北师大版高中数学选择性必修第二册第1章数列情境通课件

(共51张PPT)
第一章 数　列
情境通
数列通项公式的其他求法
角度1　构造法　
构造法求通项公式的步骤
（1）定关系：根据已知条件确定数列相邻两项或多项之间的关系.
（2）巧变形：将关系式灵活变形为“差”或“商”的形式.
（3）得结论：根据“差”或“商”的形式，合理选用累加、累乘等方式，求通项公式.
又a1＝e，所以lnan＝nlna1＝n，
所以an＝en（n≥2），且a1＝e也符合该式，
所以an＝en.
en
在数列{an}中，a1＝1，a2＝9，an＋2＝3an＋1－2an－10，则数列{an}的通项公式为an＝　　　　.
由an＋2＝3an＋1－2an－10，
形如an＋1＋san＋tan－1＋r＝0的式子，常配凑系数构造等比数列.
得an＋2－an＋1＝2（an＋1－an）－10.
令an＋1－an＝bn，得bn＋1＝2bn－10，
则bn＋1－10＝ 2（bn－10），
所以{bn－10}是以b1－10＝a2－a1－10＝－2为首项，2为公比的等比数列，
所以bn－10＝－2×2n－1＝－2n，
即bn＝－2n＋10，
10n－2n－7
（1）已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×2n，a1＝2，求数列{an}的通项公式.

数列前n项和的求法
角度1　公式法　
　　数列是等差数列，或者是等比数列的，可以直接用对应的求和公式求解.此类问题一般比较简单.
已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且a3＝5，S5＝3S3－2.
（1）求数列{an}的通项公式.
角度2　倒序相加法　
　　如果一个数列{an}中，与首末两端“等距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
D
角度3　分组求和法　
分组求和中分组的策略
（1）根据等差、等比数列分组；
（2）根据正号、负号分组；
（3）根据数列奇数项、偶数项的性质分组.
设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，Sn＝2－2an＋1.
（1）求数列{an}的通项公式.
角度4　裂项相消法　
裂项相消法的关注点
（1）裂项时有可能列为两项的差，也有可能列为两项的和，关键是能将中间的项正负抵消.
（2）相消时关注项的增减：相消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.
（3）裂项时关注系数的变化：将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.
已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列.
（1）求数列{an}的通项公式.
角度5　错位相减法　
应用错位相减法求和的注意事项
（1）Sn的代数式保留原数列的通项形式；
（2）第二个式子是用第一个式子乘等比数列的公比；
（3）两式作差时，第二个式子的第一项与第一个式子的第二项上下对齐；
（4）作差后，出现一个等比数列求和，用含首末项的求和公式比较简单；如果用含首项、公比的求和公式，需要注意此等比数列的项数.
已知等比数列{an}的公比q＞1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项，数列{bn}满足b1＝1，数列{（bn＋1－bn）an}的前n项和为2n2＋n.
（1）求q的值.
（2）求数列{bn}的通项公式.
数列的综合应用
数列与函数、不等式、计数原理等知识的交汇问题是考试的热点内容.一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等.此类问题一般难度较大，对运算、思维、数据处理等能力有较高的要求.
设f（n）＝（a＋b）n（n∈N＋，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列，则称f（n）具有性质P.
（1）求证：f（7）具有性质P.
（2）若存在n≤2027，使f（n）具有性质P，求n的最大值.
若an＋an－1＝2（n≥2），
则有a2＋a1＝2，解得a2＝1，
即a1＝a2，这与{an}为递增数列矛盾，舍去，
所以当n≥2时，an－an－1＝2，
所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列.
（2）若对任意的n∈N＋，不等式λTn＜n＋18（－1）n＋1恒成立，求实数λ的取值范围.
数学文化
以数学文化为背景的数列问题通常会因题目背景陌生，让人无处着手.解答此类问题的关键是扩充知识面，增强对数学文化的认识，从而提高审题能力，达到顺利求解的目的.
《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章.四章为一蔀，蔀七十六岁.二十蔀为一遂，遂千五百二十岁……生数皆终，万物复始.”某老年公寓住有19位老人与1位义工，老人与义工的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中义工的年龄不超过24岁，老人的年龄依次相差1岁，则义工的年龄为（　　）
A. 18岁　　 B. 19岁　　
C. 20岁　　 D. 21岁
B
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新定义
以数列为背景的新定义问题是创新型试题的一个热点，考查频次较高.常见命题形式有新概念、新法则、新运算等.此类问题的求解策略主要是：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情境，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.
由已知，得an＝a1·3n－1，n∈N＋，所以当T＝{2，4}时，ST＝a2＋a4＝3a1＋27a1＝30a1.
又ST＝30，
所以30a1＝30，
即a1＝1.
故数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N＋.
（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T {1，2，…，k}，求证：ST＜ak＋1.
（3）设C U，D U，SC≥SD，求证：SC＋SC∩D≥2SD.
下面分三种情况证明.
①若D是C的子集，则SC＋SC∩D＝SC＋SD≥SD＋SD＝2SD.
②若C是D的子集，则SC＋SC∩D＝SC＋SC＝2SC≥2SD.
③若D不是C的子集，且C不是D的子集.
令E＝C∩（綂UD），F＝D∩（綂UC），
则E≠ ，F≠ ，E∩F＝ ，
所以SC＝SE＋SC∩D，SD＝SF＋SC∩D.
又SC≥SD，所以SE≥SF.
设k是E中的最大数，l是F中的最大数，则k≥1，l≥1，k≠l.