以 ,所以以 关于点 对称,这与 关于 对称矛盾,所以 错误; 对于 ,因为 为偶函数,所以 ,即 ,所以当 时, , 即 为奇函数,所以 正确; 对于 ,因为 为偶函数,即 ,所以 ,所以 . 由 ,得 , 所以 ,故 正确; 对于 ,由 ,得 ,所以 1 , 故 D 错误. 故选 BC.
12. 由已知,得 ,所以 ,所以所求切线方程为 ,即 .
13.56 因为 是等差数列,所以 成等差数列,即 ,所以 ,解得 .
14. 由曲线 ,易得曲线 关于两坐标轴对称,关于原点对称,当 时,曲线 的方程可化为 ,利用对称性可得曲线 如图所示. 到直线 的距离 ,则 即为 ,要求得 的最小值,结合曲线的对称性,只需考虑 时的情况即可. 当 时,曲线 的方程为 ,曲线为圆心为 ,半径为 的圆的一部分,而 到直线 的距离为 ,由圆的性质得曲线 上一点到直线 的距离 的最小值为 ,故 的最小值为 .
15. 解:(1)圆 的圆心为 ，
因为圆 的圆心在直线 上,所以 ,解得 ,
所以圆 的方程为 . 4 分
(2)当直线 的斜率不存在时, 的方程为 ,此时圆心 到直线 的距离 ,所以直线 与圆 相切; 8 分
当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 ,即 ,
所以圆心 到直线 的距离 ,解得 ,
所以直线 的方程为 . 12 分
综上所述,直线 的方程为 或 . 13 分
16. 解: (1) 对 求导得 , 1 分
故 ,且 , 3 分
解得 .
经检验, 符合题意,所以 . 6 分
(2)令 或 ，
令 ,
所以函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 , 10 分所以可得函数 的极小值为 ,
又极大值为 ,
而 , 13 分
综上所述，函数 的零点的个数为 1，且零点位于区间 内. 15 分
17. 解: (1) 设等比数列 的公比为 ,
由 ,得 ,又 ,所以 ,解得 或 (舍去).
1 分
又 ，则 ，解得 ， 2 分
所以 . 3 分
由 ,得 , 4 分
所以 ,
以上各式相乘,得 , 6 分
又 ,所以 ,且 满足上式,所以 . 7 分
(2)由(1)，得 ， 9 分
所以 ， 11 分
两式相减,得 , 13 分
所以 ,
即 . 15 分
18.(1)解:由题意得焦点 ,设 ，
因为 ,所以 ,
即 , 2 分
所以 ,解得 , 所以 的方程为 . 5 分
(2)① 解:圆 化为标准式为 ,其圆心恰为 ,半径为 1, 6 分
当直线 斜率存在时,根据题意可设直线 的方程为 ,
由 得 , 7 分
8 分
因为 ,所以 ,当且仅当 ,即 时等号成立,
当直线 斜率不存在时, ,
所以 的最小值为 4 . 11 分
② 证明:由题知直线 的斜率 存在且不为 0，由①得 ,则 . 12 分
用 替换 得点 . 13 分
当 ,即 时,直线 的斜率 , 14 分
所以直线 的方程为 ,整理得 ,
所以直线 恒过点 ; 16 分
当 时,直线 的方程为 ,也过点 .
综上所述，直线 恒过点 . 17 分
19.(1)解:若 ，则 ， ， 1 分
当 时, 在 上恒成立,所以 单调递增; 2 分
当 时,令 ,得 ,
当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增.
综上所述，当 时， 在 上单调递增; 当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增. 4 分
(2)证明:若 ，则 ，定义域为 ，
由 ,得 , 5 分
因为 在 上单调递增,所以 在 上单调递增,
又 ,所以存在 ,使得 ,即 . 6 分
当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增.
所以 的极小值为 ,也是最小值. 7 分
由 ,得 ,所以 , 9 分
当且仅当 ,即 时,等号成立,但 ,所以 ,
即 时, . 10 分
(3)证明:当 时， ，
令 ,则 ,当 时, ,所以 单调递增,即 单调递增, 11 分
又 ,所以存在 ,使得 ,即 .
当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,所以 是 的极小值点. 12 分
因为 ,且 ,不妨设 ,则 ,
要证 ,即证 ,
因为 ,所以 ,又 在 上单调递增,且 ,因此只要证 , 13 分
设 ,则 , 所以 ,
令 ,则 ,
设 ,
则 ,所以 在 上单调递增,即 在 上单调递增, ,所以 在 上单调递减, ,所以 在 上单调递增,从而 , 16 分
所以 时, ,又 ,所以 成立.
