2025-2026学年下学期辽宁大连高三数学3月第二次教学质量调研试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期辽宁大连高三数学3月第二次教学质量调研试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 530.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-22 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026 学年下学期高三第二次 教学质量调研 数学试卷
满分 150 分 时间 120 分钟
★祝考试顺利★
注意事项:
1. 答卷前:先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 选择题, 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3. 非选择题,用 0.5mm 黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域,写在非答题区域无效。
4. 画图清晰，并用 2B 铅笔加深。
第 I 卷 (共 58 分)
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求
1. 集合 ，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B. C. D.
2. ” ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知复数 满足 ，且 ，则 ()
A. B. C. 2 D.
4. 若关于 的方程 有两相异实根 ,且 ,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 已知 ，则 的最大值是( )
A. 1 B. C. D.
6. 抛物线 的准线与 轴交于点 ,过 作直线交抛物线于点 ,点 在抛物线对称轴上,且 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 已知点 在直线 上，点 在直线 上，且 ， 则 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 与 、 的具体值有关
8. 已知函数 ,若 ,则 的最大值为( )
A. 1 B. C. 2 D.
二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列命题成立的是( )
A. 已知 ,若 ,则
B. 若一组样本数据 对应的样本点都在直线 上,则这组样本数据的相关系数 为 -1
C. 以模型 去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设 ,求得线性回归方程为 ,则 的值分别是 4 和 0.3
D. 对分类变量 与 的独立性检验的统计量 来说, 值越大,判断 “ 与 有关系”的把握性越小
10. 已知数列 满足 ， 是 的前 项和，则下列说法正确的是 ( )
A. B. 是等比数列
C. D. 若 ，当 为奇数时，满足 的 最大值为 43
11. 随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所. 如图，某公园内有一个以 为圆心，半径为 ，圆心角为 的扇形人工湖 是分别由 延伸而成的两条健身步道. 为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与 相切于点 ，且与 分别相交于 ，另两条是分别和湖岸 垂直的 、 (垂足均不与 重合)，在 区域以内，扇形人工湖 以外的空地铺上草坪， 则( )
A. 的范围是
B. 新增步道 的长度可以为
C. 新增步道 长度之和不可能为
D. 当点 为 的中点时,草坪的面积为
第 II 卷 (共 92 分)
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，把答案填在答卷纸相应位置上
12. 已知在 的展开式中,第 3 项的二项式系数与第 5 项的二项式系数相等,则 的系数为_____. (用数字作答)
13. 现从甲、乙、丙等 6 人中,先随机抽取 1 人唱歌,再在剩余 5 人中随机抽取 2 人跳舞，在抽取到的 3 个人中，甲、乙中有且只有 1 人被抽到，且丙不被抽到去跳舞的抽法有_____ 种.
14. 已知四棱锥 的底面为菱形，三棱锥 为正四面体，则三棱锥 与三棱锥 的外接球半径的比值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(本小题 13 分)
如图，在等腰 中， ， ， 为边 上的一动点，连接 ， 作 ,垂足为 ,且 在线段 上(不包括端点 ).
(1)若 ，求 的长度；
(2)求 的取值范围.
16. (本小题 15 分)
欲从 两个频道中随机选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播放进行测试,每次播放一个频道. 已知 频道每次播放成功的概率为 频道每次播放成功的概率为 ，且每次播放互不影响.
约定 1: 任选一个频道进行播放, 若播放成功, 便成为优选频道;
约定 2: 从 频道开始播放,先成功播放的频道为优选频道,当决定出优选频道或两频道都播放 3 次均失败, 结束测试.
(1)按照约定 1，求在播放一次就成功的条件下，A 频道成为优选频道的概率；
(2)按照约定 2 ，
(i)两个频道共播放不超过 4 次时，求 频道成为优选频道的概率；
(ii) 测试结束时,求 频道播放次数 的分布列与数学期望.
17. (本小题 15 分)
如图所示,在四棱锥 中,平面 平面 ,
.
(1)若点 是棱 上一点，且 平面 ，求 ；
(2)若 ，平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. (本小题 17 分)
椭圆 的经过中心的弦称为椭圆的一条直径,平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段,称为该直径的共轭直径,已知椭圆的方程为 .
(1)若一条直径的斜率为 ，求该直径的共轭直径所在的直线方程；
(2)若椭圆的两条共轭直径为 和 ，它们的斜率分别为 ， ，证明:四边形 的面积为定值.
19. (本小题 17 分)
定义: 若存在 ,使得曲线 在点 和点 处有相同的切线 ,则称切线 为曲线 的 “自公切线”. 已知函数 .
(1)若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)证明:当 时，曲线 不存在 “自公切线”；
(3)若曲线 有且只有两条 “自公切线”，求实数 的取值范围.
