2025-2026学年下学期重庆巴蜀中学高三数学3月适应性月考七试卷（含答案）

数学试卷
注意事项:
1，答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效.
3. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分, 考试用时 120 分钟.
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的)
1. 样本数据4,16,5,27,6,30,11,21的第 25 百分位数为
A. 27 B. 24 C. 5 D.
2. 设 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若等差数列 满足 且 ，则数列 的前 12 项和为
A. 48 B. 64
C. 80 D. 112
4. 已知 是两条不重合的直线, 是两个不重合的平面,则使得 成立的是
A B.
C. D.
5. 直线 绕原点顺时针旋转 ，再向左平移 1 个单位，所得到的直线为
A. B.
C. D.
6. 已知向量 且 ，对任意实数 ，恒有 ，则
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
7. 在 的二项展开式中,若常数项为 240,则 项的系数为
A. 60 B. 36
C. 729 D. 6
8. 已知 均为锐角,则
A. B.
C. D. 或
二、多项选择题(本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 对于函数 和 ,下列说法中正确的有
A. 与 有相同的最小值
B. 与 有相同的最小正周期
C. 与 的图象有相同的对称轴
D. 与 的图象有相同的对称中心
10. 已知 是定义在 上的奇函数, 在 处的切线与曲线 相切于点 ,则下列说法正确的是
A.
B.
C.
D. 曲线 在 处的切线方程为
11. 已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴交于点 . 过点 的直线 与抛物线交于 、 两点,则下列说法正确的是
A.
B. 若 (0 为坐标原点),则抛物线的方程为
C. 焦点 到直线 的距离的最大值为
D. 中至多有 3 个角为锐角
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 设 ,若复数 在复平面内对应的点位于虚轴上,则 _____.
13. 已知函数 的图象经过点 ,若 ,则 _____.
14. 函数 的值域是_____.
四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
已知圆锥的顶点为 ,底面圆 的半径为 2,体积为 .
(1)求圆锥的表面积；
(2)如图，设 、 是底面圆的半径且 是等腰直角三角形， 为线段 的中点，求直线 与平面 所成的角的正弦值.
16. (本小题满分 15 分)
在 中,角 的对边分别为 . 已知 的外接圆的面积为 , .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值.
17. (本小题满分 15 分)
已知直线 分别是双曲线 的两条渐近线,设动点 到直线 的距离分别为 .
(1)若 ， 为正常数，求动点 的轨迹方程并指出轨迹的形状；
(2)若 为正常数，求动点 的轨迹方程并指出轨迹的形状.
18. (本小题满分 17 分)
小明手中有 2 张 “中奖” 奖券和 1 张 “谢谢惠顾” 的未中奖奖券, 小红手中有 3 张 “谢谢惠顾” 的未中奖奖券. 小明与小红商量后, 他俩进行交换奖券的游戏: 每次小明、小红都从对方手中各随机取一张奖券作为交换. 记交换 次后,小明恰有 1 张 “中奖” 奖券的概率为 .
(1)求 ；
(2)推导 与 之间的递推关系;
(3)求数列 的通项公式及其前 项和 .
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)求函数 的单调区间与极值；
(2)若函数 在 上有两个零点，求 的取值范围；
(3)①比较 与 的大小；②比较 与 的大小；其中 为自然对数的底数.
数学参考答案
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C B C D A C
1. 样本数据的第 25 百分位数为 ,故选 D.
2. 由 可得 ,解得 ; 由 ,解得 ; 故 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件,故选 A.
3. 由 解得 ,故 ; 令 ; 设数列 的前 项和为 ,则数列 的前 4 项和为 ,故数列 的前 12 项和为 ,故选 C.
4. 由 知 ; 又 ,故 ,故 正确; A、C、D 均有可能不垂直, 故选 B.
5. 直线 绕原点顺时针旋转 所得直线的斜率 ，此时该直线方程为 ，再向左平移 1 个单位，所得到的直线为 ,故选 C.
6. 由 ,可得 ,化简得 ,可得 恒成立,故 ,故 ,故选 D.
7. ,由题意得 ,解得 ; 故 项的系数为 ,故选 A.
8. 由 知 ; 因为 为锐角,所以 ,所以 ,所以 ,故 ,故选 C.