综上所述， . 17 分
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:人教 A 版选择性必修第一册第二章 ～第三章，选择性必修第二册。
一、选择题;本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。
1. 一作直线运动的质点的位移 (单位: ) 与时间 (单位: ) 之间的关系为 ，则该质点在 时的瞬时速度为
A. B. C. D.
2. 过点 且与直线 垂直的直线 的方程是
A. B. C. D.
3. 函数 的最大值是
A. -9 B. 0
C. D. 3
4. 已知等比数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 32 B. 64 C. 128 D. 256
5. 以 为直径的两个端点的圆的方程为
A. B.
C. D.
6. 已知 ,双曲线 的两个焦点为 ,若椭圆 的两个焦点是线段 的三等分点,则该双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
7. 某无人机爱好者组织小规模无人机表演，按照如图所示规律排列图形，若从第一组开始依次排列, 则 210 架无人机可以同时排出的图形组数是
A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
8. 已知点 是椭圆 的下顶点， 是 的右焦点，延长 交 于点 ， 若 ,则 的离心率为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 顶点在原点,对称轴是坐标轴,并且经过点 的抛物线的标准方程是
A. B. C. D.
10. 记 为各项均为正数的数列 的前 项和,且 ,则
A. B. 是递增数列
C. 是递增数列 D.
11. 已知函数 与其导函数 的定义域均为 ,且 与 均为偶函数,则
A. 为偶函数 B. 为奇函数
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 函数 的图象在 处的切线方程是_____.
13. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 _____.
14. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、 推理论证、思维方法等之中, 揭示了规律性, 是一种科学的真实美. 在平面直角坐标系中, 曲线 就是一条形状优美的曲线,若 是曲线 上任意一点,则 |4a+3b-18|的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
已知圆 的圆心 在直线 上.
(1)求圆 的方程；
(2)已知直线 过点 且与圆 相切,求直线 的方程.
16.(本小题满分 15 分)
已知函数 在 处取得极大值 .
(1)求 ， 的值；
(2)求函数 的零点的个数.
17. (本小题满分 15 分)
已知公比为正数的等比数列 的前 项和为 ,且 ,数列 满足 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
18. (本小题满分 17 分)
设 为抛物线 的焦点， 为 上三个不同的点，且
(1)求 的方程；
(2)设过点 的直线 交 于 ， 两点.
①若直线 交圆 于 ， 两点，其中 ， 位于第一象限，求 的最小值;
②过点 作 的垂线 ，直线 交 于 ， 两点，设线段 ， 的中点分别为 ， ， 求证:直线 过定点.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)若 ，讨论 在 上的单调性；
(2)若 ， ，证明: ；
(3)当 时,若 ,且 在 处取得极值,求证: .
参考答案、提示及评分细则
1. 由题意得 ,所以 ,即该质点在 时的瞬时速度为 . 故选 A.
2. 设直线 的方程是 ,因为直线 过点 ,所以 ,解得 ,所以直线 的方程是 . 故选 D.
3. C 因为 ,所以 ,令 ,得 ,令 , 得 ,所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 的最大值是 . 故选 C.
4. B 设等比数列 的公比为 ,由 ,得 ,由 ,得 ,解得 2,所以 . 故选 B.
5.D 易知该圆圆心为 的中点 ,半径 ,所以该圆的方程为: . 故选 D.
6. A 由题意知,双曲线的焦距是椭圆焦距的 3 倍,则 ,化简得 ,则 ,所以该双曲线的渐近线为 ,即 . 故选 A.
7. C 记第 组中无人机的架数为 ,由图形可得 ,所以 是首项为 1,公差为 3 的等差数列,所以 的前 项和 ,令 ,得 ,解得 (舍) 或 ,所以210架无人机可以同时排出的图形组数是 12 . 故选 C.
8. 设椭圆 的焦距为 ,设 ,所以 ,因为 ,所以 即 即 ,因为点 在椭圆 上,所以 ,所以 ，所以 的离心率为 . 故选 B.
9.BC 因为抛物线经过 ,所以抛物线开口向左或开口向上,设开口向左的抛物线方程为 ,将点 代入,得 ,所以开口向左的抛物线方程为 ,故 正确; 设开口向上的抛物线方程为 ,将点 代入,得 ,所以开口向上的抛物线方程为 ,故 正确. 故选 BC.
10. 由 ,得 ,解得 或 ,又 ,所以 ,故 正确; 所以 ,当 时, ,两式作差得 ,即 时, ,所以 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,故 . 易得其是递增数列,故 正确; 此时 为定值, 故 C 错误; 易得 ,故 D 错误. 故选 AB.