2025-2026 学年下学期高三第二次
教学质量调研 数学试卷参考答案
一. 单选题: 1-8 题: BCDCBDBA
二. 多选题: 9-11 题: AB ACD BCD
三. 填空题: 12.60 13.
四. 解答题:
15.【解】(1)在 中，由正弦定理 .3 分
(2)不妨设 ，则 ， ， .5 分 .6 分
在 中,由正弦定理得 .8 分
则 .11 分
由于 ,
.13 分
16.【解】(1)设“任选一个频道播放，该频道是 A 频道”为事件 ，“任选一个频道播放，该频道是 频道”为事件 ，“任选一个频道播放一次，该频道播放成功”为事件 ， .1 分所以 , .2 分
在播放一次就成功的条件下， 频道成为优选频道的概率为
.5 分
(2)(i)播放 1 次 频道成为优选频道的概率为 ，
播放 3 次 频道成为优选频道的概率为 ,
所以 频道成为优选频道的概率为 .8 分
(ii) 的所有可能取值为0,1,2,3, .9 分
.12 分所以 的分布列为:
0 1 2 3
2
.13 分
所以数学期望为 . .15 分
17.【解】(1)因为 ，
所以 ,所以 ,且 , 所以 是等边三角形.
取 的中点 ,连接 ,所以 . 又 ,则 .
又因为 平面 平面 ,所以 平面 . .3 分
又因为 平面 平面 平面 ,
所以平面 平面 . .5 分
因为平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 ,所以 是棱 的中点,即 . .7 分
(2)如图，延长 ， 交于点 ，连接 ，则直线 为直线 ， .8 分
过点 作 ,交 于点 ,连接 .
因为平面 平面 ,平面 平面 ,
平面 ,所以 平面 . .10 分
又 ,所以 是直角三角形,且 ,
所以 . 又 ,所以 ,且 . 以 为坐标原点, 的方向分别为 轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系 . 11 分
则 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则
令 ,得 ,
所以 . .13 分
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
即直线 与平面 所成的角的正弦值为 . .15 分
18.【解】(1)设斜率为 的与直径平行的弦的端点坐标分别为 ，
弦中点为 ,则 ,
相减得: ,
由于 ,且 ,所以得, , 故该直径的共轭直径所在的直线方程为 .4 分
(2)椭圆的两条共轭直径为 和 ，它们的斜率分别为 ，
四边形 显然为平行四边形,设与 平行的弦的端点坐标分别为 ,
则 ,而 ,
故 , .8 分
由 得 的坐标分别为 故 ,
同理 的坐标分别为 11 分设点 到直线 的距离为 ，四边形 的面积为 ，
所以, , .13 分
为定值 .17 分
19.【解】(1)当 时, , 由题意可知, ,即 在区间 上恒成立 .1 分
设函数 ,则 ,
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
所以 ,所以 ,即 .3 分
(2)当 时， ，
假设 在点 和点 处存在 “自公切线” ,
则 的斜率 ,
即 .4 分
同时 ,
故 ,即 .6 分
不妨设 ,令 ,
则 ,所以 在区间 上单调递减, , 故 不成立所以当 时,曲线 不存在 “自公切线” ..8 分
(3)因为 ，所以 为偶函数，
又由(2)可得，当 时，曲线 不存在 “自公切线”,
所以当 时,曲线 也不存在 “自公切线”.
假设 在点 和点 处存在 “自公切线” ,
则 和 只可能一正一负,不妨设 ,
则 的斜率
即 .10 分
同时 ,
所以 ,
所以 或 ,即 或 , .11 分
① 当 时，因为 ，所以 ，
所以 ,令 ,则 ,
当 时， ， 在 上单调递增， ，
所以函数 没有零点,此时没有满足题意的 ,即 没有 “自公切线”;
当 时, 时, 单调递减,
时, 单调递增,
所以 ,
因为 ,且 时, ,
当 ,即 时, 没有零点,即 没有 “自公切线”; 当 时,即 时, 有一个零点,即 有一条 “自公切线”; 当 时,即 时, 有两个零点,即 有两条 “自公切线”.
.14 分
② 当 时， ，又 ， ，所以 ，
因为 ,所以 ,
所以 ,
设函数 ,
当 时， 单调递减；
当 时, 单调递增,
且
所以当 ，即 时， 有一个解，即 有一条 “自公切线”；
当 ,即 时, 有两个解,即 有两条 “自公切线”; 当 或 ,即 或 时, 无解,即 没有 “自公切线”. 又因为当 时,
在情况① 中， ， ；
在情况② 中， ， ；
所以当 时, 与 同时成立, 有且只有一条 “自公切线”. 综上所述,若曲线 有且只有两条 “自公切线”,实数 的取值范围是 .
