北师大版高中数学选择性必修第二册第1章数列数列的概念及其函数特性课件

(共26张PPT)
第一章 数　列
§1　数列的概念及其函数特性
数列的概念
按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为数列{an}，其中a1是数列的第1项，也叫数列的首项，an是数列的第n项，也叫数列的通项.
1. 数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”.也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列着的，即确定的数在确定的位置.
2. 项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位置.
3. {an}与an是不同的概念：{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，而an表示数列{an}中的第n项.
数列的分类
类别 含义
有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f（n），那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.递推公式是表示数列的一种重要方式，知道了首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项.
数列的函数特性
1. 数列与函数的关系
可以把一个数列视作定义在正整数集（或其子集）上的函数，因此可以用图象（平面直角坐标系内的一串点）来表示数列，图象中每个点的坐标为（k，ak），k＝1，2，3，…这个图象也称为数列的图象.
2. 数列的增减性
一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1＞an，那么这个数列叫作递增数列.
如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1＜an，那么这个数列叫作递减数列.
如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列.
如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫作摆动数列.
数列通项公式的求法
角度1　归纳法　
　　根据数列的前几项，归纳数列的通项公式时需要注意的是：
（1）根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住分式中分子、分母的特征，相邻项的变化特征，拆项后的特征，各项符号的特征等，并对此进行归纳、联想.
（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想.由不完全归纳法得出的结果不一定是可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用（－1）n或（－1）n＋1来调整.
（2）1，－3，5，－7，9，…；
数列各项的绝对值分别为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，其通项公式An＝2n－1.考虑（－1）n＋1具有转换符号的作用，所以数列{an}的一个通项公式an＝（－1）n＋1（2n－1）.
各项加1后，分别变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式An＝10n，可得原数列的一个通项公式an＝10n－1.
（2）a1＝1，an＋1＝2an.
数列的性质
角度1　数列的单调性　
　　用数列的单调性确定变量的取值范围，解决此类问题常用以下等价关系：
　　数列{an}递增 an＋1＞an（n∈N＋），数列{an}递减 an＋1＜an（n∈N＋），进而转化为不等式恒成立问题，通过分离变量转化为求代数式的最值问题来解决，或由数列的函数特性，通过构建变量的不等关系，解不等式（组）来确定变量的取值范围，另外，在解决问题时，需注意n∈N＋.
因为{an}是递增数列，

角度3　数列的周期性　
解决数列周期性问题的方法
　　先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.
A
当a1＝1，a2＝2时，由a1a2a3＝a1＋a2＋a3，解得a3＝3.
（2）证明3为数列{an}的一个周期，并用正整数k表示ω.
（3）求数列{an}的通项公式.