北师大版高中数学选择性必修第二册第2章导数及其应用6用导数研究函数的性质课件

(共38张PPT)
第二章 导数及其应用
§6　用导数研究函数的性质
函数的单调性
1. 导数的符号与函数的单调性之间的关系
（1）若在某个区间内，函数y＝f（x）的导数f'（x）＞0，则在这个区间内，函数y＝f（x）单调递增；
（2）若在某个区间内，函数y＝f（x）的导数f'（x）＜0，则在这个区间内，函数y＝f（x）单调递减.
特别地，若在某个区间上恒有f'（x）＝0，则f（x）为常数函数.
注意：若在某个区间内，f'（x）≥（≤）0，且只在有限个点处为0，则在这个区间内，函数y＝f（x）单调递增（减）.
2. 函数的单调性与函数图象之间的关系
函数的单调性决定了函数图象的大致形状.因此，当确定了函数的单调性后，再通过描出一些特殊点，就可以画出函数的大致图象.
函数的极值
1. 极大值点与极大值
如图，在包含x0的一个区间（a，b）内，函数y＝f（x）在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极大值点，其函数值f（x0）为函数的极大值.
2. 极小值点与极小值
如图，在包含x0的一个区间（a，b）内，函数y＝f（x）在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极小值点，其函数值f（x0）为函数的极小值.
3. 极值点与极值
函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值.极值是函数的一种局部性质.
1. 极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较，它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值.
2. 一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值.
3. 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，单调函数一定没有极值点.
4. 极值点不是点，极值点指的是函数图象上对应点的横坐标，极值指的是对应点的纵坐标.
4. 极值和单调性的关系
若函数y＝f（x）在区间（a，x0）内单调递增，在区间（x0，b）内单调递减，则x0是极大值点，f（x0）是极大值；若函数y＝f（x）在区间（a，x0）内单调递减，在区间（x0，b）内单调递增，则x0是极小值点，f（x0）是极小值.
5. 极值与导数的关系
如图（1）、图（2）所示，在包含x0的一个区间（a，b）内，可以得出极值与导数的关系.
（1）极大值与导数的关系（如表）.
x （a，x0） x0 （x0，b）
f'（x） ＋ 0 －
y＝f（x） ↗ 极大值 ↘
（2）极小值与导数的关系（如表）.
x （a，x0） x0 （x0，b）
f'（x） － 0 ＋
y＝f（x） ↘ 极小值 ↗
求函数极值的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求方程f'（x）＝0的根；
（3）用方程f'（x）＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格；
（4）由f'（x）＝0的根左、右的符号以及f'（x）在不可导点左、右的符号来判断f（x）在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少.
函数的最值
1. 函数的最值与最值点的概念
函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数f（x）在这个区间内所有点处的函数值都不超过f（x0），如图（1）、图（2）、图（3）所示.
类似地，函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数f（x）在这个区间内所有点处的函数值都不小于f（x0）.
函数的最大值和最小值统称为最值.
2. 函数的最值与极值点的关系
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，由图（1）、图（2）、图（3）可以看出，y＝f（x）的最大值或者在极大值点（也是导函数的零点）处取得，或者在区间的端点处取得.类似地，y＝f（x）的最小值或者在极小值点（也是导函数的零点）处取得，或者在区间的端点处取得.
导函数与原函数图象的关系
　　由导函数图象画原函数图象的依据：若f'（x）＞0，则f（x）单调递增；若f'（x）＜0，则f（x）单调递减.
由原函数图象画导函数图象的依据：若f（x）单调递增，则f'（x）的图象一定在x轴的上方；若f（x）单调递减，则f'（x）的图象一定在x轴的下方；若f（x）是常函数，则f'（x）＝0.
已知定义在R上的函数f（x），其导函数f'（x） 的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A. f（b）＞f（c）＞f（a）
B. f（b）＞f（c）＝f（e）
C. f（c）＞f（b）＞f（a）
D. f（e）＞f（d）＞f（c）
由f'（x）的图象可知，f（x）的大致图象如图.