.17 分
满分 150 分 时间 120 分钟
★祝考试顺利★
注意事项:
1. 答卷前:先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 选择题, 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3. 非选择题,用 0.5mm 黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域,写在非答题区域无效。
4. 画图清晰，并用 2B 铅笔加深。
第 I 卷 (共 58 分)
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求
1. 集合 ，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B. C. D.
2. ” ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知复数 满足 ，且 ，则 ()
A. B. C. 2 D.
4. 若关于 的方程 有两相异实根 ,且 ,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 已知 ，则 的最大值是( )
A. 1 B. C. D.
6. 抛物线 的准线与 轴交于点 ,过 作直线交抛物线于点 ,点 在抛物线对称轴上,且 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 已知点 在直线 上，点 在直线 上，且 ， 则 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 与 、 的具体值有关
8. 已知函数 ,若 ,则 的最大值为( )
A. 1 B. C. 2 D.
二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列命题成立的是( )
A. 已知 ,若 ,则
B. 若一组样本数据 对应的样本点都在直线 上,则这组样本数据的相关系数 为 -1
C. 以模型 去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设 ,求得线性回归方程为 ,则 的值分别是 4 和 0.3
D. 对分类变量 与 的独立性检验的统计量 来说, 值越大,判断 “ 与 有关系”的把握性越小
10. 已知数列 满足 ， 是 的前 项和，则下列说法正确的是 ( )
A. B. 是等比数列
C. D. 若 ，当 为奇数时，满足 的 最大值为 43
11. 随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所. 如图，某公园内有一个以 为圆心，半径为 ，圆心角为 的扇形人工湖 是分别由 延伸而成的两条健身步道. 为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与 相切于点 ，且与 分别相交于 ，另两条是分别和湖岸 垂直的 、 (垂足均不与 重合)，在 区域以内，扇形人工湖 以外的空地铺上草坪， 则( )
A. 的范围是
B. 新增步道 的长度可以为
C. 新增步道 长度之和不可能为
D. 当点 为 的中点时,草坪的面积为
第 II 卷 (共 92 分)
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，把答案填在答卷纸相应位置上
12. 已知在 的展开式中,第 3 项的二项式系数与第 5 项的二项式系数相等,则 的系数为_____. (用数字作答)
13. 现从甲、乙、丙等 6 人中,先随机抽取 1 人唱歌,再在剩余 5 人中随机抽取 2 人跳舞，在抽取到的 3 个人中，甲、乙中有且只有 1 人被抽到，且丙不被抽到去跳舞的抽法有_____ 种.
14. 已知四棱锥 的底面为菱形，三棱锥 为正四面体，则三棱锥 与三棱锥 的外接球半径的比值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(本小题 13 分)
如图，在等腰 中， ， ， 为边 上的一动点，连接 ， 作 ,垂足为 ,且 在线段 上(不包括端点 ).
(1)若 ，求 的长度；
(2)求 的取值范围.
16. (本小题 15 分)
欲从 两个频道中随机选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播放进行测试,每次播放一个频道. 已知 频道每次播放成功的概率为 频道每次播放成功的概率为 ，且每次播放互不影响.
约定 1: 任选一个频道进行播放, 若播放成功, 便成为优选频道;
约定 2: 从 频道开始播放,先成功播放的频道为优选频道,当决定出优选频道或两频道都播放 3 次均失败, 结束测试.
(1)按照约定 1，求在播放一次就成功的条件下，A 频道成为优选频道的概率；
(2)按照约定 2 ，
(i)两个频道共播放不超过 4 次时，求 频道成为优选频道的概率；
(ii) 测试结束时,求 频道播放次数 的分布列与数学期望.
17. (本小题 15 分)
如图所示,在四棱锥 中,平面 平面 ,
.
(1)若点 是棱 上一点，且 平面 ，求 ；
(2)若 ，平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. (本小题 17 分)
椭圆 的经过中心的弦称为椭圆的一条直径,平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段,称为该直径的共轭直径,已知椭圆的方程为 .
(1)若一条直径的斜率为 ，求该直径的共轭直径所在的直线方程；
(2)若椭圆的两条共轭直径为 和 ，它们的斜率分别为 ， ，证明:四边形 的面积为定值.
19. (本小题 17 分)
定义: 若存在 ,使得曲线 在点 和点 处有相同的切线 ,则称切线 为曲线 的 “自公切线”. 已知函数 .
(1)若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)证明:当 时，曲线 不存在 “自公切线”；
(3)若曲线 有且只有两条 “自公切线”，求实数 的取值范围.
