专题03 平方根、立方根 专题讲义（含答案）2025-2026学年人教版数学七年级下册

专题03 平方根、立方根
【题型1】求平方根
【题型2】求算术平方根
【题型3】求立方根
【题型4】算术平方根的非负性
【题型5】估算
【题型6】根据平方根、立方根的定义解方程
【题型7】规律探究
【知识点1】平方根和立方根
类型 项目 平方根 立方根
被开方数 非负数 任意实数
符号表示
性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；
重要结论
【知识点2】实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分： 按与0的大小关系分：
实数 实数
特别说明：(1)所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
(2)无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…
(3)凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
(4)实数和数轴上点是一一对应的.
2．实数与数轴上的点一一对应．
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3．实数的三个非负性及性质：
　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
(1)任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
(2)任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
(3)任何非负数的算术平方根是非负数，即().
非负数具有以下性质：
(1)非负数有最小值零；
(2)有限个非负数之和仍是非负数；
(3)几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4．实数的运算：
数a的相反数是－a；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5．实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
【题型1】求平方根
1．下列说法不正确的是(　　)
A．6是36的平方根 B．－6是36的平方根
C．36的平方根是±6 D．36的平方根是6
2．若a2＝25，|b|＝3，则a＋b的值是(　　)
A．－8　　B．±8 C．±2　　D．±8或±2
3．下列说法：①0.25的平方根是0.5；②只有正数才有平方根；③－7是－49的平方根；
④的平方根是±.其中正确的有(　　)
A．1个　　B．2个 C．3个　　D．4个
4．若x－1有平方根，则x的取值范围是_______．
5．如果m，n是27的两个平方根，那么m＋n＋mn＝_______．
6．若5a＋1和a－19都是M的平方根，则M的值是_______．
7．求下列各数的平方根：
(1)49；
(2)；
(3)(－16)2；
(4)0.006 4.
8．已知2a－1的平方根是±3，2a＋b－1的平方根是±4，求a＋2b的平方根．
9．已知正实数a的两个平方根分别是x和x＋y.
(1)若x＝2，求y的值；
(2)若ax2－2a(x＋y)2＝－4，求a的值．
【题型2】求算术平方根
10．若＝1，则a＝(　　)
A．－1　　　B．1　　　C．±1　　　D．0
11．若＝3－x，则x的值是(　　)
A．0　　B．2 C．3　　D．2或3
12．16的算术平方根是_______．
13．(1)10是_______的算术平方根；
(2)＝_______，＝_______．
14．的算术平方根是_______．
15．求下列各数的算术平方根：
(1)121；
(2)；
(3)0.01.
16．求下列各式的值：
(1)－；
(2)＋＋.
【题型3】求立方根
17．下列说法正确的是(　　)
A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0
B．一个数的立方根不是正数就是负数
C．负数没有立方根
D．一个不为0的数的立方根和这个数同号
18．下列计算正确的是(　　)
A.＝0.5　　B.＝ C.＝1　　D．－＝－
19．如果－a是b的立方根，那么下列结论正确的是(　　)
A．－a是－b的立方根 B．a是b的立方根
C．a是－b的立方根 D．±a都是b的立方根
20．若＋＝0，则a与b的关系是(　　)
A．a＝b＝0　　B．a与b相等 C．a与b互为相反数　　D．a＝
21．若a，b均为正整数，且a＞，b＞，则a＋b的最小值为(　　)
A．6　　B．7　　C．8　　D．9
22．已知43＝64，这时我们说4是64的_______．
23．27的立方根是_______．
24．求下列各式的值：
(1)；　　　　　 　(2)；
(3)；　　　　　　(4).
25．(1)若＝1－a2，求a的值；
(2)若与互为相反数，求1－的值．
【题型4】算术平方根的非负性
26．已知x，y为有理数，且满足＝(y－1)，则x2025－y2025＝_______．
27．已知a为有理数，则＋＋的值为_______．
28．下列各式有意义，求x的取值范围．
(1)；　　　　　　(2)；
(3)；　　　　(4).
