山东省枣庄市滕州市第一中学2025-2026学年高一下学期第一次周测数学试题（含答案）

高一下学期第一周数学测试
一、单项选择题, 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分
1. 已知在四边形 中, 则四边形 一定是( )
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
2. 在 中， 为 BC 的中点，记 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 若 均为非零向量，则 是 与 共线的()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
4. 已知在 中， ，则 与 的夹角为()
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
5. 已知向量 满足 ，则向量 与 的夹角为( )
A. B. C. 苦 D.
6. 已知非零向量 满足 与 夹角的余弦值为 ，若 ，则实数 的值为() )
A. 4 B. -4 C. D.
7. 已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为( )
A. B. C. D.
8. 设 分别是 的边 上的点， ，若 为实数),则 的值为
A. B. C. D.
二、多项选择题, 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9. 对于任意向量 ，下列说法中正确的是( )
A. 若 ，则 与 中至少有一个为
B. 向量 与向量 夹角的范围是
C. 若 ,则
D.
10. 如图, 已知正六边形 ABCDEF 的边长为 1, 则 ( )
A. B.
C. D.
11. 如图所示，四边形 为梯形，其中 ， ，M，N 分别为 ，DC的中点，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题, 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ,且 与 的夹角为 ,与 同向的单位向量为 ,则向量 在向量 上的投影向量为_____
13. 已知向量 的夹角为 ，且 ， ，则 _____.
14.(1)已知向量 满足 ， 与 的夹角为 ，则 在 上的投影向量的模是_____.(2)已知 ， 与 的夹角为 ，则向量 在向量 上的投影向量是_____.
四、解答题, 本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量 不共线， .
(1)若 ，求 ， ；
(2)若A、B、C三点共线，求 的最大值.
16. 在三角形 中,已知 分别是线段 上的点,且 . 若 分别为线段 的中点.
(1)用 表示 ；
(2)判断 ， ， 三点是否共线？若是，写出证明过程；若不是，则说明理由.
17. 如图所示，P，Q是 的边 上两点，且 ，求证:
18. 已知 为与 同向的单位向量.
(1)求 与 的夹角 ；
(2)求 在 上的投影向量.
19. 如图，在 中， ，AD 与 BC 相交于点 M，设 ， .
(1)试用向量 表示 ，(2)过点 作直线 分别交线段 ， 于点 ， ，记 ， 。 ,求证: 为定值.
高一下学期第一周数学测试 答案和解析
1.【答案】A
解:在四边形 ABCD 中， ，
即 ，
即 ，且 ，如图所示； 四边形 是平行四边形. 故选A
2.【答案】A
解: 因为 为 的中点, ,所以 , 所以 . 故选
3.【答案】A
解: ,
,则 ,
,则 ,此时 .
当 时， 还可能是 ，此时 ，
故 “ ” 是 “ 与 共线” 的充分而不必要条件,故选:
4.【答案】D
选D，如图，AD与CD的夹角与 的值相等，等于 . 故选D.
5.【答案】A
解: 由已知有 ,所以 ,
设向量 与 的夹角为 ,则 ,
又 ,所以 . 故选
6.【答案】B
由题意知, ,所以 ,因为 ,所以 ,即 ,所以 .
7.【答案】A
解:
,
. 故选:
8.【答案】D
解: 作出三角形 的示意图,如图所示:
根据平面向量的加法, 减法法则,
,
故 . 故选 .
9.【答案】CD
或 或 ，所以 A 错误；向量夹角的范围是 ，所以 B 错误； 由数量积的性质知, 正确; 因为 ,所以 正确.
10.【答案】
解: 对于 ,
，A 正确；
对于 ,
正确；
对于 ,
，C 错误；
对于 ,
，D 正确. 故选ABD.
11.【答案】
解: , 正确;
为 的中点， , 正确；
错误;
，D 错误. 故选: .
12.【答案】
解:向量 在向量 上的投影为 ，
又与 同向的单位向量为 ,即向量 在向量 上的投影向量为 .
13.【答案】-17
解: 由题意得 ,
所以 . 故答案为 -17 .
14.【答案】
15.【答案】解:(1)由题意可得: ，
且 ,所以 .
(2)若 、 、 三点共线，则 ，
则 ，
可得 ,
则 ，当 时， 取到最大值 .
16.【答案】解:(1)如图所示，
因为 分别是 的中点,所以 . 又 , 所以 ,所以
(2) ，M，N 三点不共线. 理由如下:由(1)知， ， . 假设 ， ， 三点共线,则 共线,所以 ,使得 ,即
，整理可得， . 因为 ， 不共线，所以应有 无解,所以假设不成立,所以 三点不共线.
17.【答案】解: 由题意可知 ,
. 因为 ,
所以 .
18.【答案】解:(1)由 ，得 .
又 .
(2) 袁在 上的投影向量为 .
19.【答案】解: (1)因为 三点共线,
所以存在实数 使得 ,
又 三点共线,
所以存在实数 使得 ,
根据平面向量基本定理可得
(2)证明:设 ，
由(1)可得 ,① ,②
又 三点共线,所以 ,③
由①②可得 ,
结合③式可得 ，所以 为定值5.