北师大版高中数学选择性必修第二册第1章数列2.1等差数列的概念及其通项公式课件

(共16张PPT)
第一章 数　列
§2　等 差 数 列
2.1　等差数列的概念及其通项公式
等差数列的概念
对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示.
1. “每一项与它的前一项的差”这一运算要求是“相邻且后项减去前项”，强调了作差的顺序以及这两项必须相邻.
2. 差必须是同一个常数.
3. 等差数列的定义是证明一个数列是等差数列的重要方法.
等差数列的通项公式
若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋（n－1）d.
等差数列与一次函数的关系
对于an＝a1＋（n－1）d＝dn＋（a1－d），可将an记作f（n），它是定义在正整数集（或其子集）上的函数.其图象是直线y＝dx＋（a1－d）上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.
当d＞0时，数列{an}为递增数列[如图（1）]；
当d＜0时，数列{an}为递减数列[如图（2）]；
当d＝0时，数列{an}为常数列[如图（3）].
等差数列的性质
1. 运算性质
（1）通项公式的推广：an＝am＋（n－m）d（n，m∈N＋）.
（2）对于等差数列{an}，a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
（3）在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N＋），则am＋an＝ap＋aq.
2. 其他常用性质
（1）若数列{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…组成的数列仍是等差数列，公差为md，即等间隔抽取的一个等差数列的子数列还是等差数列，如：a1，a3，a5，a7，a9，…是公差为2d的等差数列.
（2）若等差数列{an}，{bn}的公差分别为d，d'，项数相同或都为无穷，则有
数列 结论
{c＋an}（c为常数） 公差为d的等差数列
{c·an}（c为常数） 公差为cd的等差数列
{an＋an＋k}（k∈N＋） 公差为2d的等差数列
{pan＋qbn}（p，q为常数） 公差为pd＋qd'的等差数列
等差数列的判定
等差数列判定的方法
（1）定义法：an＋1－an＝d（d为常数，n∈N＋）或an－an－1＝d（d为常数，n≥2且n∈N＋） {an}是等差数列.
（2）等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2（n∈N＋） {an}是等差数列.
（3）通项公式法：an＝kn＋b（k，b为常数，n∈N＋） {an}是等差数列（注意此方法一般不用作证明）.
（多选）对于数列{an}，若a1＝1，an＋an＋1＝2n（n∈N＋），则下列说法正确的是（　　）
A. a4＝4 B. {an}是等差数列
C. {a2n－1}是等差数列 D. a2n＝2n－1
由a1＝1，an＋an＋1＝2n（n∈N＋），得a2＝2－a1＝1，a3＝4－a2＝3，a4＝6－a3＝3，故A错误；
则a2－a1＝0，a3－a2＝2，故B错误；
由an＋an＋1＝2n，得an＋1＋an＋2＝2（n＋1），两式相减，得an＋2－an＝2，故数列{an}的所有奇数项和所有偶数项各自构成等差数列，故C正确；
所以{a2n}是以a2＝1为首项，2为公差的等差数列，所以a2n＝1＋（n－1）×2＝2n－1，故D正确.
CD
要判断一个数列是等差数列，必须要判断或证明an－an－1（n≥2）或an＋1－an等于一个常数，不能只对数列的部分项进行证明或判断，对部分项证明或判断不能保证数列中的每一项都满足等差数列的要求.
等差数列通项公式的求解及应用
　　在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素.有关等差数列的通项公式问题，如果条件与结论之间的联系不明显，那么均可以化成关于a1，d的关系式列方程组求解，但是要注意公式的变化及整体计算，以减少计算量.
已知等差数列{an}的公差是正数，并且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求数列{an}的通项公式.
等差数列性质的应用
等差数列的常用性质
（1）an＝am＋（n－m）d（n，m∈N＋，n≠m）.
（2）若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N＋），则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p（m，n，p∈N＋），则am＋an＝2ap.
（1）已知{an}是等差数列，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋a10的值为　　　　.
因为{an}是等差数列，
所以a3＋a9＝a4＋a8＝a5＋a7＝2a6.
由a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，得7a6＝420，解得a6＝60，所以a2＋a10＝2a6＝120.
120
（2）设{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝　　　　.
因为{an}，{bn}都是等差数列，
所以{an＋bn}也是等差数列，
所以2（a3＋b3）＝（a1＋b1）＋（a5＋b5），
所以2×21＝7＋a5＋b5，
所以a5＋b5＝35.
35