29．已知y＝－＋4，求x2＋y2的算术平方根．
30．当a取什么值时，＋1的值最小？请求出这个最小值．
31．已知x，y满足＋|y－3x－1|＝0，求y2－5x的平方根．
32．已知|99－a|＋＝a.求a－992的值．
33．已知|7－3m|＋(5－n)2＝3m－7－，求(m－n)2026的值．
【题型5】估算
34．估计的值在(　　)
A．2和3之间　　B．3和4之间 C．4和5之间　　D．5和6之间
35．根据表中的信息判断，下列语句中正确的是(　　)
x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16
x2 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256
A.＝1.59
B．235的算术平方根比15.3小
C．只有3个正整数n满足15.5＜＜15.6
D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出16.12将比256增大3.19
36．已知432＝1 849，442＝1 936，452＝2 025，462＝2 116.若n为整数，且n＜＜n＋1，则n的值为(　　)
A．43　　　B．44　　　C．45　　　D．46
37．比较大小：______2(填“＞”“＜”或“＝”)．
38．写出一个比大的整数，可以是______．
【题型6】根据平方根、立方根的定义解方程
39．解方程：(x＋3)3＋27＝0，则x＝______．
40．若＝－5，＝9，则a＋b＝______．
41．求下列各式中x的值：
(1)4x2＝121；
(2)(x＋2)2＝25；
(3)24(x－1)2－6＝0.
(4)(x＋1)3－0.216＝0；
(5)8(x－1)3＝－.
【题型7】规律探究
42．已知a1＝－1，a2＝－，a3＝－，a4＝－，…，an＝－.定义：S1＝a1＝－1，S2＝a1＋a2＝(－1)＋(－)＝－1，S3＝a1＋a2＋a3＝(－1)＋(－)＋(－)＝－1，…，按此规律类推，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝______．
43．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上一道智力题：求59 319的立方根．华罗庚脱口说出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
按照下面的方法试一试：
(1)①由103＝1 000，1003＝1 000 000，可以确定是______位数；
②由59 319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______；
③如果划去59 319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，可以确定的十位上的数是______，由此求得＝______．
(2)按照上述方法，直接写出389 017的立方根：______．
44．利用已知的算术平方根等式探究规律．
①＝2；②＝3；
③＝4；④＝5.
(1)写出分数中分母a与序号n之间的关系；
(2)猜想写出第6个等式；
(3)用字母n(n为正整数)表示上述规律．
45．阅读与思考
请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：＝＝10，×＝2×5＝10.所以＝×.
小明：()2＝4×25＝100.
(×)2＝(2×5)2＝100.
这就说明和×都是4×25的算术平方根，而4×25的算术平方根只有一个，所以＝×.
任务：
(1)猜想：当a≥0，b≥0时，和×之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一个例子进行说明；
(2)运用以上结论．计算：①；②；
(3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积．
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参考答案
【题型1】求平方根
1．下列说法不正确的是(　　)
A．6是36的平方根 B．－6是36的平方根
C．36的平方根是±6 D．36的平方根是6
【答案】D
2．若a2＝25，|b|＝3，则a＋b的值是(　　)
A．－8　　B．±8 C．±2　　D．±8或±2
【答案】D
3．下列说法：①0.25的平方根是0.5；②只有正数才有平方根；③－7是－49的平方根；
④的平方根是±.其中正确的有(　　)
A．1个　　B．2个 C．3个　　D．4个
【答案】A
4．若x－1有平方根，则x的取值范围是_______．
【答案】x≥1
5．如果m，n是27的两个平方根，那么m＋n＋mn＝_______．
【答案】－27
6．若5a＋1和a－19都是M的平方根，则M的值是_______．
【答案】256或576
7．求下列各数的平方根：
(1)49；
解：因为(±7)2＝49，所以49的平方根是±7.
(2)；
解：因为(±)2＝，所以的平方根是±.
(3)(－16)2；
解：因为(±16)2＝(－16)2，所以(－16)2的平方根是±16.
(4)0.006 4.
解：因为(±0.08)2＝0.006 4，所以0.006 4的平方根是±0.08.
8．已知2a－1的平方根是±3，2a＋b－1的平方根是±4，求a＋2b的平方根．
解：∵2a－1的平方根是±3，
∴2a－1＝(±3)2＝9.∴a＝5.
∵2a＋b－1的平方根是±4，
∴2a＋b－1＝(±4)2＝16.
则2×5＋b－1＝16，解得b＝7.
∴a＋2b＝19.
∴a＋2b的平方根为±.
9．已知正实数a的两个平方根分别是x和x＋y.