2025-2026 学年下学期高三第二次
教学质量调研 数学试卷参考答案
一. 单选题: 1-8 题: BCDCBDBA
二. 多选题: 9-11 题: AB ACD BCD
三. 填空题: 12.60 13.
四. 解答题:
15.【解】(1)在 中，由正弦定理 .3 分
(2)不妨设 ，则 ， ， .5 分 .6 分
在 中,由正弦定理得 .8 分
则 .11 分
由于 ,
.13 分
16.【解】(1)设“任选一个频道播放，该频道是 A 频道”为事件 ，“任选一个频道播放，该频道是 频道”为事件 ，“任选一个频道播放一次，该频道播放成功”为事件 ， .1 分所以 , .2 分
在播放一次就成功的条件下， 频道成为优选频道的概率为
.5 分
(2)(i)播放 1 次 频道成为优选频道的概率为 ，
播放 3 次 频道成为优选频道的概率为 ,
所以 频道成为优选频道的概率为 .8 分
(ii) 的所有可能取值为0,1,2,3, .9 分
.12 分所以 的分布列为:
0 1 2 3
2
.13 分
所以数学期望为 . .15 分
17.【解】(1)因为 ，
所以 ,所以 ,且 , 所以 是等边三角形.
取 的中点 ,连接 ,所以 . 又 ,则 .
又因为 平面 平面 ,所以 平面 . .3 分
又因为 平面 平面 平面 ,
所以平面 平面 . .5 分
因为平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 ,所以 是棱 的中点,即 . .7 分
(2)如图，延长 ， 交于点 ，连接 ，则直线 为直线 ， .8 分
过点 作 ,交 于点 ,连接 .
因为平面 平面 ,平面 平面 ,
平面 ,所以 平面 . .10 分
又 ,所以 是直角三角形,且 ,
所以 . 又 ,所以 ,且 . 以 为坐标原点, 的方向分别为 轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系 . 11 分
则 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则
令 ,得 ,
所以 . .13 分
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
即直线 与平面 所成的角的正弦值为 . .15 分
18.【解】(1)设斜率为 的与直径平行的弦的端点坐标分别为 ，
弦中点为 ,则 ,
相减得: ,
由于 ,且 ,所以得, , 故该直径的共轭直径所在的直线方程为 .4 分
(2)椭圆的两条共轭直径为 和 ，它们的斜率分别为 ，
四边形 显然为平行四边形,设与 平行的弦的端点坐标分别为 ,
则 ,而 ,
故 , .8 分
由 得 的坐标分别为 故 ,
同理 的坐标分别为 11 分设点 到直线 的距离为 ，四边形 的面积为 ，
所以, , .13 分
为定值 .17 分
19.【解】(1)当 时, , 由题意可知, ,即 在区间 上恒成立 .1 分
设函数 ,则 ,
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
所以 ,所以 ,即 .3 分
(2)当 时， ，
假设 在点 和点 处存在 “自公切线” ,
则 的斜率 ,
即 .4 分
同时 ,
故 ,即 .6 分
不妨设 ,令 ,
则 ,所以 在区间 上单调递减, , 故 不成立所以当 时,曲线 不存在 “自公切线” ..8 分
(3)因为 ，所以 为偶函数，
又由(2)可得，当 时，曲线 不存在 “自公切线”,
所以当 时,曲线 也不存在 “自公切线”.
假设 在点 和点 处存在 “自公切线” ,
则 和 只可能一正一负,不妨设 ,
则 的斜率
即 .10 分
同时 ,
所以 ,
所以 或 ,即 或 , .11 分
① 当 时，因为 ，所以 ，
所以 ,令 ,则 ,
当 时， ， 在 上单调递增， ，
所以函数 没有零点,此时没有满足题意的 ,即 没有 “自公切线”;
当 时, 时, 单调递减,
时, 单调递增,
所以 ,
因为 ,且 时, ,
当 ,即 时, 没有零点,即 没有 “自公切线”; 当 时,即 时, 有一个零点,即 有一条 “自公切线”; 当 时,即 时, 有两个零点,即 有两条 “自公切线”.
.14 分
② 当 时， ，又 ， ，所以 ，
因为 ,所以 ,
所以 ,
设函数 ,
当 时， 单调递减；
当 时, 单调递增,
且
所以当 ，即 时， 有一个解，即 有一条 “自公切线”；
当 ,即 时, 有两个解,即 有两条 “自公切线”; 当 或 ,即 或 时, 无解,即 没有 “自公切线”. 又因为当 时,
在情况① 中， ， ；
在情况② 中， ， ；
所以当 时, 与 同时成立, 有且只有一条 “自公切线”. 综上所述,若曲线 有且只有两条 “自公切线”,实数 的取值范围是 .
.17 分
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