11.BC 对于 A，因为 为偶函数，所以 ，即， ，所以 关于 对称,若 为偶函数,则 ,所以 ,所以以 关于点 对称,这与 关于 对称矛盾,所以 错误; 对于 ,因为 为偶函数,所以 ,即 ,所以当 时, , 即 为奇函数,所以 正确; 对于 ,因为 为偶函数,即 ,所以 ,所以 . 由 ,得 , 所以 ,故 正确; 对于 ,由 ,得 ,所以 1 , 故 D 错误. 故选 BC.
12. 由已知,得 ,所以 ,所以所求切线方程为 ,即 .
13.56 因为 是等差数列,所以 成等差数列,即 ,所以 ,解得 .
14. 由曲线 ,易得曲线 关于两坐标轴对称,关于原点对称,当 时,曲线 的方程可化为 ,利用对称性可得曲线 如图所示. 到直线 的距离 ,则 即为 ,要求得 的最小值,结合曲线的对称性,只需考虑 时的情况即可. 当 时,曲线 的方程为 ,曲线为圆心为 ,半径为 的圆的一部分,而 到直线 的距离为 ,由圆的性质得曲线 上一点到直线 的距离 的最小值为 ,故 的最小值为 .
15. 解:(1)圆 的圆心为 ，
因为圆 的圆心在直线 上,所以 ,解得 ,
所以圆 的方程为 . 4 分
(2)当直线 的斜率不存在时, 的方程为 ,此时圆心 到直线 的距离 ,所以直线 与圆 相切; 8 分
当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 ,即 ,
所以圆心 到直线 的距离 ,解得 ,
所以直线 的方程为 . 12 分
综上所述,直线 的方程为 或 . 13 分
16. 解: (1) 对 求导得 , 1 分
故 ,且 , 3 分
解得 .
经检验, 符合题意,所以 . 6 分
(2)令 或 ，
令 ,
所以函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 , 10 分所以可得函数 的极小值为 ,
又极大值为 ,
而 , 13 分
综上所述，函数 的零点的个数为 1，且零点位于区间 内. 15 分
17. 解: (1) 设等比数列 的公比为 ,
由 ,得 ,又 ,所以 ,解得 或 (舍去).
1 分
又 ，则 ，解得 ， 2 分
所以 . 3 分
由 ,得 , 4 分
所以 ,
以上各式相乘,得 , 6 分
又 ,所以 ,且 满足上式,所以 . 7 分
(2)由(1)，得 ， 9 分
所以 ， 11 分
两式相减,得 , 13 分
所以 ,
即 . 15 分
18.(1)解:由题意得焦点 ,设 ，
因为 ,所以 ,
即 , 2 分
所以 ,解得 , 所以 的方程为 . 5 分
(2)① 解:圆 化为标准式为 ,其圆心恰为 ,半径为 1, 6 分
当直线 斜率存在时,根据题意可设直线 的方程为 ,
由 得 , 7 分
8 分
因为 ,所以 ,当且仅当 ,即 时等号成立,
当直线 斜率不存在时, ,
所以 的最小值为 4 . 11 分
② 证明:由题知直线 的斜率 存在且不为 0，由①得 ,则 . 12 分
用 替换 得点 . 13 分
当 ,即 时,直线 的斜率 , 14 分
所以直线 的方程为 ,整理得 ,
所以直线 恒过点 ; 16 分
当 时,直线 的方程为 ,也过点 .
综上所述，直线 恒过点 . 17 分
19.(1)解:若 ，则 ， ， 1 分
当 时, 在 上恒成立,所以 单调递增; 2 分
当 时,令 ,得 ,
当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增.
综上所述，当 时， 在 上单调递增; 当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增. 4 分
(2)证明:若 ，则 ，定义域为 ，
由 ,得 , 5 分
因为 在 上单调递增,所以 在 上单调递增,
又 ,所以存在 ,使得 ,即 . 6 分
当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增.
所以 的极小值为 ,也是最小值. 7 分
由 ,得 ,所以 , 9 分
当且仅当 ,即 时,等号成立,但 ,所以 ,
即 时, . 10 分
(3)证明:当 时， ，
令 ,则 ,当 时, ,所以 单调递增,即 单调递增, 11 分
又 ,所以存在 ,使得 ,即 .
当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,所以 是 的极小值点. 12 分
因为 ,且 ,不妨设 ,则 ,
要证 ,即证 ,
因为 ,所以 ,又 在 上单调递增,且 ,因此只要证 , 13 分
设 ,则 , 所以 ,
令 ,则 ,
设 ,
则 ,所以 在 上单调递增,即 在 上单调递增, ,所以 在 上单调递减, ,所以 在 上单调递增,从而 , 16 分
所以 时, ,又 ,所以 成立.
综上所述， . 17 分
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