北师大版高中数学选择性必修第二册第1章数列5数学归纳法课件

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第一章 数　列
*§5　数学归纳法
数学归纳法
数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是：
（1）证明：当n取第一个值n0（n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等）时，命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N＋，k≥n0）时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立.
根据（1）（2）可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.
理解数学归纳法的注意点
（1）验证是基础：数学归纳法的原理表明，第一个步骤是要找一个正整数n0，这个n0就是要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”.
（2）递推是关键：数学归纳法的关键在于递推，所以从k到k＋1的过程，必须把归纳假设当n＝k时的结论作为条件来推出当n＝k＋1时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次.另外，要注意当n＝k和n＝ k＋1时命题的变化特点，只有看清变化特点，才能迅速应用当n＝k时的假设证明出当n＝ k＋1时命题的正确性.
利用数学归纳法证明不等式
用数学归纳法证明不等式的注意点
（1）当归纳递推证明过程中方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明；
（2）在推证“当n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩、变形，便于应用所作假设，变换出要证明的结论.
又2Sn＋1＝（bn＋1－1）（bn＋1＋2），②
由②－①，得（bn＋1＋bn）（bn＋1－bn－1）＝0，
所以bn＋1－bn＝1，所以{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，故bn＝n＋1.
故数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝2n＋1，bn＝n＋1.
归纳—猜想—证明
归纳—猜想—证明是数学归纳法考查的重点题型，其解题步骤是通过特例求值，然后根据所求结果猜想出一个一般性的结论，再给出严格证明.其解题关键有两点：
（1）归纳猜想的结论一定要有一般性和准确性，这就需要多通过几个特例求值，多求得几个结果，这样猜想的结论才有一般性和准确性；
（2）由于证明方法较多，并且猜想的结论可能是等式、不等式等多种情况，所以证明过程要针对题目情况选择相应的方法.
（2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.