2025-2026学年下学期浙江温州高二数学3月质量检测试卷（含答案）

数学学科 试题
本试题卷考查范围:所学内容
注意事项:
1. 全卷共 4 页，19 小题, 满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 作答选择题时,选出每小题答案后,用 铅笔把答题卷上对应题目的选项的答案信息点涂黑; 如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上.
3. 非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.
选择题部分 (共 58 分)
一、选择題:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的.
1. 已知集合 ，其中 为虚数单位，则 ( A )
A. B. C. D.
2. 若 且 ,则 “ ” 是 “ 为等差数列” 的 (▲)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 已知 的展开式中二项式系数之和为 32,各项系数之和为 243,则其展开式中 的系数是 ( A )
A. 48 B. 64 C. 40 D. 80
4. 设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,以下说法正确的是 (▲)
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
5. 科学研究中经常涉及对粒子状态的分析. 某假想粒子有状态 1，状态 2，状态 3，……，每种状态下的粒子经过 1 秒有两种可能:状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态 1 的粒子有 的概率变为状态 2，状态 2 的粒子有 的概率变为状态 3，以此类推. 现有若干状态 1 的该粒子，则经过 3 秒处于状态 1 和状态 2 的粒子数目约占 ( A )
A. 39% B. 51%
C. 64% D. 73%
6. 已知直线 与 相交于点 ，直线 与圆 交于两点 ，且 ，则 的最大值为 ( ▲ )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
7. 在 中,内角 的对边分别为 ,则 一定为
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形
8. 已知数列 、 、 的通项公式为 . 若对任意的 ; 、 、 的值均能构成三角形,则满足条件的正整数 的个数是 ( A )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
二、选择题:本题共3小题，每小题 6 分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法中正确的有 ( A )
A.
B.
C.
D. 已知函数 在 上可导,若 ,则
10. 如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线 称为四叶草曲线,记抛物线在每个象限内的交点分别为 . 已知这四条抛物线的焦点共圆,若开口向右的抛物线方程为 ,过点 作直线 与曲线 在第一、四象限内共相交于四个点,分别记最下方和最上方的交点为 ,且 ,则 ( A )
A. 开口向下的抛物线的焦点坐标为
B. 曲线 上两点间距离的最大值为
C. 点 不在曲线 的内部
D. 直线 的斜率为
11. 如图,在棱长为 2 的正方体 中, 分别为 的中点,下列说法正确的有 ( A )
A. 直线 平面
B. 直线 平面
C. 异面直线 与 所成角的余弦值
D. 三棱锥 的体积为
非选择题部分(共 92 分)
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 双曲线 的一个焦点为 ，则 _____▲_____.
13. 从 5 名女老师和 3 名男老师中选出一位主考和两位监考参加 2025 年高考某考场的监考工作. 要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为_____▲_____.
14. 已知函数 ，对任意 ，都有 ，则 的取值范围为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线 和圆 为坐标原点.
(1)直线 与圆 相切时,求 的值；
(2) 直线 与圆 相交于 、 两点， 的面积为 ，求直线 的方程.
16. 如图，在三棱柱 中， 为等边三角形，四边形 是边长为 2 的正方形， 为 中点,且 .
(1)求证: 平面 ；
(2)已知 为线段 中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 已知数列 各项均不为零, .
(1)当 时，求 的前 50 项和；
(2) 若 ,求正整数 的最小值.
18. 已知动圆过定点 ,且被 轴截得的弦长为 4 .
(1)求动圆圆心 的轨迹方程；
(2)已知过点 的直线 与圆心 的轨迹交于 两点，点 关于 轴的对称点为 .
(i) 求 面积的最小值;
(ii) 证明: 直线 必过定点 .
19. 已知函数 ,
(1)求 的最小值；
(2)若 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
(3) 若 且 ,求证: .
数学学科 参考答案
一、选择題: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D D C D A B
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
答案 BCD BD CD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 1 13. 210 14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1) 圆 的圆心为 ,半径 ,
因为直线 与圆 相切,所以 ,解得 ;
(2)因为 ，
所以 ,即 或 ,
当 时, 为等边三角形,此时圆心 到直线 的距离为 ,
则 ,解得 ,此时直线 ;
当 时,此时 为等腰三角形,且 ,此时圆心 到直线 的距离为 ,则 ,解得 ,此时直线 ;
综上: 直线 的方程为 .
16. (1) 在三棱柱 中， ,则 .
又四边形 是正方形,则 ,所以 .
又 平面 ,因此 平面 .
又 平面 ,所以 .
在等边 中, 为 中点,则 ,
又 平面 ,所以 平面 .
(2)
取 中点为 中点为 ,则 .
由 (1) 知, 平面 平面 ,则 . 又 ,故 .
又 平面 ,则 平面 . 即 两两垂直.
以 为坐标原点, 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向,建立空间直角坐标系,
则 ,
因为 为线段 中点，所以 .
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,故可取 .
设直线 与平面 所成角为 ,
则
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17. (1) 因为数列 各项均不为零, ,
所以当 时,由 ,
所以有 ,
所以此时该数列的周期为 6 , 因此 ,
所以 的前 50 项和为 ;
(2) 由 ,
因为 ,所以 ,
因为 ,
所以 ,或 ,
因为 是正整数,所以 ,即
当 时,由 ,
所以数列 是以 为首项,公差为 的等差数列,
因此 ,所以 ,
显然 恒成立,所以正整数 的最小值为 2 .
18. (1) 设动圆圆心为 ,则 ,
圆心 到 轴距离为 ,动圆被 轴截得的半弦长为 2,
则 ,化简得 ,所以动圆圆心 的轨迹方程为 .
(2)
(i) 解: 设直线 的方程为 ,
联立 ,得 ,则 ,
则 的面积为 ,当且仅当 时取等号.
所以 面积的最小值为 .
(ii) 证明: 由题得 ,则直线 的方程为 ,
根据抛物线的对称性可知定点必定在 轴上,
令 ,得
所以直线 必过定点 .
19. (1) ,令 ,解得 .
则
- 0 +
↘ 极小值 ↗
所以 ,故 的最小值为 .
(2) 设 ,则 .
令 ,则 .
(i) 当 时,因为 ,则 ,所以 在 上恒成立;
(ii) 当 时, ,所以 在 上递增,
所以 ,所以 在 上递增,
所以 在 上恒成立;
(iii) 当 时, ,所以 在 上递增,
因为 ,
所以 在 上存在唯一零点 ,
所以当 时, ,则当 时, ,不满足条件.
综上所述，实数 的取值范围为 .
(3) 证明: 由 得 ,
则 .
要证 ,可证 ,
即证 .
令 ,即证 ,
即证 .
先证明 ,
令 ,则只需证明 ,
又易证 ,
所以
所以 在 上单调递减,则 ,
即 .
再证明 ,
令 ,则只需证明 .
因为 ,
所以 在 上单调递增,则 ,
即 .
综上所述, .