(1)若x＝2，求y的值；
(2)若ax2－2a(x＋y)2＝－4，求a的值．
解：(1)正实数a的两个平方根分别是x和x＋y，
∴x＋x＋y＝0，y＝－2x.
若x＝2，则y＝－4.
(2)∵正实数a的两个平方根分别是x和x＋y，
∴x2＝a，(x＋y)2＝a.
∴ax2－2a(x＋y)2＝a·a－2a·a＝－4.
∴－a2＝－4，即a2＝4.∴a＝±2.
∵a是正实数，即a＞0，∴a＝2.
【题型2】求算术平方根
10．若＝1，则a＝(　　)
A．－1　　　B．1　　　C．±1　　　D．0
【答案】B
11．若＝3－x，则x的值是(　　)
A．0　　B．2 C．3　　D．2或3
【答案】D
12．16的算术平方根是_______．
【答案】4
13．(1)10是_______的算术平方根；
(2)＝_______，＝_______．
【答案】100 5 4－π
14．的算术平方根是_______．
【答案】
15．求下列各数的算术平方根：
(1)121；
解：因为112＝121，所以121的算术平方根是11，即＝11.
(2)；
解：因为()2＝，所以的算术平方根是，即＝.
(3)0.01.
解：因为(0.1)2＝0.01，所以0.01的算术平方根是0.1，即＝0.1.
16．求下列各式的值：
(1)－；
解：原式＝1.1.
(2)＋＋.
解：原式＝7.2.
【题型3】求立方根
17．下列说法正确的是(　　)
A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0
B．一个数的立方根不是正数就是负数
C．负数没有立方根
D．一个不为0的数的立方根和这个数同号
【答案】D
18．下列计算正确的是(　　)
A.＝0.5　　B.＝ C.＝1　　D．－＝－
【答案】C
19．如果－a是b的立方根，那么下列结论正确的是(　　)
A．－a是－b的立方根 B．a是b的立方根
C．a是－b的立方根 D．±a都是b的立方根
【答案】C
20．若＋＝0，则a与b的关系是(　　)
A．a＝b＝0　　B．a与b相等 C．a与b互为相反数　　D．a＝
【答案】C
21．若a，b均为正整数，且a＞，b＞，则a＋b的最小值为(　　)
A．6　　B．7　　C．8　　D．9
【答案】B
22．已知43＝64，这时我们说4是64的_______．
【答案】立方根
23．27的立方根是_______．
【答案】3
24．求下列各式的值：
(1)；　　　　　 　(2)；
解：原式＝－1.　　　　解：原式＝－5.
(3)；　　　　　　(4).
解：原式＝－0.2.　　　　　解：原式＝－.
25．(1)若＝1－a2，求a的值；
(2)若与互为相反数，求1－的值．
解：(1)∵＝1－a2，
∴1－a2＝0或1－a2＝1或1－a2＝－1.
∴a＝±1，0或±.
(2)∵与互为相反数，
∴1－2x＋3x－5＝0.∴x＝4.
∴1－＝1－＝－1.
【题型4】算术平方根的非负性
26．已知x，y为有理数，且满足＝(y－1)，则x2025－y2025＝_______．
【答案】－2
27．已知a为有理数，则＋＋的值为_______．
【答案】5
28．下列各式有意义，求x的取值范围．
(1)；　　　　　　(2)；
解：x≥2.　　　　 解：x为任意实数．
(3)；　　　　(4).
解：x＞0.　　　　解：x≥0且x≠1.
29．已知y＝－＋4，求x2＋y2的算术平方根．
解：∵x－3≥0且3－x≥0，
∴x－3＝0，即x＝3.
∴y＝4，∴＝＝＝5.
30．当a取什么值时，＋1的值最小？请求出这个最小值．
解：∵≥0，
∴当a＝－时，有最小值，是0.
∴＋1的最小值是1.
31．已知x，y满足＋|y－3x－1|＝0，求y2－5x的平方根．
解：由题意可知，x＋1＝0，y－3x－1＝0.
∴x＝－1，y＝3x＋1＝－3＋1＝－2.
∴y2－5x＝4＋5＝9.
9的平方根是±3.
即y2－5x的平方根是±3.
32．已知|99－a|＋＝a.求a－992的值．
解：由题意知，a－100≥0，∴a≥100.
∴原式变形为a－99＋＝a.