由图可知，f（a）＞f（b），f（b）＜f（c）＜f（d）＜f（e），f（a）与f（c），f（d），f（e）的大小不能确定，故仅有D选项是正确的.
D
利用导数研究函数的单调性
角度1　不含参函数的单调性　
判断不含参函数单调性的具体步骤
（1）确定函数f（x）的定义域.
（2）求出导数f'（x）的零点.
（3）用f'（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'（x）在各区间上的正负，由此得出函数y＝f（x）在定义域内的单调性.
（0，＋∞）
导函数的定义域较原函数而言一般情况下会发生变化，因此在研究函数的性质时，一定要注意原函数的定义域.
（2）设a＜0，如果对任意的x1，x2∈（0，＋∞），｜f（x1）－f（x2）｜≥2｜x1－x2｜恒成立，求实数a的取值范围.
利用导数研究函数的极值
角度1　根据函数图象判断极值　
　　根据函数图象研究函数的极值，一是要分清给出的函数图象是原函数的图象还是导函数的图象，再根据极值点的定义确定极值点，进而确定函数的极值情况.
（多选）如图是y＝f（x）的导函数f'（x）的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（　　）
A. 当x＝－1时，f（x）取得极小值
B. f（x）在[－2，1]上单调递增
C. 当x＝2时，f（x）取得极大值
D. f（x）在[－1，2]上不具备单调性
由导函数f'（x）的图象可知，
当－2＜x＜－1时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减；
当x＝－1时，f'（x）＝0；
当－1＜x＜2时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增；
当x＝2时，f'（x）＝0；
当2＜x＜4时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减；
当x＝4时，f'（x）＝0；
当x＞4时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增.
故当x＝－1时，f（x）取得极小值，故A正确；
f（x）在[－2，1]上有减有增，故B错误；
当x＝2时，f（x）取得极大值，故C正确；
f（x）在[－1，2]上单调递增，故D错误.
AC
角度2　求已知函数的极值　
求已知函数的极值的步骤
　　求f'（x）→求方程f'（x）＝0的根→列表检验f'（x）在f'（x）＝0的根的附近两侧的符号→下结论.
已知函数f（x）＝x2－1－2alnx（a≠0），求f（x）的极值.
x
f'（x） － 0 ＋
f（x） ↘ 极小值 ↗
角度3　由函数的极值求参　
由函数的极值求参的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
（2）验证：求解后验证根的合理性.
函数f（x）＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极小值－3，则b－a的值等于（　　）
A. 0 B. －2
C. －4 D. 6
A
利用导数求函数最值
角度1　求不含参函数的最值　
　　求不含参函数在闭区间上的最值，首先求函数在对应开区间上的极值，再求函数在闭区间上端点的函数值，比较得函数的最大（小）值.
已知函数f（x）＝xex.
（1）求函数f（x）的最值.
因为f（x）＝xex，
所以f'（x）＝ex＋xex＝（1＋x）ex.
由f'（x）＞0，得1＋x＞0，
所以x＞－1；
由f'（x）＜0，得1＋x＜0，
所以x＜－1.
所以函数f（x）＝xex在（－∞，－1）上单调递减，在（－1，＋∞）单调递增，
（2）求函数f（x）在[t，t＋1]上的最小值.
由（1）知，函数f（x）＝xex在（－∞，－1]上单调递减，在[－1，＋∞）单调递增，
当t＋1≤－1，即t≤－2时，f（x）在[t，t＋1]上单调递减，
所以f（x）min＝f（t＋1）＝et＋1（t＋1）；
当t＜－1＜t＋1时，即－2＜t＜－1，f（x）在[t，－1]上单调递减，在[－1，t＋1]上单调递增，
所以f（x）min＝f（－1）＝－e－1；
当t≥－1时，f（x）在[t，t＋1]上单调递增，
所以f（x）min＝f（t）＝tet.
角度2　求含参函数的最值　
　　求含参函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值.