北师大版高中数学选择性必修第二册第2章导数及其应用情境通课件

(共54张PPT)
第二章 导数及其应用
情境通
公切线问题
　　公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解；或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.
若直线l：y＝kx＋b（k＞1）为曲线f（x）＝ex－1与曲线g（x）＝elnx的公切线，则l的纵截距b等于（　　）
A. 0 B. 1
C. e D. －e
D
利用导数解决不等式恒成立或能成立问题
利用导数解决不等式恒成立或能成立问题的方法
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求，得所求参数的取值范围.一般地，f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a即可；f（x）≥a能成立，只需f（x）max≥a即可.
（2）函数法：将不等式转化为某个含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.
由题设知，f'（x）＝x2＋2x＋a≥0在[1，＋∞）上恒成立，
即a≥－（x＋1）2＋1在[1，＋∞）上恒成立.
又函数y＝－（x＋1）2＋1在[1，＋∞）上单调递减，则ymax＝－3，所以a≥－3，
所以实数a的最小值为－3.
含参不等式能成立问题可转化为恒成立问题解决，常见的转化有：
（1） x1∈A， x2∈B，f（x1）＞g（x2） f（x）min＞g（x）min.
（2） x1∈A， x2∈B，f（x1）＞g（x2） f（x）min＞g（x）max.
（3） x1∈A， x2∈B，f（x1）＞g（x2） f（x）max＞g（x）min.
（4） x1∈A， x2∈B，f（x1）＞g（x2） f（x）max＞g（x）max.
函数单调性的应用
角度1　求参数的取值范围　
利用函数的单调性求参数的取值范围的注意点
（1）函数在区间（a，b）上单调，实际上就是在该区间上f'（x）≥0，或f'（x）≤0恒成立，且f'（x）不恒等于0.
（2）函数在区间（a，b）上存在单调区间，实际上就是f'（x）＞0，或f'（x）＜0在该区间上存在解集.
（2）若f（x）≥sinx对任意x∈（－∞，0]恒成立，求实数a的取值范围.
因为f（x）≥sinx对任意x∈（－∞，0]恒成立，所以exsinx－x2＋ax≤0对任意x∈（－∞，0]恒成立.
令g（x）＝exsinx－x2＋ax，x∈（－∞，0]，
所以g'（x）＝ex（sinx＋cosx）－2x＋a.
令h（x）＝ex（sinx＋cosx）－2x＋a，
所以h'（x）＝ex（cosx－sinx＋sinx＋cosx）－2＝2excosx－2.
因为x∈（－∞，0]，所以ex∈（0，1]，cosx∈[－1，1]，
所以2excosx－2≤2－2＝0，
所以h'（x）≤0，所以h（x）在（－∞，0]上单调递减，所以h（x）≥h（0）＝a＋1.
当a＋1≥0，即a≥－1时，h（x）＝g'（x）≥0，
所以g（x）在（－∞，0]上单调递增，
所以g（x）≤g（0）＝0，满足条件.
当a＋1＜0，即a＜－1时，h（0）＝a＋1＜0，且x趋于－∞时，h（x）趋于＋∞，
所以h（x）在（－∞，0]上有唯一零点，记为x0，
　 导数的零点不易求出，设出导数的零点，利用隐零点求解.
则当x∈（－∞，x0）时，h（x）＞0，当x∈（x0，0]时，h（x）＜0.
故当x∈（－∞，x0）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（x0，0）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减.
故当x∈（x0，0）时，g（x）＞g（0）＝0，与题意矛盾.
综上所述，实数a的取值范围是[－1，＋∞）.
求函数中参数的取值范围的常用方法
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数的最值与参数之间的关系，求出参数的取值范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值分类讨论，分别求解出满足题意的参数的取值范围，最后取并集.
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函数的零点个数问题
1. 用导数确定函数的零点或方程根的个数的方法
（1）构建函数g（x）（要求g'（x）易求，g'（x）＝0可解），转化为确定g（x）的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定区间端点值的符号（或变化趋势）等，画出g（x）的大致图象，数形结合求解；
（2）利用函数零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.
2. 解决复杂方程在某区间上有且仅有一个解的步骤
（1）在该区间上构造与方程相应的函数；
（2）利用导数研究该函数在该区间上的单调性，若是单调函数，则进行下一步；
（3）判断该函数在该区间端点处的函数值异号；
（4）得出结论.
利用导数研究函数的零点个数问题，需要利用导数判断函数的单调性，借助函数零点存在定理求解.
函数的隐零点问题
　　隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题，基本解决思路是：形式上虚设，运算上代换，数值上估算，策略上等价转化，方法上分离函数（参数），技巧上反客为主.
设函数f（x）＝x－alnx－2.
（1）求f（x）的单调区间.
（2）若a＝1，f'（x）为f（x）的导函数，当x＞1时，lnx＋1＞（1＋k）f'（x），求整数k的最大值.
解决函数的隐零点问题的具体步骤
（1）求导：求f'（x）.
（2）判断单调性：通过二次求导，得f″（x），判断导函数f'（x）的单调性.
（3）设零点：设出f'（x）的零点x0，根据函数零点存在定理判断x0的大致范围.
（4）求解：通过f'（x0）＝0建立方程后，将含有x0的指数、对数或者参数均用x0表示后代入f（x0）后，消去指数、对数或者参数，最终化为关于x0的函数，根据x0的取值范围求解具体问题.
同构问题
　　导数中的同构问题是通过已知等式（或不等式）的结构特征，移项找到等式（或不等式）两边对应的同一种函数模型，利用函数性质解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
[－8，＋∞）
因此f（x）有极小值f（2）＝1，无极大值.
x （1，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） ↘ 极小值 ↗
极值点偏移问题
　　极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图象不具有对称性.极值点偏移问题是考试的一大热点问题，这类题目设问新颖、综合性强、难度较大，主要考查学生的数学思维以及分析问题和解决问题的能力.
（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），且a＝4，求证：x1＋x2＞4.
利用导数证明不等式
1. 待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，但有时需对复杂的式子进行变形，利用导数研究该函数的单调性和最值，即可得证.
2. 若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式子进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.
已知函数f（x）＝elnx－ax（a∈R）.
（1）讨论函数f（x）的单调性.
（2）当a＝e时，证明：xf（x）－ex＋2ex≤0.
已知函数f（x）＝lnx＋ax2＋（1＋2a）x.
（1）讨论f（x）的单调性.
利用导数证明不等式的方法
（1）直接构造函数法：证明不等式f（x）＞g（x）（或f（x）＜g（x））转化为证明f（x）－g（x）＞0（或f（x）－g（x）＜0），进而构造辅助函数h（x）＝f（x）－g（x）.
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论.
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
新定义
　　涉及导数中的新定义问题，要理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，构造函数，转化、抽象为相应的函数问题作答.
设函数y＝f（x）的定义域为D，其导函数为f'（x），区间I是D的一个非空子集.若对区间I内的任意实数x，存在实数t，使得x＋t∈D，且使得f（x＋t）≥（t＋1）·f'（x）成立，则称函数y＝f（x）为区间I上的“M（t）函数”.