整理，得＝99，
两边平方，得
a－100＝992，即a－992＝100.
33．已知|7－3m|＋(5－n)2＝3m－7－，求(m－n)2026的值．
解：原式整理，得|7－3m|＋(5－n)2＋＝3m－7.
根据非负数的性质，得3m－7≥0，
∴7－3m≤0.
∴3m－7＋(5－n)2＋＝3m－7.
∴(5－n)2＋＝0.
∴5－n＝0，m－4＝0.
∴m＝4，n＝5.
∴(m－n)2026＝(4－5)2026＝1.
【题型5】估算
34．估计的值在(　　)
A．2和3之间　　B．3和4之间 C．4和5之间　　D．5和6之间
【答案】A
35．根据表中的信息判断，下列语句中正确的是(　　)
x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16
x2 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256
A.＝1.59
B．235的算术平方根比15.3小
C．只有3个正整数n满足15.5＜＜15.6
D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出16.12将比256增大3.19
【答案】C
36．已知432＝1 849，442＝1 936，452＝2 025，462＝2 116.若n为整数，且n＜＜n＋1，则n的值为(　　)
A．43　　　B．44　　　C．45　　　D．46
【答案】C
37．比较大小：______2(填“＞”“＜”或“＝”)．
【答案】＞
38．写出一个比大的整数，可以是______．
【答案】2(答案不唯一)
【题型6】根据平方根、立方根的定义解方程
39．解方程：(x＋3)3＋27＝0，则x＝______．
【答案】－6
40．若＝－5，＝9，则a＋b＝______．
【答案】－14或4
41．求下列各式中x的值：
(1)4x2＝121；
解：4x2＝121，整理，得x2＝.开方，得x＝±.解得x1＝，x2＝－.
(2)(x＋2)2＝25；
解：(x＋2)2＝25，开方，得x＋2＝±5.
解得x1＝3，x2＝－7.
(3)24(x－1)2－6＝0.
解：24(x－1)2－6＝0，整理，得24(x－1)2＝6.
则(x－1)2＝.开方，得x－1＝±.
解得x1＝，x2＝.
(4)(x＋1)3－0.216＝0；
解：移项，得(x＋1)3＝0.216，
则x＋1＝0.6，解得x＝－0.4.
(5)8(x－1)3＝－.
解：(x－1)3＝－，x－1＝－，x＝－
【题型7】规律探究
42．已知a1＝－1，a2＝－，a3＝－，a4＝－，…，an＝－.定义：S1＝a1＝－1，S2＝a1＋a2＝(－1)＋(－)＝－1，S3＝a1＋a2＋a3＝(－1)＋(－)＋(－)＝－1，…，按此规律类推，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝______．
【答案】－1
43．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上一道智力题：求59 319的立方根．华罗庚脱口说出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
按照下面的方法试一试：
(1)①由103＝1 000，1003＝1 000 000，可以确定是______位数；
②由59 319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______；
③如果划去59 319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，可以确定的十位上的数是______，由此求得＝______．
(2)按照上述方法，直接写出389 017的立方根：______．
【答案】两 9 3 39 73
44．利用已知的算术平方根等式探究规律．
①＝2；②＝3；
③＝4；④＝5.
(1)写出分数中分母a与序号n之间的关系；
(2)猜想写出第6个等式；
(3)用字母n(n为正整数)表示上述规律．
解：(1)观察可知3＝12＋2×1，8＝22＋2×2，15＝32＋2×3，24＝42＋2×4，所以a＝n2＋2n　
(2)第6个等式为＝7
(3)用字母n(n为正整数)表示上述规律＝(n＋1)
45．阅读与思考
请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：＝＝10，×＝2×5＝10.所以＝×.
小明：()2＝4×25＝100.
(×)2＝(2×5)2＝100.
这就说明和×都是4×25的算术平方根，而4×25的算术平方根只有一个，所以＝×.
任务：
(1)猜想：当a≥0，b≥0时，和×之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一个例子进行说明；
(2)运用以上结论．计算：①；②；
(3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积．
解：(1)当a≥0，b≥0时，＝×；例如：∵＝6，×＝6，∴＝×　
(2)①＝×＝4×6＝24；②＝×＝7×11＝77　
(3)∵长方形的长为，宽为，∴S＝×＝70，答：这个长方形的面积为70
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