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
题号 9 10 11
答案 ABC ACD ABD
9. ; 对于 A: ,故 正确; 对于 B: 的最小正周期均为 ,故 B 正确; 对于 C: 与 的图象有相同的对称轴 ,故 正确; 对于 的图象的对称中心为 的图象的对称中心为 ,故 错误,故选 ABC.
10. 由 是定义在 上的奇函数知 ,故曲线 在 处的切线与曲线 在 处的切线方程均为 ,故 ; 又由 求导得 ,故 ,故曲线 在 处的切线方程为 ,故选 ACD.
11. 对于 A: 过 分别作准线的垂线与准线交于 两点,则由抛物线定义结合相似三角形: ,故 正确; 对于 ,设直线 ; 联立 整理得: ; 设 ,则 ; 故若 ,则 ,故抛物线的方程为 ,故 B 正确; 对于 C: 由 知 ; 故点 到直线 的距离 ,等号无法取到, 故 错误; 对于 : 考虑极限情况: 由 知当直线 与抛物线相切时, ; 此时直线 和抛物线 相切于点 是顶点为 的等腰直角三角形,即 ; 故直线 和抛物线 交于 两点时, 与 中必然有一个为锐角,另一个为钝角, 和 有可能都是锐角; 故 中至多有 3 个角为锐角,故 D 正确,故选ABD.
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
题号 12 13 14
答案 -2 4
12. 对应点 位于虚轴上,故 .
13. 由题意: ,化简得 ,故 .
14. 令 ,则 ,故 表示圆弧 上的动点与定点 连线的斜率: 连线过 时斜率取得最大值 -1 ，连线与圆弧相切时斜率最小；设切线方程为 ,则 ,解得 (舍去) 或 ; 故函数 的值域是 .
四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
解: (1) 圆锥的体积 ,
故母线长为 ,
故圆锥的表面积 . (6 分)
(2)以 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ,所以 , 则 ，平面 的法向量 ；
(10 分)
设直线 与平面 所成的角为 ,则
,
故直线 与平面 所成的角的正弦值为 . (13 分)
16.(本小题满分 15 分)
解: (1) 由 的外接圆的面积为 知其半径 ;
故由正弦定理: ;
由 知 ,故 ; (4 分)
故由余弦定理: ;
联立 ,
故 ,解得 或 .
(8 分)
(2)若 ，则 ，故由正弦定理: ，
故 且 ;
(12 分)
故 .
(15 分)
17. (本小题满分 15 分)
解: 由题意知直线 ,直线 ; 令 .
(1) ,化简得轨迹方程为: ; (3 分) 当 时,动点 的轨迹为圆; 当 时,动点 的轨迹为椭圆.
(6 分)
(2) ，整理得轨迹方程为:
(9 分)
当 时: ;
当 时: ;
当 且 时: ;
当 且 时: ;
(13 分)
故动点 的轨迹为矩形. (15 分)
18. (本小题满分 17 分)
解: 记交换 次后,小明恰有 2 张 “中奖” 奖券的概率为 .
(1)由题意: ; 故 .
(4 分)
(2)分类考虑 (交换 次后，小明恰有 1 张 “中奖” 奖券)的情况:
①交换 次后，小明恰有 2 张 “中奖” 奖券: ；
②交换 次后，小明恰有 1 张 “中奖” 奖券: ;
③交换 次后，小明恰有 0 张 “中奖” 奖券: ;
(10 分)
综上所述: .
(11 分)
(3)由(2)知 ; 令 ,则 , 故 ,故 ; 又 ,故 ; (15 分) 故 . (17 分)
19. (本小题满分 17 分)
解: (1) 的定义域为 ,求导得 ;
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减;
故函数 的单调增区间为 ,单调减区间为 ;
极大值为 无极小值. (4 分)
(2)“函数 在 上有两个零点” 等价于 “方程 有且仅有两个解”:
(7 分)
由 (1) 知 ; 又 且 ,
故 ,故 的取值范围是 .
(9 分)
(3)①两边取对数:比较 与 的大小等价于比较 3 与 的大小:
由(1)知: 当 时, 单调递增,故 ;
(11 分)
令 ,得: ,故 ;
故 ,故 ,故 ; (14 分)
②两边取对数:比较 与 的大小等价于比较 与 的大小:
由①知 ,故 ,故 .
(17 分)